精品解析：江西省赣州市上犹中学南校区2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期上犹中学南校区高一年级 数学五月月考试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对复数化简，再求其共轭复数，从而可求得答案 【详解】因为， 所以其共轭复数为，则其虚部为， 故选：B 2. 下列说法正确的是（ ） A. 四棱柱的所有面均为平行四边形 B. 球面上四个不同的点一定不在同一平面内 C. 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D. 在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体 【答案】D 【解析】 【分析】结合棱柱的概念判断A，作球的截面，在截面圆的圆周上任取四点，判断B，根据圆台的母线的定义判断C，举例说明D正确. 【详解】对于A选项，四棱柱的底面不一定是平行四边形，A选项错误； 对于B选项，作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故B选项错误； 对于C选项，如图在圆台上底面的圆周上取点，在下底面的圆周上取点，连接，则不是圆台的母线， 所以在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C选项错误； 对于D选项，如图取正方体的顶点， 由这四个点构成四面体，设， 则，， 所以在四面体中， ，，均是直角三角形， 为等边三角形，故D选项正确． 故选：D 3. 正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容积是（ ） A. 108 B. 114 C. 120 D. 126 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 4. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的概念求得，从而求出，再利用向量数量积的运算律展开运算即可. 【详解】因为平面向量，两个单位向量， 故在上的投影向量为, 所以, 所以, 故选：B. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先验证充分性，由已知可得或，即可知之间的关系；再验证必要性，根据之间的关系，结合诱导公式即可判断. 【详解】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 7. 已知函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点，且这3个点可以组成一个锐角三角形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最值点的个数和锐角三角形列出限制条件可得答案. 【详解】，. 函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点， ，. 由三角函数图象对称性知该三角形是个等腰三角形，且顶角为以最低点为顶点的角， 由这3个点可以组成一个锐角三角形知，且的周期为， 故，. 综上，. 故选：A. 8. 密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在图2中连接，在和中，分别利用余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，两式平方相加，由两角差的余弦公式，即可求出的余弦值. 【详解】如图，连接， 因为， 在中，由余弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 即，① 因为， ， 所以，② 则①式和②式分别平方并相加得： ， 则，所以， 即的余弦值为. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下命题中，正确的有（ ） A. 若向量，满足，则 B. 若复数，满足，则 C. 若向量，满足，则 D. 若复数，满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律以及复数四则运算法则进行计算，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 即，解得，故A正确； 对于B，设，，则， ，由， 则，化简可得， ，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，设，， 由 ，则， 可得，即，无论哪种情况都可得，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数图象即可判断A；求得的解析式，再根据余弦函数的性质即可判断BCD． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 由图象可知，，又，则， 所以， 因为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得图象的解析式为，则为偶函数，故D正确； 故选：ABD． 11. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的公式，逐项计算求值，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A符合题意； 对于B中，因为，得， 所以，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由 ，所以D符合题意. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题干可知要满足根号下非负，再结合正弦函数的性质可解得定义域. 【详解】由题意知，即， 由正弦函数的性质可解得， 即的定义域为. 故答案为. 13. 复数满足，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 已知在圆锥中，底面圆的直径，的面积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为，因为的面积为， 所以，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出，再用求模公式即可； （2）利用得到，再利用数量积的坐标形式求解. 【小问1详解】 若，则，即， 则，. 【小问2详解】 ，则，则， ，得. 16. 如图，在平行四边形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论. 【答案】（1）， （2）是直角三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）用平面向量的线性运算可得，,并结合已知条件可得； （2）根据题意，，再通过计算得，即可得证. 【小问1详解】 由题意得，， 则． ． 【小问2详解】 是直角三角形． 证明如下：由题意得，， 则 所以．故是直角三角形． 17. 2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计） （1）若，求折断前树的高度； （2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由. 【答案】（1）米 （2）救援车不能从此处通过，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得出答案； （2）设，则，可得，结合正弦函数得性质即可的解. 【小问1详解】 在中，，，所以， 由正弦定理，得.， 又, 所以， 所以，求折断前树的高度为以米. 【小问2详解】 如图，设的内接矩形的边在上，且， 设，因为，，所以， 所以， 所以， 则， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以救援车不能从此处通过. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个，解答以下问题 ①；②；③ （1）求证：； （2）若求边长 （3）求的最小值. 【答案】（1）选择见解析，证明见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）若选①，由余弦定理可得再利用正弦定理及两角和与差的正弦公式化简即可得证； 若选②，利用正弦定理将边化角，结合两角差的正弦公式即可得证； 若选③，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系可得再结合角的范围即可得证； （2）利用同角三角函数的基本关系可得再由二倍角公式可得与由诱导公式及两角和的正弦公式可得利用正弦定理可得的值，结合已知条件可得a，c的值，由余弦定理即可求得b； （3）利用三角恒等变换化简利用正弦定理将化为利用基本不等式即可求解最小值． 【小问1详解】 若选① 由余弦定理 则化简可得 根据正弦定理可得 因为 所以 即即 所以，此时或此时 因为所以 若选② 由正弦定理可得 所以即 所以，此时或此时 因为所以 若选③ 因为 所以所以 因为则所以或 若则则不符合题意， 所以即 【小问2详解】 因为则 由可得 所以 已知由正弦定理可得 设则解得所以 根据余弦定理可得 所以 【小问3详解】 所以 因为所以 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在点 【解析】 【分析】（1）先把函数展开化简成的形式，根据相伴向量定义，得出. （2）先化简，由求出值.再用正弦定理得到、关于角的表达式，进而得出关于角的式子，化简为.根据的范围确定的范围，找到取最值时的值，从而得到的最值，确定其取值范围. （3）本题先根据已知函数求出，进而得到点坐标，再根据、坐标得出向量与.因为，利用向量垂直性质得到等式，展开后变形得到.接着分析取值范围，得出取值范围，又知的最大值，找到使两者相等时的值，从而确定点坐标，判断是否存在满足条件的点. 【小问1详解】 所以函数的相伴向量； 【小问2详解】 由题知，由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得， 即 ，因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 即的最大值为，最小值大于b边．所以的取值范围为 【小问3详解】 由（2）知，， 所以， 设，因为， 所以， 又因为，所以，所以 即，所以 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期上犹中学南校区高一年级 数学五月月考试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A. 1 B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 四棱柱所有面均为平行四边形 B. 球面上四个不同的点一定不在同一平面内 C. 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D. 在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体 3. 正四棱台形状的玻璃容器（玻璃厚度忽略不计），其上、下底面边长分别是6和3，高是6，则该容器的容积是（ ） A. 108 B. 114 C. 120 D. 126 4. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，a，b，c分别为角A，B，C对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 已知函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点，且这3个点可以组成一个锐角三角形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ） A B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下命题中，正确的有（ ） A. 若向量，满足，则 B. 若复数，满足，则 C. 若向量，满足，则 D. 若复数，满足，则 10. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 11. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_____. 13. 复数满足，则的最大值为________. 14. 已知在圆锥中，底面圆的直径，的面积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值． 16. 如图，在平行四边形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论. 17. 2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计） （1）若，求折断前树的高度； （2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个，解答以下问题 ①；②；③ （1）求证：； （2）若求边长 （3）求的最小值. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$