第03讲 函数的奇偶性、周期性、对称性（十四大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

第03讲 函数的奇偶性、周期性和对称性 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03 网络构建 04 必备基础知识梳理 考点1：函数的奇偶性 考点2：函数的周期性 考点3：函数的对称性 05 必考题型精讲精练 题型一：函数奇偶性的定义及判断 题型二：已知函数的奇偶性求参数 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 题型四：已知奇函数 题型五：根据函数的奇偶性和单调性解不等式 题型六：判断或证明函数的对称性 题型七：由函数的对称性求解析式或函数值 题型八：根据函数的对称性求参数 题型九：函数的对称性与单调性解不等式 题型十：函数周期性的求解 题型十一：根据函数的周期性求解析式或函数值 题型十二：由函数的对称性求周期 题型十三：由函数的奇偶性和对称性求周期 题型十四：函数性质的综合应用 06 真题呈现（2025年--2021年真题） 复习目标 1.借助函数图像，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值； 2.掌握函数单调性的简单应用； 3.会求函数的值域（最值）. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 2025年全国Ⅰ卷 利用函数的奇偶性和周期性求函数值 2023年全国Ⅱ卷 已知函数的奇偶性求参数 2023年全国甲卷（理） 已知函数的奇偶性求参数 2023年全国乙卷（理） 已知函数的奇偶性求参数 2022年全国Ⅰ卷 函数的对称性和周期性求函数值 2022年全国乙卷（理） 函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性 2021年全国Ⅰ卷 已知函数的奇偶性求参数 2021年全国Ⅱ卷 函数的奇偶性、对称性和周期性 2021年全国乙卷（理） 判断函数的奇偶性 2021年全国甲卷（理） 由函数的奇偶性、周期性求函数值； 网络构建 必备基础知识梳理 1、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果，则函数为偶函数；如果，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 【常用结论】 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征： 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 2、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． (5)若函数关于直线对称，则． (6)若函数关于点对称，则． (7)函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 3、函数的周期性 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【常用结论】 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 必考题型精讲精练 题型一：函数奇偶性的定义及判断 例1．⑴（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． ⑵（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 ⑴定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数； ⑵判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（奇函数）或（偶函数）是否成立. 练习：1．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西朔州·模拟预测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·二模）已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 5．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 6．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 题型二：已知函数的奇偶性求参数 例2．⑴（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 ⑵（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 【解题总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 练习：1．（2025·四川·三模）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D．6 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 4．（2025·安徽·模拟预测）已知是奇函数，则 . 5．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则实数 ． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且，则（   ） A． B． C．2 D． 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 例3．⑴（24-25高一上·上海闵行·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ⑵（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， . 【解题方法总结】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 练习：1．（2025·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知函数是奇函数，且时，，则（    ） A．10 B．9 C． D． 3．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知函数为奇函数，且，则（   ） A．2 B． C．1 D．3 4．（2025·宁夏·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 6．（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若方程有三个不同的根，求的取值范围． 题型四：已知奇函数 例4．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 【解题方法总结】 已知奇函数+M，，则（1）；（2）。 练习：1．（2025·浙江杭州·二模）设函数是奇函数.若函数，，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 2．（24-25高三下·广东清远·开学考试）已知函数，若，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，（其中为常数)，，求的值. 题型五：根据函数的奇偶性和单调性解不等式 例5．⑴（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ⑵（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． ⑶（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 . 【解题方法总结】利用函数的奇偶性解不等式： ⑴图像法：利用函数的奇偶性画出函数的图像在其对称区间上的图像，结合几何直观求解不等式的解集； ⑵求解不等式时，由奇偶性和对称性去掉“”，从而化为自变量的大小关系，记住考虑函数的定义域且偶函数一般需加绝对值。 练习：1．（2022·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东湛江·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：判断或证明函数的对称性 例6．（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【解题方法总结】 (1)若函数关于直线对称，则． (2)若函数关于点对称，则． (3)函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 练习：1．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 2．（多选）（2026高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称 C．若函数过定点，则函数过定点 D．若函数的图象关于点中心对称，则 3．（多选）（24-25高三下·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称 B．函数的图象关于某直线对称 C．函数的图象关于某点对称 D．函数的图象关于某点对称 4．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）函数图象的对称中心的坐标为 ． 5．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 6．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为 . 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数与关于直线对称，则 ． 题型七：由函数的对称性求解析式或函数值 例7．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 已知函数的对称性求解析式，先在所求函数的图象上任取一点，求出此点关于所给对称轴（或对称点）的对称点的坐标，代入所给函数，即得所求函数的解析式。 练习：1．（多选）（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 2.（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ． 3．（21-22高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ． 题型八：根据函数的对称性求参数 例8．（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【解题方法总结】 (1)若函数关于直线对称，则． (2)若函数关于点对称，则． 练习：1．（2025·湖北·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则 ． 2.（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则 . 4.（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 . 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数与关于直线对称，则 ． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，则 ，的值域为 ． 7．（24-25高三上·广东·期末）已知函数满足，则（   ） A．1 B．2025 C． D． 题型九：函数的对称性与单调性解不等式 例9．⑴（2025·江苏南京·一模）已知函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． ⑵（2023·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】利用函数的对称性和单调性解不等式： ⑴图像法：利用函数的对称性画出函数的图像在其对称区间上的图像，结合几何直观求解不等式的解集； ⑵求解不等式时，由对称性和单调性去掉“”，从而化为自变量的大小关系，记住考虑函数的定义域且轴对称函数一般需加绝对值。 练习：1．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河北邯郸·一模）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型十：函数周期性的求解 例10．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数满足：，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题方法总结】 求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期。 练习：1．（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则 . 3．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十一：根据函数的周期性求解析式或函数值 例11．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 利用函数的周期性求解析式时，可利用其周期性将其它区间上的求解，转化到已知区间上，进而解决问题。 练习：1.（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高三上·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为 . 5．（23-24高三上·山西晋中·开学考试）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算． 6．（22-23高三上·吉林白山·阶段练习）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式． 题型十二：由函数的对称性求周期 例12．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ． 【解题方法总结】 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． (5)若关于和对称，则的周期为； (6)若关于和对称，则的周期为 练习：1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，且，则 . 2．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为 . 题型十三：由函数的奇偶性和对称性求周期 例13.（24-25高三上·广西·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 【解题方法总结】 若为奇函数，且关于对称，则的周期为； 若为奇函数，且关于对称，则的周期为； 若为偶函数，且关于对称，则的周期为； 若为偶函数，且关于对称，则的周期为. 练习：1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．0 2．（2025·山西晋中·三模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林·三模）已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 5．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 6．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 7．（2025·河北秦皇岛·三模）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型十四：函数性质的综合应用 例14．（2025·重庆·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【思维升华】 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们结合在一起命题。解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题。 练习：1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点对称 2.（多选）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 3．（多选）（2025高三下·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（   ） A．函数的一个周期 B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点 4．（多选）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是周期为3的周期函数 D． 5．（2025·陕西宝鸡·三模）已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，，则 . 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2025年全国Ⅰ卷高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025年全国Ⅱ卷高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 3．（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 4．（2023年全国乙卷（理）高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023年全国甲卷（理）高考真题）若为偶函数，则 ． 6．（多选）（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 7.（2022年全国乙卷（理）高考真题）已知函数，的定义域均为，且 ，．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 8.（2021年全国新高考Ⅱ卷高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 9．（2021年全国甲卷（理）高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2021年全国乙卷（理）高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 11．（2021年全国新高考Ⅰ高考真题）已知函数是偶函数，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 函数的奇偶性、周期性和对称性 目录： 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03 网络构建 04 必备基础知识梳理 考点1：函数的奇偶性 考点2：函数的周期性 考点3：函数的对称性 05 必考题型精讲精练 题型一：函数奇偶性的定义及判断 题型二：已知函数的奇偶性求参数 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 题型四：已知奇函数 题型五：根据函数的奇偶性和单调性解不等式 题型六：判断或证明函数的对称性 题型七：由函数的对称性求解析式或函数值 题型八：根据函数的对称性求参数 题型九：函数的对称性与单调性解不等式 题型十：函数周期性的求解 题型十一：根据函数的周期性求解析式或函数值 题型十二：由函数的对称性求周期 题型十三：由函数的奇偶性和对称性求周期 题型十四：函数性质的综合应用 06 真题呈现（2025年--2021年真题） 复习目标 1.借助函数图像，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值； 2.掌握函数单调性的简单应用； 3.会求函数的值域（最值）. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 2025年全国Ⅰ卷 利用函数的奇偶性和周期性求函数值 2023年全国Ⅱ卷 已知函数的奇偶性求参数 2023年全国甲卷（理） 已知函数的奇偶性求参数 2023年全国乙卷（理） 已知函数的奇偶性求参数 2022年全国Ⅰ卷 函数的对称性和周期性求函数值 2022年全国乙卷（理） 函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性 2021年全国Ⅰ卷 已知函数的奇偶性求参数 2021年全国Ⅱ卷 函数的奇偶性、对称性和周期性 2021年全国乙卷（理） 判断函数的奇偶性 2021年全国甲卷（理） 由函数的奇偶性、周期性求函数值； 网络构建 必备基础知识梳理 1、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果，则函数为偶函数；如果，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 【常用结论】 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征： 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 2、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． (5)若函数关于直线对称，则． (6)若函数关于点对称，则． (7)函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 3、函数的周期性 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【常用结论】 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 必考题型精讲精练 题型一：函数奇偶性的定义及判断 例1．⑴（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D ⑵（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数， 可得， 所以函数为奇函数， 因为正实数满足， 可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【解题方法总结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 ⑴定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数； ⑵判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（奇函数）或（偶函数）是否成立. 练习：1．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 2．（2025·山西朔州·模拟预测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域是，关于原点对称，排除选项D， 因为， 所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除A， 当时，， （等号条件为即，故等号不成立）， 当时，， （等号条件为即，故等号不成立），排除C，只有选项B符合题意. 故选：B. 3．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据得 可得，故为奇函数 故选：A 4．（2025·广东深圳·二模）已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】B 【详解】对于A，首先求：已知， 若为奇函数，则恒成立，即恒成立. 因为恒成立，所以，解得，所以为奇函数，选项A错误. 对于B，接着求：已知， 若为偶函数，则恒成立，即恒成立. 因为不恒为，所以，解得，所以为偶函数，选项B正确.   对于C，D，对求导得. 当时，，，所以，则为增函数. 当时，令，即，则，，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以选项C、D错误.   故选：B. 5．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 【答案】4 【详解】因为， 所以， ， 所以函数为奇函数且为增函数，. 由可得，即为. 因为，所以．当且仅当，时取等号． 故答案为：4 6．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【详解】解：因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 题型二：已知函数的奇偶性求参数 例2．⑴（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】易知的定义域为，且是奇函数， 则对任意均成立， ， 即 解得． 故选：D. ⑵（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 【答案】 【详解】因为函数为偶函数， 而是偶函数，是奇函数， 所以为奇函数， ，得； 若，函数，定义域为,不关于原点对称，函数不是偶函数， 若，代入验证符合题意. 故答案为： 【解题总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 练习：1．（2025·四川·三模）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 则. 故选：C 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 3．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】当时，，则，所以，. 故选：C． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知是奇函数，则 . 【答案】1 【详解】因为为奇函数， 所以为奇函数， ，即， 则恒成立， 则，所以， 当时，，经检验符合题意， 所以. 故答案为：1. 5．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意有， 所以， 即， 化简整理有：解得， 故答案为：. 6．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为为奇函数，故，故， 所以即为偶函数，故， 故，故，， 而，故， 故选：A. 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 例3．⑴（24-25高一上·上海闵行·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， 【答案】 【详解】当时，，故， 又是定义在上的奇函数，故， 所以，故. 故答案为： ⑵（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】当时，可得， 又因为当时，，所以， 因为是偶函数，所以， 所以当时，. 故答案为：. 【解题方法总结】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 练习： 1．（2025·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，. 故选：C 2．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知函数是奇函数，且时，，则（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】D 【详解】由奇函数的定义得， 故选：D. 3．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知函数为奇函数，且，则（   ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】由函数为奇函数， 可得：． 故选：B． 4．（2025·宁夏·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则 当时，，故， 所以. 故选：A 5．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】. 【详解】解析：因为是奇函数，当时，， 所以当时，. 故答案为：. 6．（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ． 【答案】3 【详解】由题意有， 又，所以， 故答案为：3. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若方程有三个不同的根，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，已知. 当时，，则. 因为是奇函数，所以，那么. 综上，. （2）当时，，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，，. 当时，，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，，. 要使方程有三个不同的根，即直线与函数的图象有三个交点. 从函数图象的性质可知，时满足条件. 题型四：已知奇函数 例4．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 【答案】A 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：A. 【解题方法总结】 已知奇函数+M，，则（1）；（2）。 练习：1．（2025·浙江杭州·二模）设函数是奇函数.若函数，，则（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：B 2．（24-25高三下·广东清远·开学考试）已知函数，若，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【详解】由，其定义域为R， 又， 所以，则. 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，（其中为常数)，，求的值. 【答案】 【详解】设，则， 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 即，所以函数在上为奇函数，则， 又因为，即，可得， 所以. 故答案为：. 题型五：根据函数的奇偶性和单调性解不等式 例5．⑴（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. ⑵（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. ⑶（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由，在R上都单调递减，且都是奇函数， 所以是单调递减的奇函数， 故，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【解题方法总结】利用函数的奇偶性解不等式： ⑴图像法：利用函数的奇偶性画出函数的图像在其对称区间上的图像，结合几何直观求解不等式的解集； ⑵求解不等式时，由奇偶性和对称性去掉“”，从而化为自变量的大小关系，记住考虑函数的定义域且偶函数一般需加绝对值。 练习：1．（2022·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】 因为时，单调递增， 又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示， 由图像可知，若，则或. 故选：C 2．（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 3．（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且是偶函数， 所以， 所以，单调递减， 则不等式化简为， 所以，即， 所以或. 故选：B. 4．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 5．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，分解因式可得， 解得. 故选：A 6．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 7．（2025·广东湛江·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以在上单调递增，且． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且． 由，可得或，解得或． 即的解集为. 故选：B. 8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 题型六：判断或证明函数的对称性 例6．（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】C 【详解】对于A：，A错； 对于B：，B错； 对于C：由， 所以关于直线对称，C对； 对于D，，故D错； 故选：C 【解题方法总结】 (1)若函数关于直线对称，则． (2)若函数关于点对称，则． (3)函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 练习：1．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【详解】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称． 故选：A 2．（多选）（2026高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称 C．若函数过定点，则函数过定点 D．若函数的图象关于点中心对称，则 【答案】ABC 【详解】对于A中，函数， 其图象可以由的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 且的图象关于原点对称，故的图象关于点中心对称，所以A正确； 对于B中，因为为奇函数，可得， 所以，所以， 所以函数关于点中心对称，所以B正确； 对于C中，函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象， 由于过定点，所以函数过定点，所以C正确； 对于D中，函数的图象关于点中心对称， 所以，解得，所以，所以D不正确． 故选：ABC. 3．（多选）（24-25高三下·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称 B．函数的图象关于某直线对称 C．函数的图象关于某点对称 D．函数的图象关于某点对称 【答案】BCD 【详解】对A，令，则， 所以函数的图象关于点对称，故A不正确； 对B，令，所以， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对C，因为， 所以的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 而函数是奇函数，图象关于原点对称， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位再向上平移3个单位得到， 设，则，即是奇函数，图象关于原点对称， 因此函数的图象关于点对称，故D正确． 故选：BCD． 4．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）函数图象的对称中心的坐标为 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 又， 所以函数图象的对称中心的坐标为. 故答案为： 5．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 ； 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 6．（24-25高一上·湖南常德·期末）已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】令，解得， 可知的定义域为， 又因为， 所以函数的图象关于点对称. 故答案为：. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数与关于直线对称，则 ． 【答案】1 【详解】设点是函数图象上的任意一点，则有， 又点关于直线的对称点在的图象上， ，即有， ，． 故答案为： 题型七：由函数的对称性求解析式或函数值 例7．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 【解题方法总结】 已知函数的对称性求解析式，先在所求函数的图象上任取一点，求出此点关于所给对称轴（或对称点）的对称点的坐标，代入所给函数，即得所求函数的解析式。 练习：1．（多选）（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位， 再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确； B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的， 而函数是偶函数，关于轴对称， 其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确； C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确； D：，显然， 故此函数不是关于直线对称的，故D错误. 故选：ABC. 2.（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【详解】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为， 可得，解得， 将其代入函数，可得，所以， 即. 故答案为：. 3．（21-22高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ． 【答案】 【详解】由是定义在R上的函数的对称轴，则， 又当时，， 则当时，即，则， 所以的解析式是． 故答案为：． 题型八：根据函数的对称性求参数 例8．（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为关于点中心对称， 所以， 所以，可得， 故选：C． 【解题方法总结】 (1)若函数关于直线对称，则． (2)若函数关于点对称，则． 练习：1．（2025·湖北·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】4 【详解】由题意知，对任意，恒有成立， 即恒成立，化简得， 故只能，又，则． 故答案为：4. 2.（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】64 【详解】解法一：因为的图象关于直线对称，所以， 即，解得，当时，，满足题意，故， 解法二：因为的图象关于直线对称， 所以恒成立，故. 故答案为：64. 4.（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 . 【答案】 【详解】设是的图象上一点， 关于点的对称点为， 由题知点也在的图象上，则 ， 两式相加得， 所以恒成立，故， 且，整理得. 若，则，此时的图象不关于点对称，不符合要求； 若，则，符合要求，所以. 法二： 由的图象关于点对称，得函数的定义域关于对称， 即的解集关于对称，得，所以， 设， 则， 故的图象关于点对称， 故的图象关于点对称， 所以，所以. 故答案为：. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数与关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】在函数上任取一点， 则点关于直线的对称点为， 由题意可知，点在函数图象上， 则， 所以，，解得. 故答案为：. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，则 ，的值域为 ． 【答案】 1 【详解】函数的图象关于点对称，则，则， 整理得，所以，则． 因此，由于，，． 故的值域为． 故答案为：；. 7．（24-25高三上·广东·期末）已知函数满足，则（   ） A．1 B．2025 C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域满足，等价于， 由可知的图象关于直线对称， 故的定义域关于对称， 则的解集只能为，故． 由，可得， 故， 则，解得，故． 故选：C． 题型九：函数的对称性与单调性解不等式 例9．⑴（2025·江苏南京·一模）已知函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数解析式，可得函数的单调性与对称性，化简不等式，可得答案. 【详解】由， 则， 由，则函数在上单调递增，易知函数在上单调递减， 由，则，即， 可得，分解因式可得，解得. 故选：A. ⑵（2023·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：D. 【解题方法总结】利用函数的对称性和单调性解不等式： ⑴图像法：利用函数的对称性画出函数的图像在其对称区间上的图像，结合几何直观求解不等式的解集； ⑵求解不等式时，由对称性和单调性去掉“”，从而化为自变量的大小关系，记住考虑函数的定义域且轴对称函数一般需加绝对值。 练习：1．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 3．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. 4．（2023·河北邯郸·一模）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称． 因为在上单调递增，所以在上单调递减． 因为，所以，解得． 故选：A. 5．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为：或， 故选：C 题型十：函数周期性的求解 例10．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数满足：，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】根据题意，，显然，所以， 所以，函数的一个周期为8， 所以. 故选：A 【解题方法总结】 求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期。 练习：1．（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为为定义在上的奇函数，则， 又因为，则， 可得，可知2为的一个周期， 所以. 故选：B. 2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则 . 【答案】3 【详解】因为，则， 可得，可知4为函数的周期， 且， 又因为当时，，则， 所以. 故答案为：3. 3．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为的值域为， 所以可由得：， 则有， 所以函数是一个以4为周期的函数，则有， 又因为函数为偶函数，所以， 则函数的图象是关于直线对称的，即， 又因为周期性可知，所以， 又由可得：，所以， 因为的值域为，所以，即， 故选：B 题型十一：根据函数的周期性求解析式或函数值 例11．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 【解题方法总结】 利用函数的周期性求解析式时，可利用其周期性将其它区间上的求解，转化到已知区间上，进而解决问题。 练习：1.（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，则， 所以函数是以4为周期的周期函数，又当时，，且是定义在上的奇函数， 所以时，，， 所以当时，，. 故选：B. 2.（22-23高三上·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 3．（22-23高一下·河南信阳·期末）设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时， 故选：C. 4．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数满足，当时，，且，则当时，不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由知，函数是周期函数，周期为4， ，得， 所以当时，， 设， , 则，得，即， 当， ， 则，得，即， 综上可知不等式的解集为. 故答案为： 5．（23-24高三上·山西晋中·开学考试）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3) 【详解】（1）， 所以：是以为周期的周期函数； （2）当时，因为函数是定义在R上的奇函数， 所以， 当时，； （3）， 因为函数的周期为， 所以. 6．（22-23高三上·吉林白山·阶段练习）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴是周期为4的周期函数． （2）∵，∴，∴， ∴． ∵， 即． 题型十二：由函数的对称性求周期 例12．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ． 【答案】 【详解】由为偶函数，，即， 由为奇函数，，即， 所以，即，即， 所以，即是周期为4的函数， 所以，又， 所以. 故答案为： 【解题方法总结】 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． (5)若关于和对称，则的周期为； (6)若关于和对称，则的周期为 练习：1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，且，则 . 【答案】 【详解】因为为奇函数，所以， 即，所以， 因为为偶函数，所以， 所以，即， 所以， 则是周期为的周期函数， 因为，即， 则，， 所以， 因为，所以，则， 则 . 故答案为：. 2．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则的值为 . 【答案】0 【详解】为偶函数，则，左右两边同时求导得， ，将看作整体得①， 将图象向右平移个单位得到， 因为为偶函数，则图象关于对称，即②， ①②两式联立得，即， 用代替得，故， 即的周期为， 因，则①式中令有，令有， ②式中令有，令有， 则 故答案为：. 题型十三：由函数的奇偶性和对称性求周期 例13.（24-25高三上·广西·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 【答案】/； / 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 又函数为偶函数，则，可得， 则，可得，可知的一个周期为4， 所以；. 故答案为：；. 【解题方法总结】 若为奇函数，且关于对称，则的周期为； 若为奇函数，且关于对称，则的周期为； 若为偶函数，且关于对称，则的周期为； 若为偶函数，且关于对称，则的周期为. 练习：1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足， 则， 所以，即， 所以，函数是周期为8的周期函数， 且当时，， 则. 故选：B. 2．（2025·山西晋中·三模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】定义在上的奇函数满足， 则，于是， 即的周期为4，则． 故选：C. 3．（2024·吉林·三模）已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】是偶函数，， 则，从而， 又是奇函数，则， ，进而， 所以是周期为的周期函数， 又当时，，则， 所以. 故选：D. 4．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 【答案】B 【详解】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则. 令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误. 对于B选项，因为是奇函数，则. 由可得. 用代替可得，又因为，所以，即. 那么. 同理. . . 令，则，所以B选项正确. 对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误. 对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误. 故选：B. 5．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为是定义在的奇函数，则， 则，即， 令，可得； 令，可得，即， 则， 所以. 故选：C. 6．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 【答案】D 【详解】因为，且函数是定义在上的奇函数， 则，即， 令，可得； 令，可得； 可得，则， 可知4为的一个周期，且， 所以. 故选：D. 7．（2025·河北秦皇岛·三模）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则有， 所以，由此可知为周期为的周期函数， 又因为是奇函数，所以， 因为，所以； 对于A选项，根据，将代入， 得，解得，A正确； 对于B选项，根据，将代入， 得，B正确； 对于C选项，根据，将代入， 得，C正确； 对于D选项，根据，有， 又根据，将代入， 得，由A选项可知， 所以，所以D错误. 故选：D 题型十三：函数性质的综合应用 例13．（2025·重庆·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由①，有关于直线对称； 由②，令，则，有关于点对称； 则，又因为，则， 则，则，则， 则的周期为12，故； 由③，知在单调递增，关于点对称， 在单调递增，又在上连续， 在单调递增，故有， 即． 故选：C. 【思维升华】 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们结合在一起命题。解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题。 练习：1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【详解】由为奇函数，得，即， 则，由为偶函数，得，则， 于是，函数是周期函数，一个周期为4， 由，得，由，得， 由，得，于是，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，得，为偶函数，C正确； 对于D，，的图象关于点对称，D错误. 故选：AC 2.（多选）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为函数是R上奇函数，所以， 因为函数是R上偶函数，所以， 对于，取为得：，即， 联立，可得， 所以函数关于点对称，故A正确； 对于B，对于，取为，得， 因为，所以， 由A选项知，取为，得， 联立，得， 取为，得， 取为，得， 所以，所以函数是周期为4的周期函数，故B正确； 对于C，由函数是R上奇函数可知，， 因为是R上偶函数，所以， 所以， 又因为是周期为4的周期函数，所以，故C错误； 对于D，由A选项知，所以，， ，， 由C选项知, 所以，故D正确. 故选：ABD. 3．（多选）（2025高三下·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（   ） A．函数的一个周期 B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点 【答案】ABC 【详解】对于选项A：由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足， 可知函数的一个周期为，故A正确； 对于选项B：由可得，则， 即，且， 又因为， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 可得点是图象的一个对称中心，故C正确； 对于选项D：例如满足题意，但在上有无数个零点，故D错误； 故选：ABC. 4．（多选）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是周期为3的周期函数 D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，所以不是奇函数，错误； 对于B：因为为奇函数， 所以， 由，可得：， 所以，即， 所以，偶函数，正确； 对于C：由， 可得，所以是周期为3的周期函数，正确； 对于D，， 所以， 由周期性可得： 故选：BCD 5．（2025·陕西宝鸡·三模）已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，，则 . 【答案】68 【详解】， . 则. 因为偶函数，则， 即，结合. 则， 则， 即的一个周期为4.因，由，， 可得.， 对于，令，可得， 又，令，可得. 则，又的一个周期为4， 则 . 故答案为： 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2025年全国Ⅰ卷高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．（多选）（2025年全国Ⅱ卷高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 3．（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 4．（2023年全国乙卷（理）高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5．（2023年全国甲卷（理）高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 6．（多选）（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 7.（2022年全国乙卷（理）高考真题）已知函数，的定义域均为，且 ，．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以，因为，所以. 所以故选：D 8.（2021年全国新高考Ⅱ卷高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 9．（2021年全国甲卷（理）高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 10．（2021年全国乙卷（理）高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 11．（2021年全国新高考Ⅰ高考真题）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到，故， 故答案为：1 学科网（北京）股份有限公司 $$