8.2.1 一元线性回归模型 同步练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.1 一元线性回归模型 一、单选题 1.根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为Y，则 A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 2.某中学有学生近6000人，要求学生在每天上午之前进校，现有一个调查小组调查某天进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标表示第分钟至第分钟到校人数，，，如当时，纵坐标表示在这一分钟内进校的人数为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是（图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是（图中的虚线表示），则下列结论中错误的是（） A. 内，每分钟的进校人数Y与相应时间X呈正相关 B. 乙同学的回归方程拟合效果更好 C. 根据甲同学得到的回归方程可知该校当天这一分钟内的进校人数一定是9人 D. 该校超过半数的学生都选择在到校 3.若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（） A. B. C. D. 4.已知两个变量与对应关系如下表： 1 2 3 4 5 5 8 9 10.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与负相关 B. 在处的残差为0.5 C. 经验回归直线过点(3,8) D. 变量每增加一个单位，实际值一定增加1.25个单位 5.已知一组数据满足线性回归关系，且经验回归方程为，若，则 A. 30 B. 60 C. 630 D. 1200 6.下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量/万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关性，且满足经验回归方程，则的值为（ ） A. 146.5 B. 164.8 C. 179.5 D. 197.8 二、多选题 7.某电影公司为了解某部电影的宣传对票房的影响，在某市随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：万元）和销售额（单位：万元）的数据如下： （万元） 5 6 7 8 9 （万元） 55 60 75 80 由统计数据知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与负相关 B. 当时，残差为-1.5（残差 = 观测值 - 预测值） C. 当时，销售额约为94万元 D. 8.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 产品的销量与单价成负相关 B. C. 若单价为50元时，估计其销量为44件 D. 为了获得最大的销售额（销售额 = 单价×销量），单价应定为70元或80元 9.一组样本数据，其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为，对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，，则（） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 三、填空题 10.某市居民2015 - 2019年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 收入 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，家庭年平均收入与年平均支出有_________相关关系（选填“正”或“负”）. 11.经验回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据，，…，，其经验回归方程为. 则，，其中，是经验回归直线的_________，是在轴上的_________. 12.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得的数据列于表中，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则_________. 色差 21 23 25 27 色度 15 18 19 20 四、解答题 13.有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价： 品牌 所含热量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味记录 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 (1) 作出散点图； (2) 你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？ (3) 如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系； (4) 对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？ 14.某机构为了解某大学中男生的体重（单位：）与身高（单位：）是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高（） 161 175 169 178 173 168 180 体重（） 52 62 54 70 66 57 73 根据表中数据计算得到关于的线性回归方程为，求. 15.近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起，某企业着力推进技术革新，利润稳步提高，统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图，其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5. (1) 根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2) 根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； (3) 根据（2）的结果，估计2025年的企业利润. 参考公式及数据：，，，，，，. 一、单选题 1.答案：B 解析：已知线性回归方程为，样本点、、的均值为，代入方程得。 均值为，解得。 2.答案：C 解析：回归方程预测值并非实际值，甲同学的方程给出的是估计值，不能说“一定是9人”，故C错误。 3.答案：C 解析：散点图呈现对数增长趋势，符合的函数形态，故选C。 4.答案：C 解析：回归方程斜率，正相关，A错误；时，残差，B错误；时，，经验回归直线过点，C正确；D中“实际值一定增加”表述错误。 5.答案：D 解析：由，得。经验回归方程过均值点，，故。 6.答案：D 解析：年份代码均值为，代入回归方程得。 年产量总和为，则。 二、多选题 7.答案：BCD 解析： A. 回归方程斜率，正相关，A错误； B. 时，，残差，B正确； C. 时，，C正确； D. 均值为7，，则，解得，D正确。 8.答案：ABC 解析： A. 回归方程斜率，负相关，A正确； B. 均值为，，则，解得，B正确； C. 时，，C正确； D. 销售额，当时取最大值，D错误。 9.答案：AD 解析： A. 回归方程斜率，负相关，A正确； B. ，，，B错误； C. 残差分布中，图1较分散，故，C错误； D. 处理后残差更集中，决定系数变大，D正确。 三、填空题 10.答案：正 解析：收入增加时支出也增加，呈正相关。 11.答案：斜率；截距 12.答案：23.4 解析：已知均值为，均值为，代入得，解得。 当时，，残差，故。 四、解答题 13.解：(1) 散点图绘制：以“所含热量百分比”为轴，“口味记录”为轴，描点即可。 (2) 近似关系：散点大致呈线性下降趋势，即热量百分比越高，口味评分越高（正相关）。 (3) 直线绘制：过点和作直线近似拟合。 (4) 原因：直线上方的食品在相同热量百分比下口味评分更高，更符合消费者偏好。 14.解： 计算均值：均值：代入回归方程，解得： 15.解： 观察散点图，利润随年份代码的变化趋势不是直线型，更符合二次函数（抛物线）的增长趋势，所以适宜作为企业利润关于年份代码的回归方程类型 。 建立关于的回归方程 令，则回归方程变为。 计算和： 已知依次为，则依次为。 ， 。 计算： 根据公式，其中，， 。 将数值代入可得： 计算： 根据公式，将，，代入可得： 所以关于的回归方程为，将代回，得到关于的回归方程为 。 估计年的企业利润 年对应的年份代码，将代入回归方程可得： 学科网（北京）股份有限公司 $$