2.1 认识一元二次方程 第1课时 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 一元二次方程 1.了解一元二次方程的概念;（重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）. （重点） 3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型.（难点） 学习目标 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 复习导入 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 一元二次方程的相关概念 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗（列出方程即可）？ 解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据题意,可得方程： (8 - 2x) (5 - 2x) x x (8 – 2x) x x (5 – 2x) ( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18. 化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .① 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , .　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ② 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙　　 m.如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m , 根据题意，可得方程： 问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？ 6 x+6 72 + (x + 6)2 = 102. 化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③ 10m 8m 1m xm 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ ① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0；③ x2 + 12 x - 15 = 0. 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程． 观察与思考 方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: 讲授新课 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 练一练 1.关于x的方程(k - 3) x2 +2x - 1=0,当k 　　　时,是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2 - 1) x2 +2 (k - 1) x + 2k + 2 = 0, 当k 　 时,是一元二次方程. 当k 　　　时,是一元一次方程． ≠3 ≠±1 =-1 典例精析 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成x2-3x+2=0 少了限制条件a≠0 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 提示 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2)(a－1)x ∣ a ∣ +1 －2x－7=0 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0,所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程. 方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 一元二次方程 只含有一个未知数x的整式方程，并且 都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数, a≠0)的形式. 概念 ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0 ax2 称为二次项，a 称为二次项系数. bx 称为一次项，b 称为一次项系数 c 称为常数项. 一般式 课堂小结 C 0 当堂练习 C x2－6x＋3＝0 1 －6x 3 知识点三：建立一元二次方程模型 5．两个连续整数的积是56，设较小的整数是x，则可列方程为_____________，化为一般形式为______________． 6．(教材P31引例变式题)如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为______________________． x(x＋1)＝56 x2＋x－56＝0 (11－2x)(7－2x)＝21 7．如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则可列方程为_____________________. (32－2x)(20－x)＝570 8．已知关于x的方程为(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0. (1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 解：(1)k＝1，x＝1 (2)k≠±1，二次项系数为k2－1，一次项系数为k＋1，常数项为－2 知识点一：一元二次方程的概念 1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( ) A． eq \f(1,x) －x2＝2 B．3－2x＝1 C．2x2＝0 D．ax2＋x＝0 2．若关于x的方程(m－4)x|m－2|＋3x＋5＝0是一元二次方程，则m的值等于____． 知识点二：一元二次方程的一般形式 3．把一元二次方程(x＋2)(x－3)＝4化成一般形式，得( ) A．x2＋x－10＝0 B．x2－x－6＝4 C．x2－x－10＝0 D．x2－x－6＝0 4．一元二次方程x2＋1＝－2(1－3x)化为一般形式为_____________，它的二次项系数为_____，一次项为______，常数项为_____． 9．若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．小明的想法如下：满足条件的a，b必须满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2，,a－b＝2.)) 你觉得小明的这种想法全面吗？若不全面，请你说明另外满足的条件． 解：不全面，还有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2，,a－b＝1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2，,a－b＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1，,a－b＝2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝0，,a－b＝2)) $$