第一章 第4课时 基本不等式-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第4课时　基本不等式 [考试要求]　 1．了解基本不等式的推导过程． 2．会用基本不等式解决简单的最值问题． 第4课时　基本不等式 2 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：______________． (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． (3)其中，______叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 链接教材·夯基固本 a>0，b>0 a＝b 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 3 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)x＋y≥2，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值(简记：积定和最小)． (2)xy≤，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值 (简记：和定积最大)． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 4 提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 5 [常用结论] 几个重要的不等式 当且仅当a＝b时等号成立． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 6 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的． (　　) (2)若a>0，则a3＋的最小值为2． (　　) (3)函数f (x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4． (　　) (4)“x＞0且y＞0”是“≥2”的充要条件． (　　) × × × × 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 7 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　 　B．77　 　C．81　 　D．82 √ C　[因为x＞0，y＞0，所以xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 8 2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 √ D　[∵x>2，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故选D．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 9 3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A．≥2 B．ab≤ C． D． √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 10 BC　[当<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．由a2＋b2≥2ab，得ab≤，B正确；＝≥0，则，C正确．故选BC．] 11 4．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5改编)若x＞0，y＞0，且xy＝x＋y＋3，则xy的取值范围是___________，x＋y的取值范围是____________． [9，＋∞) [6，＋∞) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 12 [9，＋∞)　[6，＋∞)　[由x>0，y>0，则xy＝x＋y＋3可化为 xy－3＝x＋y≥2，即－2－3≥0， 解得≤－1(舍去)或≥3， 当且仅当x＝y＝3时取“＝”，故xy的取值范围是[9，＋∞)． 又x＋y＋3＝xy≤， ∴(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0， 解得x＋y≤－2(舍去)或x＋y≥6， 当且仅当x＝y＝3时取“＝”，故x＋y的取值范围是[6，＋∞)．] 13 考点一　直接用基本不等式求和或积的最值 [典例1]　(1)(2025·湖北武汉模拟)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则 (　　) A．ab≥ B．ab> C．0<ab≤ D．0<ab< 典例精研·核心考点 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 14 (2)(多选)下列函数中最小值为2的是(　　) A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝ C．y＝2x＋21-x D．y＝ln x＋ √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 15 (1)C　(2)AB　[(1)由题意得，a>0，b>0，则ab>0, a＋2b＝1≥2，即0<ab≤， 当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时等号成立．故选C． 16 (2)A项，y＝x2＋2x＋3＝＋2≥2，故A正确； B项，在y＝中，>0，所以y＝≥ 2＝2，当且仅当＝1时，等号成立，故B正确； C项，2x>0，21-x>0，故y＝2x＋21-x＝2x＋≥2＝2，当且仅当＝2，即x＝时等号成立，C错误； D项，x>0，ln x∈R，故D错误．故选AB．] 17 【教用·备选题】 (2025·浙江台州模拟)已知a，b为正实数，＝1，则(　　) A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 √ A　[因为a，b为正实数，由＝1可得1＝≥2×＝， 即得ab≥4，当且仅当＝时取等号， 即a＝2，b＝时，ab的最小值为4．故选A．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 18 名师点评　利用基本不等式求最值的原则及注意点 (1)原则：积定和最小，和定积最大； (2)注意点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 19 [跟进训练] 1．(1)已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为(　　) A． B． C． D．3 (2)(人教A版必修第一册P46练习T4改编)已知0<x<2，则x2的最大值为(　　) A．8 B．16 C．2 D．4 (3)已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值是________． √ √ 2 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 20 (1)B　(2)D　(3)2　[(1)由题意得，6＝4a2＋b2＝＋b2≥2·2a·b，即ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝或a＝ －，b＝－时等号成立，所以ab的最大值为．故选B． (2)因为0<x<2，所以x2>0，4－x2>0， 故x2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立，故x2的最大值为4．故选D． (3)由于2x>0，4y>0，所以2x＋4y≥2＝2＝2，当且仅当x＝2y＝时等号成立．] 21 考点二　配凑法求最值 [典例2]　(1)若x<，则函数f (x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 (2)已知0＜x＜，则x的最大值为________． √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 22 (1)C　(2)　[(1)因为x<，故3x－2<0，f ＝3x＋1＋＝3x－2＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－3， 当且仅当－＝，即x＝－时取等号，即f (x)＝3x＋1＋有最大值－3．故选C． 23 (2)∵0＜x＜，∴1－2x2＞0， x＝＝ ≤＝． 当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立．] 24 名师点评　常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x＞0)，当且仅当x＝时等号成立； (2)模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x＞a)，当且仅当x－a＝时等号成立． 提醒：常用配凑手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 25 [跟进训练] 2．(1)(2024·河北唐山一模)已知函数f ＝，则f 的最小值为(　　) A．0 B．2 C．2 D．3 (2)(2025·湖南长沙模拟)若实数x>2y>0，则的最小值为____________，此时＝____________． √ 2＋2 2＋ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 26 (1)C　(2)2＋2　2＋　[(1)由已知得x>2， 所以f ＝＝＝≥2， 当且仅当＝，即x＝4时等号成立， 则f 的最小值为2．故选C． 27 (2)＝＝＋2≥2＋2＝2＋2， 当且仅当＝3y2，即x＝y时，等号成立．此时＝2＋．] 28 【教用·备选题】 1．设x>2，则函数y＝4x－1＋的最小值为(　　) A．7 B．8 C．14 D．15 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 29 D　[因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝4x－1＋＝4＋7≥2＋7＝15， 当且仅当4＝，即x＝3时等号成立， 所以函数y＝4x－1＋的最小值为15．故选D．] 30 2．函数 f ＝的最大值为____________． 1－2　[因为x<0，则－x>0， 所以f ＝＝2x＋＋1＝－＋1 ≤－2＋1＝1－2， 当且仅当－2x＝，即x＝－时等号成立，所以f 的最大值为1－2．] 1－2 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 31 3．若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则的最小值为________． 3＋2　[因为x＞0，y＞0且x＋y＝xy， 则xy＝x＋y＞y，即有x＞1，同理y＞1， 由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1， 于是得＝1＋＋2＋＝3＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝， 即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”，所以的最小值为3＋2．] 3＋2 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 32 考点三　常数代换法 [典例3]　(2025·江西重点高中联考)已知x，y为正实数，且x＋y＝1，则的最小值为(　　) A．2＋1 B．2－1 C．2＋5 D．2－5 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 33 C　[因为x＋y＝1，则＝＝＝， 由于＝＝＋3＋2＋＝＋5≥2＋5＝2＋5， 当且仅当即 时，等号成立， 所以的最小值为2＋5．故选C．] 34 名师点评　“1”的妙用 (1)乘“1”法是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知x＋y＝t(t为非零常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值． (2)常数“1”的代换，即把求解目标中的常数代数化，化为形如求“的最值”问题，进而可以使用基本不等式达到解题的目的． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 35 [跟进训练] 3．(1)已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． (2)已知正数a，b满足a＋2b＝3，则的最小值为________． (1)72　(2)　[(1)∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b) ＝＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． 72 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 36 (2)由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4， 于是＝ ＝≥＝， 当且仅当＝，且a>0，b>0， 即a＝，b＝时，等号成立．所以的最小值为．] 37 考点四　换元、消元法求最值 [典例4]　(1)(2024·浙江嘉兴二模)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　　) A． B． C．2 D．2 (2)已知a>1，b>＝1，则的最大值为________． √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 38 (1)A　(2)　[(1)由x2－2xy＋2＝0可得y＝， ∴x＋y＝x＋＝≥2＝， 当且仅当＝，即x＝时，等号成立，此时y＝>0符合题意． 所以x＋y的最小值为．故选A． 39 (2)令＝x，＝y， 则x>0，y>0，a＝，b＝，x＋2y＝1， 所以x＋1＋2y＋2＝4， 所以＝＝＝3－＝3－＝3－≤3－＝， 当且仅当x＝，y＝，即a＝4，b＝2时等号成立．] 40 名师点评　当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 41 [跟进训练] 4．(1)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A．4 B．5　　　 C．7　　　 D．9 (2)(2025·山东省实验中学模拟)设m，n为正数，且m＋n＝2，则的最小值为________． √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 42 (1)C　(2)　[(1)因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y， 即x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋y＋1－1≥4＋2－1＝7，当且仅当＝y＋1，即x＝3，y＝1时取等号．故选C． 43 (2)令a＝m＋1，b＝n＋2，则a＋b＝5，且1<a<3，2<b<4， 又＝＋1， 而＝＝＝， 当且仅当a＝b＝时等号成立， 故的最小值为．] 44 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 一、单项选择题 1．(2025·福建厦门模拟)已知x>0，y>0，且4x＋9y＝6，则xy的最大值为 (　　) A．　　B．C．1　　D．2 13 课后作业(四)　基本不等式 √ 14 A　[xy＝＝，当且仅当x＝，y＝时取等号．即xy的最大值为．故选A．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 2．若x>0，y>0，3x＋2y＝1，则8x＋4y的最小值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 B　[8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝2， 当且仅当23x＝22y且3x＋2y＝1，即x＝，y＝时等号成立．故选B．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 3．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为(　　) A．4　　B．4　　C．6　　D．2＋3 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 14 D　[因为x>0，y>0，且2x＋y＝1， 所以＝＝＝＋3≥2＋3＝2＋3， 当且仅当＝，即x＝，y＝－1时取等号．故选D．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 4．已知a>1，则a＋的最小值是(　　) A．9 B．10 C．12 D．6 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 14 A　[∵a>1，∴a－1>0， 由a＋＝a－1＋1＋＝a－1＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当a－1＝，即a＝3时等号成立．故选A．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5．(2025·江苏南通模拟)设m∈R，下列选项中，>2的充要条件是(　　) A．m≠0 B．m≠1 C．m2≠1 D．m3≠m 13 √ 14 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[令y＝m＋， 当m>0时，y＝m＋≥2＝2，当且仅当m＝，即m＝1时，取等号， 当m<0时，y＝－≤－2＝－2，当且仅当－m＝，即m＝－1时，取等号， 所以y≥2或y≤－2，当且仅当m＝±1时取等号，故>2的充要条件是m≠±1且m≠0，故选D．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 6．(2025·湖北武汉模拟)已知a>0，b>0，2a＋b＝ab，则的最小值为(　　) A．4 B．6 C．4 D．3＋2 13 √ 14 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[由a>0，b>0，2a＋b＝ab，a＝>0，即b>2，易知a>1， 所以＝＋a＝3＋＋a－1≥3＋2＝3＋2， 当且仅当a＝＋1时等号成立，此时b＝2＋， 所以的最小值为3＋2．故选D．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、多项选择题 7．(2024·浙江绍兴二模)已知a>0，b>0，a＋b＝ab，则(　　) A．a>1且b>1 B．ab≥4 C．a＋4b≤9 D．>1 13 √ 14 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ABD　[对于A，a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＝>0，故b>1，同理可得a>1，A正确；对于B，a>0，b>0，ab＝a＋b≥2，∴ab≥4， 当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确； 对于C，a>0，b>0，a＋b＝ab，则＝1， 则a＋4b＝＝1＋＋4≥5＋2＝9， 当且仅当即a＝3，b＝时取等号，C错误； 对于D，由于b>0，故＝＝b－1＋≥2－1＝1， 当且仅当b＝1时取等号，而b>1，故>1，D正确，故选ABD．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．下列说法正确的有(　　) A．若x<，则2x＋的最大值是－1 B．若x>－2，则≥4 C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2 D．若x<1，则有最大值－5 13 √ 14 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ABD　[对于A，因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值－1，故A正确； 对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时取等号，故B正确； 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误； 对于D，因为x＜1，所以1－x＞0，则＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、填空题 9．(2025·浙江杭州模拟)已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为________． 13 14 1＋2 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 1＋2　[正实数x，y满足x＋2y＝1，有＝＝－2， 则＝－2＝－2＝1＋≥1＋2＝1＋2， 当且仅当＝，即x＝－1，y＝时等号成立， 所以的最小值为1＋2．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 10．函数f (x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 13 14 　[因为f (x)＝，x∈(1，＋∞)，令x－1＝t，则t>0， 则y＝＝＝＝， 当且仅当2t＝，即t＝1，即x＝2时，等号成立． 故f (x)的最大值为．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 11．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 13 √ 14 C　[因为正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2， 则＝＝＝1， 当且仅当y＝2x>0时取等号．故的最大值为1．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(2025·辽宁大连模拟)已知a，b∈(－∞，0)，且a＋4b＝ab－5，则ab的取值范围为(　　) A．[25，＋∞) B．[1，＋∞) C． D． 13 √ 14 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[因为a，b∈(－∞，0)，a＋4b＝ab－5，则a＋4b<0，所以0<ab<5． 又ab－5＝a＋4b＝－≤－2＝－4， 即ab＋4－5≤0，即≤0，解得0<≤1，所以0<ab≤1，当且仅当－a＝－4b，即a＝4b＝－2时，等号成立，即ab的取值范围为．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13．(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有(　　) A．若x＞0，则x2＋≥3 B．若0＜x＜1，则x2(1－x)≤ C．若x＞0，则2x＋≥3 D．若0＜x＜1，则x(1－x)2≤ 13 √ 14 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 AC　[对于A，x＞0，x2＋＝x2＋≥3＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x＞0，所以2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝1时等号成立，故C正确；对于D，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，x(1－x)2＝×2x×(1－x)(1－x)≤＝，当且仅当2x＝1－x，即x＝时等号成立，故D错误．故选AC．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 14．若a>0，b>0，则＋b的最小值为________． 13 14 2　[∵a>0，b>0， ∴＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2， 当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立， 所以＋b的最小值为2．] 2 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 谢 谢！ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　基本不等式 $$