第一章 第3课时 不等式的性质-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第3课时　不等式的性质 [考试要求]　 1．掌握不等式的性质，并能简单应用． 2．会比较两个数的大小． 第3课时　不等式的性质 2 1．比较实数a，b大小的基本事实 作差法 链接教材·夯基固本 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 3 2．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔______； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒______； 性质3　可加性：a>b⇔______________； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒__________；a>b，c<0⇒__________； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒______________； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒__________； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 性质8　同正可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)． b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 4 [常用结论] 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<<(b－m>0)， 即真分数越加越大，越减越小； (2)假分数性质：<<(b－m>0)， 即假分数越加越小，越减越大． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 5 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2． (　　) (2)若>1，则b>a． (　　) (3)若>，则b<a． (　　) (4)若a<b<0，则<(n∈N*)． (　　) × × × √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 6 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　) A．M＞N　　　　 B．M≥N C．M＜N D．M≤N √ A　[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N．故选A．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 7 2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是(　　) A．＜ B．＞ C．＜ D．＜ √ A　[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为，此时浓度变小，糖水变淡，即＜，故选A．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 8 3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空． (1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d； (2)如果a＜b＜0，那么________； (3)如果c＞a＞b＞0，那么________． ＜ ＜ ＞ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 9 4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<a<2，－3<b<5， 则a－b的取值范围是___________． (－6，5)　[∵－3<b<5，∴－5<－b<3， 又－1<a<2，∴－6<a－b<5．] (－6，5) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 10 考点一　数(式)的大小比较 [典例1]　(1)若a<0，b<0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q　　　　　　　 B．p≤q C．p>q D．p≥q (2)若正实数a，b，c满足c＜cb＜ca＜1，则(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 典例精研·核心考点 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 11 (1)B　(2)C　[(1)p－q＝－a－b ＝＝(b2－a2)·＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0． 又(b－a)2≥0，所以p－q≤0． 综上，p≤q．故选B． 12 (2)∵c是正实数，且c＜1，∴0＜c＜1． 由c＜cb＜ca＜1，即c1＜cb＜ca＜c0， 得0＜a＜b＜1， ∵＝aa－b＞1，∴ab＜aa． ∵＝，0＜＜1，a＞0， ∴＜1，即aa＜ba． 综上可知ab＜aa＜ba，故选C．] 13 【教用·备选题】 1．若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c　　　　　 B．c<b<a C．c<a<b　　 D．b<a<c √ B　[法一(作差法)： a－b＝＝＝＞0， b－c＝＝＝＞0，所以a＞b＞c． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 14 法二(作商法)： 易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以a＞b；＝＝log6251 024＞1，所以b＞c．即c＜b＜a． 法三(单调性法)： 对于函数y＝f (x)＝，y′＝． 易知当x＞e时，函数f (x)单调递减． 因为e＜3＜4＜5， 所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c＜b＜a．] 15 2．若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a √ A　[因为a－c＝＝＝>0，所以a>c． c－b＝＝， 因为(2)2－(2)2＝4－9＝>0， 且2>0，2>0，所以2>2，所以c－b>0，所以c>b．故a>c>b．故选A．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 16 名师点评　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． (4)找中间量比较大小(如1，－1，0，2，…)． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 17 [跟进训练] 1．(1)设a＝，b＝，c＝－2，则a，b，c的大小关系是 (　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．b>c>a (2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为_____________． √ aabb>abba 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 18 (1)C　(2)aabb>abba　[(1)b＝＝，c＝－2＝， ∵>＋2，∴<， ∴b<c． 又a－c＝＝>0，故a>c． 则a>c>b．故选C． 19 (2)因为＝＝， 又a>b>0，故>1，a－b>0， 所以>1，即>1， 又abba>0，所以aabb>abba．] 20 考点二　不等式的性质 [典例2]　(1)(多选)(2024·湖南长沙二模)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ac<bd D．>0 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 21 (2)下列说法正确的是(　　) A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若>，则a<b C．若a＋b>0，c－b>0，则a>c D．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则> √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 22 (1)AD　(2)D　[(1)对于A，由0>c>d和不等式性质可得c2<cd，故A正确； 对于B，因为a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故B错误； 对于C，因为a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2， 则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故C错误； 对于D，因为a>b>0，则0<<，又因为0>c>d，则0<－c<－d， 由不等式的同向同正可乘性得，－<－，故>0，故D正确．故选AD． 23 (2)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误； 对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足>，但不满足a<b，故B错误； 对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误； 对于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，则b－a>0， 所以＝＝>0，即>，故D正确．故选D．] 24 名师点评　判断不等式正误的常用方法 (1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件． (2)利用特殊值法排除错误不等式． (3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 25 [跟进训练] 2．(多选)(2024·安徽淮北一模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>c，则a＋b>c B．若a>b>|c|，则a2>b2>c2 C．若a<b<c<0，则> D．若a>b>c>0，则< √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 26 BD　[当b为负数时，A可能不成立，例如－2>－3>－4，但－2＋ (－3)>－4是错误的； 因为a>b>|c|≥0，根据不等式性质可得a2>b2>c2，故B正确； 因为a<b<0，所以>0，所以a<b<0， 即<<0，因为c＜0，所以>>0，故C错误； 因为a>b>c>0，所以＝＝<0， 所以<，故D正确．故选BD．] 27 【教用·备选题】 1．(多选)已知实数a，b，c满足0<a<b<c，则下列说法正确的是(　　) A．>　　　　 B．> C．> D．ab＋c2>ac＋bc √ √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 28 BCD　[因为0<a<b<c，所以有c－a>b－a>0，<，故A错误； 因为0＜a＜b＜c，所以＞＞0，c－a＞0，则＞，故C正确； >⇔>⇔b>a，故C正确； 由糖水不等式的倒数形式， b>a>0，c>0, 则有>，故B正确； ab＋c2>ac＋bc⇔c(c－b)－a(c－b)>0⇔(c－a)(c－b)>0，故D正确．故选BCD．] 29 2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 30 AC　[由<<0，可知b<a<0．A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0．故有<，即A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．故选AC．] 31 考点三　不等式性质的应用 [典例3]　(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则(　　) A．x的取值范围为(－1，2) B．y的取值范围为(－2，1) C．x＋y的取值范围为(－3，3) D．x－y的取值范围为(－1，3) √ √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 32 ABD　[因为－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8．因为－3<x＋2y<2， 所以－5<5x<10，则－1<x<2，故A正确； 因为－3<x＋2y<2，所以－6<2x＋4y<4．因为－1<2x－y<4，所以－4<－2x＋y<1，所以－10<5y<5，所以－2<y<1，故B正确； 因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－<<，－<<， 则－2<x＋y<2，故C错误； 因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－<－<，－<<， 则－1<x－y<3，故D正确．故选ABD．] 33 名师点评　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围． 提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，如“a＜b，c＜d⇒a＋c＜b＋d”，反之不成立． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 34 [跟进训练] 3．(1)已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　) A．(1，3) B． C． (2)已知－1＜2s＋t＜2，3＜s－t＜4，则5s＋t的取值范围为________． √ (1，8) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 35 (1)A　(2)(1，8)　[(1)∵－3＜a＜－2，3＜b＜4， ∴4＜a2＜9，＜＜， ∴1＜＜3，故选A． 36 (2)设5s＋t＝m(2s＋t)＋n(s－t)， 则5s＋t＝(2m＋n)s＋(m－n)t， 则解得 则5s＋t＝2(2s＋t)＋(s－t)， 因为－1＜2s＋t＜2，所以－2＜2(2s＋t)＜4， 又因为3＜s－t＜4， 所以1＜2(2s＋t)＋(s－t)＜8，即1＜5s＋t＜8， 所以5s＋t的取值范围是(1，8)．] 37 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 一、单项选择题 1．(2025·河南名校联盟模拟)“a>b>0，c>d”是“ac>bd”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 13 课后作业(三)　不等式的性质 √ 14 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[由于c，d的正负性不确定，由“a>b>0，c>d”不能推出“ac>bd”，故充分性不成立；同时当“ac>bd”时也不能推出“a>b>0，c>d”，故必要性也不成立．故选D．] 13 14 2．(2024·北京东城一模)已知a，b∈R，ab≠0，且a<b，则(　　) A．> B．ab<b2 C．a3<b3 D．lg <lg 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 C　[当a＝－2，b＝1时，<，lg |a|>lg |b|，故AD错误；当a＝－2，b＝－1时，ab＝2>1＝b2，故B错误； 对于C，因为a<b，由y＝x3的单调性可知a3<b3，故C正确．故选C．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 3．已知0＜x＜5，－1＜y＜1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2＜x－2y＜3 B．－2＜x－2y＜3 C．2＜x－2y＜7 D．－2＜x－2y＜7 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 14 D　[由－1＜y＜1，得－2＜－2y＜2，∴－2＜x－2y＜7，故选D．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 14 B　[因为()2－()2＝9＋2－9－2<0，所以<，所以<，即b<c．又a－c＝2＝>0，故a>c．综上，a>c>b．故选B．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5．(2024·广东广州二模)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，则> B．若a>b，c>d，则a－d>b－c C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a>b，则> 13 √ 14 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[对于A，可以取a＝2，b＝1，c＝－1，此时<，所以A错误； 对于B，∵c>d，∴－d>－c，因为a>b，所以a－d>b－c，故B正确； 对于C，取a＝－2，b＝－1时，则a2＝4，ab＝2，b2＝1，则a2>ab>b2，故C错误； 对于D，当a＝1，b＝－1时，＝＝1，则<，故D错误．故选B．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 6．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为(　　) A．eπ·πe>ee·ππ　　　 B．eπ·πe＝ee·ππ C．eπ·πe<ee·ππ D．不能确定 13 √ 14 C　[＝＝， 又0<<1，0<π－e<1，∴0＜<1， 即<1，即eπ·πe<ee·ππ．故选C．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、多项选择题 7．(2025·江苏南京模拟)若a<0<b，且a＋b>0，则(　　) A．>－1 B．< C．>0 D．<1 13 √ 14 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ABD　[对于A，由a＋b>0，可得a>－b，因为b>0，可得>－1，所以A正确； 对于B，由＝－a－b＝－(a＋b)<0，所以<，所以B正确； 对于C，因为a<0<b，且a＋b>0，可得＝<0，所以<0，所以C错误； 对于D，因为a<0<b，且a＋b>0，可得ab<0， 则＝ab－(a＋b)＋1<1，所以D正确．故选ABD．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．(2025·浙江嘉兴模拟)已知实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3，则(　　) A．3＜x＋y＜9 B．－1＜x－y＜3 C．2＜xy＜18 D．＜＜3 13 √ 14 ACD　[实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3， 由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3＜x＋y＜9，2＜xy＜18，A，C选项正确； 由－3＜－y＜－2，得－2＜x－y＜4，B选项错误； 由＜＜，得＜＜3，D选项正确．故选ACD．] √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、填空题 9．若－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是___________． 13 14 (－π，0)　[由已知，得－＜α＜，－＜－β＜，所以－π＜α－β＜π，又α＜β，所以α－β＜0，故－π＜α－β＜0．] (－π，0) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 10．a，b，c，d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是_________________________________．(只要写出适合条件的一组值即可) 13 14 (2，1，－3，－2)(答案不唯一)　[根据不等式＞＞0和ad＜bc都成立，可知a，b同号，c，d同号，＞＞0⇒＞0⇒＞0，又ad＜bc⇒ad－bc＜0，由此可知b，d异号，由这些信息可写出适合条件的一组值，如(2，1，－3，－2)．] (2，1，－3，－2)(答案不唯一) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 11．(多选)(2025·河北石家庄模拟)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　　) A．> B．a－c>2b C．a2>b2 D．ab＋bc>0 13 √ 14 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 BC　[对于A，∵a>b>c，∴a－c>b－c>0， ∴<，A错误； 对于B，∵a>b>c，a＋b＋c＝0， ∴a>0，c<0，∴b＋c＝－a<0，a－b>0， ∴a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确； 对于C，∵a－b>0，a＋b＝－c>0，∴a2－b2＝>0，即a2>b2，C正确； 对于D，ab＋bc＝b＝－b2≤0，D错误．故选BC．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑．若a≠b，则(　　) A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲、乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点 13 √ 14 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[由题意可知对于选手甲，a＋b＝S，则T＝，设选手乙总共用时T′，则对于选手乙，＝T′，则T′＝， 又a≠b，则T－T′＝＝＝＝<0，即T<T′，即甲先到达终点．故选A．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13．(多选)(2024·安徽合肥三模)已知实数a，b满足0<a<b<1，则 (　　) A．< B．a＋b>ab C．ab<ba D．2a－2b<－ 13 √ 14 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 BCD　[对于A，由0<a<b<1，可得＝>0，所以A错误； 对于B，由a＋b－ab＝a＋b(1－a)>0，则a＋b>ab，所以B正确； 对于C，令f (x)＝，可得f ′(x)＝， 当0<x<e时，f ′(x)>0，f (x)单调递增， 因为0<a<b<1，则f (a)<f (b)，所以<， 即b ln a<a ln b，ln ab<ln ba， 所以ab<ba，所以C正确； 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 对于D，由函数g(x)＝2x－在上单调递增，因为0<a<b<1，则g(a)<g(b)，即2a－ <2b－， 所以2a－2b<－，所以D正确． 故选BCD．] 13 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 14．实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c． 那么a，b，c，d的大小关系是__________．(用“＞”连接) 13 14 b>d>c>a　[由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及④式a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a．] b>d>c>a 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 谢 谢！ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第3课时　不等式的性质 $$