10.1.3 古典概型 课件 -2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章 概率 10.1随机事件与概率 10.1.3古典概型 复习回顾 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 相等 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容) 互为对立 互为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定互为对立. 发生导致发生 A与B至少一个发生 A与B同时发生 A⋃B或A+B A⊆B A=B A⋂B=AB A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生 A⋂B=ϕ A⋂B=ϕ，A⋃B=Ω A⊆B且B⊆A 1.利用生活实例判断并得出古典概型的概念； 2.理解古典概型的概念及特点； 3.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题； 4.结合具体实例，理解古典概型，能够正确判断古典概型，计算事件的概率。 学习目标 新知讲解 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率( probability)，事件A的概率用P(A)表示． 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计．但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢? 新知讲解 探究：在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.它们的共同特征有哪些？ 试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次, 出现的结果： 2种 正面朝上 反面朝上 试验2：掷一颗质地均匀的骰子一次, 出现的结果： 6种 1点 2点 3点 4点 5点 6点 ①样本空间的样本点只有有限个 ②每个样本点发生的可能性相等； 特点：①有限性 ②等可能性 新知讲解——古典概型 一、古典概型： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等； 将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 巩固练习 1. 判断下列概率模型是否是古典概型： (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； (2)从区间[1,10]内任意取出一个整数，求取到2的概率； (3)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (4)掷一枚质地均匀的骰子的试验中，求事件“出现的点数是2的倍数”的概率 (5)某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有： “命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中7环”、“命中6环”、 “命中5环”和“不中环”。 不符合有限性 不符合等可能性 是 古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等； 是 不符合等可能性 巩固练习 2. 下列试验中，属于古典概型的是（       ） A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．一只使用中的灯泡寿命长短 不符合等可能性 不符合有限性 不符合有限性和等可能性 C 符合有限性和等可能性 新知讲解 思考：考虑下面两个随机试验，如何度量事件和事件发生的可能性大小？ (1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件“抽到男生”； (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件“恰好一次正面朝上”. 这两个试验是古典概型吗？ 对于问题 (1)： 从40名学生中选1名学生，即样本点是有限个；随机选取，即选到每个学生的可能性都相等； 故这是一个古典概型。 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小. 因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量. 样本空间中有40个样本点 事件A包含18个样本点 新知讲解 思考：考虑下面两个随机试验，如何度量事件和事件发生的可能性大小？ (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件“恰好一次正面朝上”. 对于问题(2) ，我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则试验的样本空间 共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，这是一个古典概型。 事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小 B={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 所以事件B发生的可能性大小为 Ω={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)}, 新知讲解——古典概型概率的计算公式 二、古典概型概率计算公式： 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，表示事件包含的样本点个数 样本空间包含的样本点个数. 典例分析 例7： 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少? 解: 试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果 试验的样本空间表示为Ω={A，B，C，D}，则n(Ω)=4 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，这是一个古典概型． 设事件M=“选中正确答案”， 因为单选题的正确答案是唯一的，则n(M)=1 所以，考生随机选择一个答案，答对的概率 典例分析 变式：在标准化考试中也有多选题，多选题是从四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有两个选项是正确的).你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？ 所有可能的结果： ①若选2个项，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种 ②若选3个项，则有ABC，ABD，ACD，BCD，共4种 ③若选4个项，则有ABCD ，1种 正确答案的所有可能结果有6＋4＋1＝11种，从这15种答案中任选一种的可能性只有1/11，因此更难猜对。 典例分析 链接1：2020新高考数学试题增加了多项选择题,要求为:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.” 链接2：2024最新高考数学试题的多项选择题,要求为:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.” 典例分析 例8： 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果． (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 解: (1) 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可以与号骰子的任意一个结果配对, 组成掷两枚骰子试验的一个结果. 用m表示Ⅰ号骰子出现的点数，用n表示Ⅱ号骰子出现的点数； 则用(m,n)表示该试验的一个样本点， 则样本空间：Ω={(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}} 共有36个样本点，由于骰子质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等， 因此这个试验是古典概型. m \ n （该试验的所有样本点用下表所示） 列表法一般适用于分两步完成的结果的列举。 典例分析 例8： 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果． (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”； C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”． m \ n 解：(2)∵A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}，∴n(A)=4. 典例分析 例8： 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果． (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”； C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”． m \ n ∵B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，∴n(B)=6. 典例分析 例8： 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果． (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”； C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”． ∵C={(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)}， ∴n(C)=15. m \ n 典例分析 思考：在上题中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？ 如果不标上记号，类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别。 这时，所有可能的结果将是： m \ n 共有21种结果，和是5的结果有2个,它们是(1,4)和(2,3)， 则A={(1,4),(2,3)}，∴n(A)=2. 追问：同一事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？ 36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率. 方法归纳 （1）用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果或样本空间（借助树状图或列表，不重不漏）； （2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性； 关键词：质地均匀、随机选择 （3）计算样本点总个数n(Ω)及事件A包含的样本点个数n(A)， 求出事件A的概率P(A). 求解古典概型问题的一般思路： 典例分析 例9： 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： (1) A=“第一次摸到红球”； (2) B=“第二次摸到红球”； (3)C=“两次都摸到红球”． 解：将2个红球编号为1, 2，三个黄球编号为3, 4, 5. 第一次摸球时有5种等可能的结果，第二次摸球时有4种等可能的结果. 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果,如下表 典例分析 例9： 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： (1) A=“第一次摸到红球”； (2) B=“第二次摸到红球”； (3)C=“两次都摸到红球”． 变式1：若改成同时摸出2个球，求. 解：同时摸出2个球的所有可能结果为： (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)，共10个. 摸到的2个球都是红球的结果为(1,2)， 结论：依次摸出2个球跟顺序有关，一次性摸出2个球与顺序无关， 但相同事件的概率相等. 所以摸到的2个球都是红球的概率为 典例分析 例9： 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： (1) A=“第一次摸到红球”； (2) B=“第二次摸到红球”； (3)C=“两次都摸到红球”． 变式2：若改成有放回地依次摸出2个球，求p(AB. 解：有放回依次随机摸出2个球所有可能结果为： (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) 摸到的2个球都是红球的可能结果有4个 典例分析 例10： 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取2人. （1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率. 设事件A= “抽到两名男生” 抽样类型 总样本的个数 事件A包含的样本点 P(A) 有放回简单 随机抽样 不放回简单 随机抽样 按性别等比例分层抽样 4×4=16 4×3=12 2×2=4 (B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2) (B1,B2),(B2,B1) Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)} Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}. Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)} 无 典例分析 例10： 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取2人. （1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率. 解: (1) 设第一次抽取的人记为x1, 第二次抽取的人记为x2, 则可用数组(x1, x2)表示样本点. ①有放回简单随机抽样的样本空间：Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2), (G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)} ②不放回简单随机抽样的样本空间：Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}. ③按性别等比例分层抽样(先抽1名男生,再抽1名女生)的样本空间： Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)} 典例分析 解：(2)设事件A=“抽到两名男生”， 对于有放回简单随机抽样: A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}， 对于不放回简单随机抽样: A={(B1,B2),(B2,B1)}， 按性别等比例分层抽样: A=，∴P(A)=0. 例10： 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取2人. （1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率. 典例分析 例10表明，同一个事件A = “抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大．因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同． 上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题．我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高．上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率．特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现．所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要． 巩固练习 1. 下列试验中是古典概型的是（ ） A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 B 【详解】古典概型满足两个条件：①所有可能的结果是有限的；②每个基本结果发生的概率是相同的． 在A中，这个试验的基本事件共有“发芽”，“不发芽”两个，而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故不是古典概型； 在B中，观察球的颜色，满足古典概型的两个条件，故B是古典概型； 在C中，实验的结果是无穷的，故不是古典概型； 在D中，不满足基本事件是等可能的，故不是古典概型．故选：B． 巩固练习 2. 张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） B 巩固练习 3. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取出一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取出的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到的号码为奇数的频率是（ ） A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37 A 巩固练习 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数分别为，. 求：(1)满足的概率；(2)满足的概率. 解：(1)抛掷两枚质地均匀的骰子，记向上的点数为，有36个样本点.满足的样本点有15个： . 记事件“满足”，所以 (2)由，得则满足的样本点有20个： 记事件“满足”，所以 课后习题 不正确．如果每次命中目标的概率不等于0.5，那么样本空间中的四个样本点就不是等可能的，不符合古典概型特征． 课后习题 2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率： (1)抽到的牌是7； (2)抽到的牌不是7； (3)抽到的牌是方片； (4)抽到J或Q或K； (5)抽到的牌既是红心又是草花； (6)抽到的牌比6大比9小； (7)抽到的牌是红花色； (8)抽到的牌是红花色或黑花色． 课后习题 2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率： (1)抽到的牌是7； (2)抽到的牌不是7； (3)抽到的牌是方片； (4)抽到J或Q或K； (5)抽到的牌既是红心又是草花； (6)抽到的牌比6大比9小； (7)抽到的牌是红花色； (8)抽到的牌是红花色或黑花色． 课后习题 2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率： (1)抽到的牌是7； (2)抽到的牌不是7； (3)抽到的牌是方片； (4)抽到J或Q或K； (5)抽到的牌既是红心又是草花； (6)抽到的牌比6大比9小； (7)抽到的牌是红花色； (8)抽到的牌是红花色或黑花色． （8） 课后习题 3．从0～9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率： (1)这个数的平方的个位数字为1； (2)这个数的四次方的个位数字为1． 课堂总结 二、古典概型： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等； 将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 三、古典概型概率计算公式： 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 一、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示. 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【详解】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题． 从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是 种，数学之和为偶数的有 两种，所以所求概率为 ，选 ． 考点：古典概型． A． B． C． D． 【详解】由题意知：本题是一个古典概型， ∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码， ∴事件总数是100，由表可以看出取到号码为奇数有10+8+6+18+11=53 种结果， ∴ ，故选A． $$