精品解析：2025年江苏省常州市勤业中学九年级中考模拟数学试题

2025年中考模拟试卷 九年级数学 一．选择题（共8小题，每题2分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列计算结果正确的是（ ） A B. C. D. 3. 把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 82.5° 4. 如图，中，弦，相交于点P，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 2023年9月，华为最新的发售，销量遥遥领先，其中使用的华为新麒麟芯片突破5纳米（1纳米毫米）制程工艺，数据“5纳米”用科学记数法表示为（　　） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 6. 如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（ ） A. 160° B. 150° C. 140° D. 110° 7. 如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（ ） A B. C. D. 8. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 二．填空题（共10小题，每题2分） 9. 计算：=_______． 10. 分解因式：x3﹣4xy2=_____． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 已知关于x的方程的一个根是2，则__________． 13. 已知圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为________. 14. 如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则的值为________． 15. 在中，，斜边，，则___________________． 16. 如图，点O是正六边形中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 17. 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，半径为2，P为轴上一动点，切于点B，则最小值是 __． 18. 如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则 ____________________． 三．解答题（共10小题，共84分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 解方程组和不等式组： （1）； （2）． 21. 3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数； （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数． 22. 有三张大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字，1，2，将卡片搅匀后背面朝上，任意抽取一张记下数字，不放回，再抽取一张，记下数字，这样就得到了一个点的坐标. （1）求点恰好在函数图像上的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） （2）若再增加张都标有数字1的卡片，与原有三张卡片混合后，按照题目中的抽取方式，所得到的点恰好在函数的图像上的概率为______．（请用含的代数式直接写出结果） 23. 如图，点E是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 24. 3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆． （1）求树苗基地每捆种树苗的价格． （2）树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 25. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 26. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． （2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长． （3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点M的坐标； （3）如图2，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，经过三点的圆的圆心为M，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接．已知． （1）的直径为 　　，点M的坐标为 　　； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟试卷 九年级数学 一．选择题（共8小题，每题2分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据同底数幂的乘除运算法则计算判断即可． 【详解】解：A．，计算错误； B．，不是同类项，不能合并，故错误； C．，计算错误； D．，计算正确． 故选：D． 【点睛】此题考查的是同底数幂的乘除运算，掌握其运算法则是解决此题关键． 3. 把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 82.5° 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案． 【详解】如图，作直线l平行于直角三角板的斜边， 可得：∠3=∠2=45°，∠4=∠5=30°， 故∠1的度数是：45°+30°=75°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键． 4. 如图，中，弦，相交于点P，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同弧所对的圆周角相等求得，再根据三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质等知识；熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键． 5. 2023年9月，华为最新的发售，销量遥遥领先，其中使用的华为新麒麟芯片突破5纳米（1纳米毫米）制程工艺，数据“5纳米”用科学记数法表示为（　　） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法；“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：5纳米毫米． 故选：C． 6. 如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（ ） A 160° B. 150° C. 140° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】由得，再根据翻折知，，即可求出的值． 【详解】解：， ， 翻折， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键． 7. 如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种， 则灯泡发光的概率为， 故选：B． 8. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴， 即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 二．填空题（共10小题，每题2分） 9. 计算：=_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先把化成，然后再合并同类二次根式即可得解. 【详解】原式=2. 故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行然后合并同类二次根式． 10. 分解因式：x3﹣4xy2=_____． 【答案】x（x+2y）（x﹣2y） 【解析】 【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y）， 故答案为x（x+2y）（x-2y） 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 已知关于x的方程的一个根是2，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，将，代入原方程，然后解出的值即可． 【详解】解：由题意得：， 将，代入方程得： ， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是：将，代入原方程，然后解出的值即可． 13. 已知圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为________. 【答案】3 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆半径为r，根据扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，×2π×r×4＝12π， 解得，r＝3， 故答案为3． 【点睛】考查是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 14. 如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知图形去添加合适得辅助线，从而得出，再求解即可． 【详解】解：连接，由图可知： ，，， 满足， ∴， 设小方格的边长为，则，， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，构造辅助线使得再结合解直角三角形相关知识是解此题的关键． 15. 在中，，斜边，，则___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正弦的定义是解决问题的关键，直接利用正弦的定义计算出的长． 【详解】解：在中， ∵斜边， ∴，即 ∴． 故答案为：． 16. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 【答案】105 【解析】 【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ 连接，，如图， 则是等边三角形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形，， ∴ ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 17. 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为轴上一动点，切于点B，则最小值是 __． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题，再根据垂线段最短的性质进行分析，最后利用勾股定理求得答案． 【详解】如图，连接，， 根据切线的性质定理，得 ， 要使最小，只需最小 当轴于P时，最短 此时P点的坐标是，， 在中，，， 则最小值是． 故答案为：． 18. 如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，连接，根据，可说明，从而求出的长，再利用，得，设，则，，进而得出x的值． 【详解】解：如图，连接， ， 由勾股定理得，， ∵点G为的中点， ， 的锐角顶点D恰好落在的斜边上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共10小题，共84分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算三角函数，化简绝对值，零次幂，再合并即可； （2）利用多项式乘多项式，完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20. 解方程组和不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， ①②得：， 解得：， 把代入①中得：， 解得：． 原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， ， ； 解不等式②得：， ； 原不等式组的解集为：． 21. 3月5日，某学校师生积极参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的师生共有_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数； （3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“敬老服务”项目的师生人数． 【答案】（1）300，补全条形统计图见解答 （2） （3）480名 【解析】 【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图； （2）用乘“文明宣传”所占的百分比即可得出“文明宣传”对应的圆心角度数； （3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“敬老服务”的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次调查的师生共有：（人）， “文明宣传”的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：300； 【小问2详解】 解：由（1）知“文明宣传”的人数为人， 在扇形统计图中，“文明宣传”对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：由条形统计图中数据可知样本中“敬老服务”的人数为人， （人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 有三张大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字，1，2，将卡片搅匀后背面朝上，任意抽取一张记下数字，不放回，再抽取一张，记下数字，这样就得到了一个点的坐标. （1）求点恰好在函数的图像上的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） （2）若再增加张都标有数字1的卡片，与原有三张卡片混合后，按照题目中的抽取方式，所得到的点恰好在函数的图像上的概率为______．（请用含的代数式直接写出结果） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）列表可得出所有等可能的结果数以及点恰好在函数的图像上的结果数，再利用概率公式可得出答案； （2）由题意可得，共有种等可能的结果，其中点恰好在函数的图像上的结果有种，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：画出树状图，如下： 共有6种等可能的结果，其中点恰好在函数的图像上的点有：，，共2种， 点恰好在函数的图像上的概率为：； 【小问2详解】 再增加张都标有数字1的卡片，共有张卡片， 按照题目中的抽取方式，共有种等可能的结果， 其中点恰好在函数的图象上的结果有种， 点恰好在函数的图像上的概率为：． 23. 如图，点E是矩形的边上的一点，且． （1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆． （1）求树苗基地每捆种树苗的价格． （2）树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，先求得，根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 （1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，依题意，得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆； 【小问2详解】 解：设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元， ∵ 解得： ∵，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值 25. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 26. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． （2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长． （3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）是 （2）4 （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【小问1详解】 解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴四边形是等补四边形， 故答案为：是； 【小问2详解】 如图2，∵，， ∴将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 ∵， ∴将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， 当时，的面积最大，为， 则四边形面积的最大值为8． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点M的坐标； （3）如图2，以B为圆心，2为半径的与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围． 【答案】（1）y=x2-6x+5；（2）（2，-3）或（4，-3）；（3） 【解析】 【分析】（1）由直线y=-5x+5求点A、C坐标，再用待定系数法求抛物线解析式； （2）令y=0可得点B的坐标，可计算AB的长和,设M（x，x2-6x+5），用含x的代数式表示出，根据的面积等于面积的列出方程，求出x的值即可； （3）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△QAD（SAS），确定点D在以Q为圆心，以2为半径的圆上运动，如图3和图4确定DF的最大值和最小值，从而得结论． 【详解】解：（1）直线AC：y=-5x+5， x=0时，y=5， ∴C（0，5）， y=-5x+5=0时，解得：x=1， ∴A（1，0）， ∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为y=x2-6x+5； （2）当y=x2-6x+5=0时， 解得：x1=1，x2=5， ∴B（5，0）， ∵A（1，0），C（0，5）， ∴AB=4，OC=5 ∴ 设M(x，x2-6x+5) ∴ ∵的面积等于面积的 ∴ 解得， ∴y=x2-6x+5=-3 ∴M点的坐标为（2，-3）或（4，-3）； （3）如图2，连接BP，过点A作AQ⊥AB，并截取AQ=AB=4，连接DQ， ∵∠PAD=∠BAQ=90°， ∴∠BAP=∠QAD， ∵AB=AQ，AP=AD， ∴△BAP≌△QAD（SAS）， ∴PB=DQ=2， ∴点D在以Q为圆心，以2为半径的圆上运动， ∴当Q在线段DF上时，DF最长，如图3所示， Rt△AQF中，AQ=4，AF=4+2=6， ∴， ∴此时DF的最大值是2+2； 当D在线段QF上时，DF的长最小，同理可得DF的最小值是2-2； ∴FD的取值范围是：． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，圆有关的性质，三角形全等的性质和判定，最值问题等知识，确定动点的运动轨迹是本题的难点，利用三角形全等确定DQ=2是第三问的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，经过三点的圆的圆心为M，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接．已知． （1）的直径为 　　，点M的坐标为 　　； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】（1），； （2） （3）的长度为5或或10 【解析】 【分析】（1）连接，求出，可得的直径为，而M为中点，知； （2）连接，由，得，故，设，即，可解得；用待定系数法得直线所对应的函数表达式为； （3）设，由 可得；分三种情况：①当时，连接，求出，可得，故；②当时，证明，得，解得，可得；③当时，由，有，得，，即可作答． 【小问1详解】 解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为 ∴ ∴的直径为 ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵ ∴ ∴ 设， ∵， ∴， 解得， ∴； 设直线所对应的函数表达式为，把，代入，得 ， 解得， ∴直线所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设 ∵ ∴ 解得或， ∴ ①当时，连接 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图： ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ③当时，如图： ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长度为5或或10． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及圆的性质及应用，待定系数法，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $