21.3 实际问题与一元二次方程 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

21.3 实际问题与一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 第3课时 几何图形与一元二次方程 学习目标 1.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.(重点) 2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.(难点) 知识点1、二元一次方程定义 问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? ? ? ? ? 100cm 50cm 解:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得 整理,得: 4x2-300x+1400=0. 化简,得 : x2-75x+350=0 . (100-2x)(50-2x)=3600. (100-2x)cm (50-2x)cm 问题2: 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛? 分析: 全部比赛共 4 7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛 是同一场比赛,所以全部比赛共 场. 即 (x-1) 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程 x2-75x+350=0 观察: 上面方程整理后含有 个未知数, 它们的最高次数为 , 等号两边都是 定义: 一元二次方程的一般形式: erci 二次项 二次项系数 erci 一次项 一次项系数 erci 常数项 想一想:为什么要限制 可以为零么? 知识点2、二元一次方程一般形式 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0,b、c 可以为零吗? 当 a = 0 时 bx+c = 0 当 a ≠ 0 , b = 0时 , ax2+c = 0 当 a ≠ 0 , c = 0时 , ax2+bx = 0 当 a ≠ 0 ,b = c =0时 , ax2 = 0 总结:只要满足a ≠ 0 ,b , c 可以为任意实数. 20 32 x x 例1:如图,在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少? 典例精析 解:设道路的宽为x米 还有其他解法吗? 20 32 x x 解:设道路的宽为 x 米 20-x 32-x (32-x)(20-x)=540 整理,得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50 当x=50时,32-x=-18(不合题意,舍去) ∴取x=2 答:道路的宽为2米. 方法二: 在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求 这种方案下的道路的宽为多少? 解:设道路的宽为 x 米 (32-x)(20-x)=540 可列方程为 变式一 在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪,如果横、纵小路的宽度比为3:2,且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少? 变式二 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x, 于是可列方程 (30-4x)(20-6x)= — 20 30 20㎝ 30㎝ 3x 2x 30-4x 20-6x 4 3 3x 2x 6x 4x 30-4x 20-6x 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 方法点拨 例2:如图:要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米? D C B A 25米 (100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5,x2=20 x=20,100-4x=20<25 x=5,100-4x=80>25 答:羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m. 解:设AB长是x m. x=5(舍去) 变式:如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80平方米? 住房墙 1m 解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m, 由题意得 x(25-2x+1)=80 化简,得 x2-13x+40=0 解得 x1=5 , x2=8 当x=5时,26-2x=16>12 (舍去) 当x=8时,26-2x=10<12 故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m. 则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m. 1. 在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( ) A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0 80cm x x x x 50cm B 当堂练习 2.如图,要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案,其中有两横两竖彩条,横竖彩条的宽度之比为2∶3 ,若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度? 解:设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm (20-6x)(30-4x)=400 6x2-65x+50=0 课堂小结 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系. 类 型 相框问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 思考题: 一块长方形铁板,长是宽的2倍,如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形, 然后把四边折起来,做成一个没有盖的盒子,盒子的容积是3000 cm3,求铁板的长和宽. 解:设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm 5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0 解得 x1=25 x2=-10(舍去) 所以 2x=50 答:铁板的长50cm,宽为25cm. 我是上善若水; 我是健康的,我是快乐的; 我要用真诚的品质、善良的本性、宽容的胸怀善待生命中的每一个遇见; 我要用不懈的努力和坚持获得每天的进步; 感恩父母,感谢老师; 为自己加油吧! 谢谢大家! $$