第十七章勾股定理检测卷 2024—2025学年人教版数学八年级下册

人教版第十七章勾股定理检测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数是勾股数的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是    ． A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”，若，，则正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 4.如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，的高交于点，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 10.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形和，，依次类推，若正方形的面积为，则正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知一个直角三角形的三边长分别为，，若，，则这个直角三角形的面积为          ． 12.如图，两个较大正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的面积为          ． 13.在底面直径为，高为的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为          取 14.如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形的两直角边分别为，若，小正方形的面积是，则大正方形的边长是          ． 15.如图，在正方形中，分别为上一点，且，连接，则的最小值是          ． 16.如图，将含角的直角三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上，顶点在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点，当时，，两点分别落在直尺上的处，则直尺的宽度为          ． 17.如图，在边长为的等边中，点为边上任意一点，于点，于点，则的长          ． 18.如图所示，、分别为轴、轴上的点，为等边三角形，点在第一象限内，且满足，则的值          ． 三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在中，，，，求的长． 20.本小题分 如图，一棵树在离地面米处点折断，树顶部点落在离树底部点米处，则树折断前高为多少米？ 21.本小题分 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为．           ，          ，连接，判断的形状为          ； 求四边形的面积． 22.本小题分 如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部处．已知楼顶处离地面的距离为，云梯的长度为，求梯子的底部和墙基的距离． 23.本小题分 如图，在中，． 用尺规作图法作边上的高，垂足为； 若平分，，求的长． 24.本小题分 某单位有一块四边形的空地，，量得各边的长度米，米，米，米，现计划在空地内种草． 连接，证明：是直角三角形； 若每平方米草地造价元，这块地全部种草的费用是多少元？ 25.本小题分 如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点的对应点与点重合，点的对应点为点． 求证：； 若，求的面积． 26.本小题分 如图，一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于种种原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．是不是从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明． 27.本小题分 如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行海里和海里，小时后两船分别位于点，处，且相距海里，已知甲船沿北偏西方向航行，求乙船航行的方向． 28.本小题分 如图，直线与轴交于，与轴交于，平分． 尺规作图：过点作，交于保留作图痕迹，不写作法； 若，求与的数量关系． 1.【答案】  【解析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小数的平方和是否等于最大数的平方． 解：、，，都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意； B、都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，所以是勾股数，故符合题意； D、都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意． 故选：． 2.【答案】  【解析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 【详解】解：、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形． 故选：． 3.【答案】  【解析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形的面积大正方形面积个直角三角形面积即可解答． 【详解】解：直角三角形直角边的较短边为， 正方形的面积． 故选：． 4.【答案】  【解析】直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：正方体的面积为，正方体的面积为， 正方体的面积， 故选：． 5.【答案】  【解析】先证，可得，，根据，的面积以及勾股定理即可求出的面积． 【详解】根据题意，得，， ，， ， 在和中， ， ，． ，的面积分别为和， ，， ， 根据勾股定理，得， 的面积为． 故选：． 6.【答案】  【解析】首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，然后用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】， ． 的高交于点， ． ， ， ，即， ， ． ，， ． 设，则 ，即 解得 ． 故选：． 7.【答案】  【解析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，先根据勾股定理求出，用割补法求出的面积，然后利用三角形面积公式求出边上的高即可． 【详解】解：， ， 则边上的高为． 故选：． 8.【答案】  【解析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、三边长分别为，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、三边长分别为，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、三边长分别为，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、三边长分别为，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选A． 9.【答案】  【解析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案． 【详解】在中，，，， 由勾股定理得：． 正方形的面积是， 的面积是， 阴影部分的面积是． 故选：． 10.【答案】  【解析】根据题意可知第一个正方形的面积是，则第二个正方形的面积是，，进而可找出规律得出第个正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：第一个正方形的面积是； 设第一个等腰直角三角形的直角边长为由勾股定理可得： 解得： 第二个正方形的面积是． 同理，第三个正方形的面积是； 第个正方形的面积是． 当时，正方形的面积为， 正方形的面积是，故B正确． 故选：． 11.【答案】或  【解析】此题有两种情况：当，为直角边，此时用面积公式即可求解；当，为直角边，用勾股定理求出，再用面积公式即可求解． 【详解】解：当，为直角边时，； 当，为直角边时，根据勾股定理，，即，． 故答案为 或． 12.【答案】  【解析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，字母代表的正方形的面积． 故答案为：．    13.【答案】  【解析】根据图示得到绕圈到，则展开后相当于求出直角三角形的斜边长，并且的长为圆柱的底面圆的周长的倍，的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可． 【详解】如图所示， 无弹性的丝带从至，绕了圈， 展开后，， 由勾股定理得：   故答案为． 14.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理与几何图形和完全平方公式的变形应用，设较长的直角边为，较短的直角边为，得到小正方行的边长，根据小正方的面积建立等式，再根据完全平方公式进行变形即可求出直角三角形斜边得长度，从而得到答案． 【详解】解：设直角边较长的为，较短的为， 小正方形的边长为：， ， ， ， ， 大正方形的边长等于直角三角形的斜边，即， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】根据正方形的性质，设未知数，由勾股定理将用含的式子表示，再配方即可求出最小值． 【详解】四边形是正方形，， ，． ， 设，则， 由勾股定理得， ， 当时，． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练正确作出辅助线是解题关键． 过点作于点，在中，根据“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”可得，，利用勾股定理可得然后利用角的直角三角形的性质得到的值，即可确定直尺的宽度． 【详解】如下图，过点作于点． 根据题意，可知，， 在中， ， 直尺的宽为 故答案为： 17.【答案】  【解析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法、勾股定理等知识，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键．连接，作交于点，由得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点，    则， 即． 为等边三角形， ， ． ，， ， ， ， 故答案为：． 18.【答案】或  【解析】根据平面直角坐标系中点的坐标，等边三角形的性质可得出的边长，进而求得的面积，则可得出的面积，然后根据题目中条件分两种情况用含有的代数式表示出的面积即可求得的值． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 由、，得，． 为等边三角形， 由勾股定理，得， ． 又 ， ， 由，得， ． 当在与交点的上方时，如图过点作垂直于的延长线于点， 过点作于点． ． 由，得 ． 故答案为：或． 19.【答案】在中，，，， ． ， ．   【解析】根据角所对的直角边等于斜边的一半得出再根据勾股定理求出的值． 20.【答案】解：根据题意得，，，， 在中，米， 树折断前高为，即树折断前高为米．   【解析】根据勾股定理求出的值，由此即可求解树的高度． 21.【答案】【小题】 等腰直角三角形 【小题】 由网格图，结合勾股定理可知： ． ， ， 所以为直角三角形， 四边形的面积的面积的面积， ．   【解析】  连接，根据网格图，结合勾股定理，即可求出，的长，又因为，得到为直角三角形；又，所以为等腰直角三角形． 【详解】解：连接，由网格图，结合勾股定理可得： ， ， ， ， ， ， ，  ， 为直角三角形． 又， 为等腰直角三角形， 故答案为：；；等腰直角三角形．   根据勾股定理的逆定理，可以证明为直角三角形；为直角三角形；所以四边形的面积等于加上的面积，即可求解． 22.【答案】解：由题意，得，，在中，根据勾股定理，得 梯子的底部和墙基的距离．   【解析】根据勾股定理可得即可求解． 23.【答案】【小题】 如图，线段即为所求． 【小题】 过点作于点． 平分，，， ， ， ．   【解析】  本题考查了基本作图，角平分线的性质，熟练掌握五种基本作图方法，利用角平分线性质解题是解答本题的关键． 根据三角形高的定义，作边上的高，垂足为．   过点作于点，然后证明，得到答案． 24.【答案】【小题】 证明：连接，在中，    ． 在中， ， ， 是直角三角形． 【小题】 平方米， 所需费用为元．   【解析】  先求的长，再使用勾股定理的逆定理即可证明．   利用求出面积即可解答． 25.【答案】【小题】 证明：长方形中， ， ， 由折叠的性质得， ， ． 【小题】 解：由折叠的性质得，设． ， ． 在中，，即， 解得， ， 的面积为．   【解析】  根据平行线的性质以及折叠的性质证明，再根据等角对等边即可证明．   由折叠的性质得，设，在中，建立方程，进一步计算即可求解． 26.【答案】解：是，理由如下： 在中，， 即， 为直角三角形，且， ， 由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路．   【解析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答． 27.【答案】解：由题意可知：，，， ， 是直角三角形，． 由题意甲船沿北偏西方向航行， 乙船沿北偏东方向航行．   【解析】根据题意求出、、的长度，运用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，证得为直角，进而可求出乙船航行的方向． 28.【答案】【小题】 解：如图所示，即为所求．    【小题】 ， ， ． 平分， ， ， ， ．   【解析】  利用过直线上一点作直线的垂线确定点即可得．   在和中运用直角三角形角所对直角边等于斜边的一半即可解得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$