精品解析：山西省山西大学附属中学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

山西大学附中 2024～2025学年高二年级第二学期5月月考（总第三次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：胡继艳 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知的展开式共有9项，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式性质得出参数即可. 【详解】因为的展开式共有9项，所以， 故选：C． 2. ，若，则x0等于（ ） A. e2 B. 1 C. ln 2 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，结合列方程，解方程求得. 【详解】依题意， ， 由得. 故选：B 【点睛】本小题主要考查导数运算，属于基础题. 3. 设随机变量X服从两点分布，若，则（ ） A. 0.24 B. 0.21 C. 0.16 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点分布性质可得，再由方差计算公式可得结果. 【详解】由两点分布可得， 解得； 因此期望值为， 所以. 故选：C 4. 已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由导数的几何意义即可求解. 【详解】分别表示曲线在处切线的斜率， 结合图象可知，当时，是一个大于0常数， 当时，小于0且随着x的增大而减小， 所以． 故选：B. 5. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并事件的概率计算公式求出，在由条件概率公式计算即可. 【详解】因为， 即， 解得， 所以． 故选：B. 6. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有0个阴数和1个阴数的概率，相加即可求解. 【详解】由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数， 若任取的3个数中有0个阴数，则概率为； 若任取的3个数中有1个阴数，则概率为； 故这3个数中至多有1个阴数的概率为. 故选：A. 7. 甲、乙两位同学进行投篮比赛，其中甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，两人各投三次，一共投中四次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲投三次，投中的次数为，乙投三次，投中的次数为，易知服从二项分布，再利用二项分布的概率公式、相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式，即可求解. 【详解】设甲投三次，投中的次数为，则，设乙投三次，投中的次数为，则， 则， 又，， ， 所以一共投中四次的概率为， 故选：C. 8. 已知函数，若函数有四个不同的零点则的值为（ ） A. 81 B. 36 C. 12 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为由4个不同的实根即可根据二次方程跟与系数的关系求解，代入化简即可求解. 【详解】当时，在单调递减， 当时，，则，令，则，故在单调递增，在单调递减，此时， 而当时，，时，， 故当时，总有两个不相等的实数根， 由题意可知有4个不同的实数根， 即由4个不同的实根， 记，故有两个不相等的实数根， ， 不妨设 则， 故选：A 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分布列性质解方程可得，即A正确；解不等式可判断B错误，求得并利用期望值的性质计算可得C正确，利用方差公式代入计算可得D错误. 【详解】对于A，易知，解得，即A正确； 对于B，由可得， 因此，即B错误； 对于C，易知， 所以，因此C正确； 对于D，易知，即D错误. 故选：AC 10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种 【答案】BC 【解析】 【分析】A应用分步乘法判断；B、C、D应用分步分类计数原理及排列组合数判断； 【详解】A：由题意，每个球都有5种放法，故共有种不同的放法，错； B：恰有两个盒子不放球，则任选3个盒子放球有种，将4个球分成3组有种， 最后把3组球放进所选的3个盒子中有种，故共有种，对； C：从四个编号中选2个放同编号的球有种， 若另2个盒子放余下2个球有1种放法，若余下2球一个放在5号盒子有2种放法， 所以，共有种，对； D：4个相同的球放到5个不同的盒子，恰有一个空盒有种放法，错. 故选：BC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 有两个零点 C. D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求出定义域，求导，得到函数在上单调递减，举出反例得到A错误；B选项，在A选项基础上，结合零点存在性定理进行求解；C选项，计算出，C正确；D选项，计算得到，在C选项基础上求出D正确. 【详解】A选项，定义域为， ， 故在上单调递减， 不妨取，此时满足，但， ，，A错误； B选项，由A选项知，在上单调递减， 其中，， ，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 故有两个零点，B正确； C选项，， 而， 故，C正确； D选项，， 又，， 且，，，结合C选项知，， 则，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：互为倒数关系，从而研究得到，并由此得出D选项的思路，由求出. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，用排列数表示_______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据排列数定义公式即可直接得解. 【详解】根据排列数公式可得. 故答案为：. 13. 如果，取得最大值时，______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式求出，再由组合数的性质可得答案 【详解】解：因为，所以， 由组合数的性质可知当时，最大，此时取得最大值， 故答案为：10 14. 已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析的奇偶性、单调性，由此化简不等式并求得不等式的解集. 【详解】函数是定义在的奇函数， 构造函数，， 所以为偶函数， 当时，，递减， 当时，递增. ，， 当，即时，，， . 当，即时，， . 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知的展开式中，前三项的系数成等差数列. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有的无理项的系数和. 【答案】（1）8； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式和等差中项知识求出； （2）根据二项式系数性质可知第5项的二项式系数最大，求解即可； （3）确定所有无理项，再利用赋值法求出目标值. 【小问1详解】 展开式的通项为：， 由展开式中的前三项系数成等差数列，得， 整理得：，而，解得， 所以的值为8. 【小问2详解】 由（1）知，展开式中第5项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大项为. 【小问3详解】 展开式的通项为， 当时，为无理项，即展开式的偶数项， 令展开式的奇数项系数和为，偶数项系数和为， 则，，解得， 所以展开式中所有的无理项的系数和为. 16. 甲､乙两个袋中各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋随机取出一个球放入乙袋.第二次再从乙袋中取出一个球.记“第一次从甲袋中取出红球”，“第一次从甲袋中取出白球”，“第二次从乙袋中取出红球”，“第二次从乙袋中取出白球”. （1）求第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率； （2）求在第二次从乙袋取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋取出的是白球的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式求第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率； （2）应用条件概率公式求第二次从乙袋取出一个球是红球条件下，第一次从甲袋取出的是白球的概率. 【小问1详解】 依题意知，且， 则， 所以第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率为. 【小问2详解】 依题意得， 所以在第二次从乙袋取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋取出的是白球的. 17. 已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）． （1）求实数a的取值范围； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】(1)转化为有两个根，讨论单调性结合函数图象可求解；(2)等价于证明构造函数即可证明. 【小问1详解】 由题可知, ,令,即, 即有两个根, 令,则, 由得,,解得;由得,,解得, 所以在单调递增, 单调递减, 时, 所以要使有两个根,则, 解得,所以. 【小问2详解】 由(1)可知 且，所以 要证，只用证， 等价于证明， 而，即， 故等价于证明， 即证. 令，则， 于是等价于证明成立， 设， ， 所以 在上单调递增， 故，即成立， 所以，结论得证. 18. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）； （3）的分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，即可求得； （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式即可求得的最小值及相应的值； （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5，求出对应概率，得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. 【小问2详解】 由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 【小问3详解】 由（2）知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 数学期望为：. 19. 如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. （1）求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； （2）当时，求证：； （3）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可. （2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论. （3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案. 【小问1详解】 由，得. 由题意可得所求面积. 令，则是常数） 所以， 即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为. 【小问2详解】 令，可得（常数）， 所以， 要证，只需证， 令， 当时，， 所以在上单调递减，所以当时，， 所以，即. 【小问3详解】 由（2）得，当时， 因为，所以. 即. 所以. . . 累加可得 ， 即， 所以. 【点睛】关键点点睛：构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西大学附中 2024～2025学年高二年级第二学期5月月考（总第三次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：胡继艳 一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知的展开式共有9项，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2 ，若，则x0等于（ ） A. e2 B. 1 C. ln 2 D. e 3. 设随机变量X服从两点分布，若，则（ ） A. 0.24 B. 0.21 C. 0.16 D. 0.8 4. 已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　） A B. C. D. 7. 甲、乙两位同学进行投篮比赛，其中甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，两人各投三次，一共投中四次的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有四个不同的零点则的值为（ ） A. 81 B. 36 C. 12 D. 1 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D. 将4个不同球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 有两个零点 C D. 若，，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，用排列数表示_______. 13. 如果，取得最大值时，______． 14. 已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知的展开式中，前三项的系数成等差数列. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有的无理项的系数和. 16. 甲､乙两个袋中各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋随机取出一个球放入乙袋.第二次再从乙袋中取出一个球.记“第一次从甲袋中取出红球”，“第一次从甲袋中取出白球”，“第二次从乙袋中取出红球”，“第二次从乙袋中取出白球”. （1）求第二次从乙袋取出的一个球是红球的概率； （2）求在第二次从乙袋取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋取出的是白球的概率. 17. 已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）． （1）求实数a的取值范围； （2）求证：． 18. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 19. 如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. （1）求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； （2）当时，求证：； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$