第二章 重点培优课1 函数性质的综合应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件

第二章 函数的概念与性质 重点培优课1　函数性质的综合应用 重点培优课1　函数性质的综合应用 题型一　函数的奇偶性与单调性 [典例1]　(1)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，且 f (2)＝0，则满足xf (x－1)0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (2)(多选)已知f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则(　　) A．f ( f (1))＜f ( f (2))　　 B．f (g(1))＜f (g(2)) C．g(f (1))＜g(f (2)) D．g(g(1))＜g(g(2)) √ √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 3 (1)D　(2)BD　[(1)因为函数f (x)为定义在R上的奇函数，则f (0)＝0． 又f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0， 画出函数f (x)的大致图象如图①所示， 则函数f (x－1)的大致图象如图②所示． 4 当x0时，要满足xf (x－1)0， 则f (x－1)0，得－1x0． 当x＞0时，要满足xf (x－1)0，则f (x－1)0，得1x3． 故满足xf (x－1)0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．故选D． 5 (2)因为f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f (1)＜f (2)，g(0)＝0＞g(1)＞g(2)， 所以f (g(1))＜f (g(2))，g(f (1))＞g(f (2))， g(g(1))＜g(g(2))，所以BD正确，C错误； 若| f (1)|＞| f (2)|，则f ( f (1))＞f ( f (2))，A错误．故选BD．] 6 名师点评　1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． 2．对于抽象函数不等式的求解，先将不等式变形为f (x1)>f (x2)的形式，再结合单调性，脱去“f ”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解． 重点培优课1　函数性质的综合应用 7 [跟进训练] 1．(1)(2025山东临沂模拟)偶函数y＝f (x)在区间[0，4]上单调递减，则有(　　) A．f (－1)>f >f (－π) B．f >f (－1)>f (－π) C．f (－π)>f (－1)>f D．f (－1)>f (－π)>f √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 8 (2)(多选)(2025江苏淮安模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)是奇函数，g(x)＝(1－x)f (x)，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是(　　) A．f (－x－1)＝－f (x＋1) B．函数g(x)在(－∞，1]上单调递减 C．若a＜2－b＜1，则g(1)＜g(b)＜g(a) D．若g(a)＞g(a＋1)，则a＜ √ √ √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (1)A　(2)BCD　[(1)∵函数y＝f (x)为偶函数，且在[0，4]上单调递减，∴f (－x)＝f (x)， ∴f (－1)＝f (1)，f (－π)＝f (π)． ∵0＜1<<π＜4， ∴f (1)>f >f (π)，即f (－1)>f >f (－π)． 故选A． (2)对于A，因为f (x＋1)是奇函数， 所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，故A错误； 对于B，因为f (x＋1)是奇函数， 所以y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称， 即有f (x)＝－f (2－x)， 所以g(2－x)＝[1－(2－x)]f (2－x)＝(x－1)f (2－x)＝(1－x)f (x)＝g(x)， 所以y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称， 函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在(－∞，1]上单调递减，故B正确； 对于C，因为a＜2－b＜1，及B项知g(x)在(－∞，1]上单调递减， 所以g(1)＜g(2－b)＜g(a)， 即g(1)＜g(b)＜g(a)，故C正确； 对于D，因为g(a)＞g(a＋1)，且a＜a＋1， 由函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，得＜1，解得a＜，故D正确．] 题型二　函数的奇偶性与周期性 [典例2]　(1)函数y＝f (x)和y＝f (x－2)均为定义在R上的奇函数，若 f (1)＝2，则f (2 025)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (2)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)是偶函数，f (2x＋1)是奇函数，则(　　) A．f ＝0 B．f (－1)＝0 C．f (2)＝0 D．f (4)＝0 √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (1)D　(2)B　[(1)因为y＝f (x－2)为定义在R上的奇函数，所以y＝f (x)的图象关于(－2，0)对称，即f (－x)＋f (x－4)＝0， 又y＝f (x)的图象关于原点对称，则f (－x)＝－f (x)，有f (x)＝f (x－4)⇒f (x＋4)＝f (x)， 所以y＝f (x)的周期为4，故f (2 025)＝f (1＋2 024)＝f (1)＝2． 故选D． (2)∵f (x＋2)是偶函数，则f (－x＋2)＝f (x＋2)， ∵f (2x＋1)是奇函数，则f (－2x＋1)＝－f (2x＋1)， 且由F(x)＝f (2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f (1)＝0， ∴f (－1)＝－f (3)＝－f (1)＝0，且易知函数f (x)的周期为4，其余选项不一定为0，故选B．] 名师点评　综合运用奇偶性与周期性解题的方法步骤 (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性，推得函数的周期； (2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间或与已知的函数值建立关系，必要时可再次利用奇偶性将自变量的符号进行转化； (3)代入已知的解析式求值． 重点培优课1　函数性质的综合应用 [跟进训练] 2．(多选)(2025广东深圳模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为偶函数，f (3x＋2)为奇函数，则(　　) A．f (x)的图象关于x＝1对称 B．f (x)的图象关于(1，0)对称 C．f (x＋4)＝f (x) D． ＝1 √ √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 AC　[∵f (x＋1)为偶函数，∴f (x＋1)的图象关于x＝0对称， ∴根据图象变换知f (x)的图象关于x＝1对称，故A正确； ∵f (3x＋2)为奇函数，∴f (3x＋2)的图象关于(0，0)对称， ∴根据图象变换知f (x)的图象关于(2，0)对称，故B错误； 由以上分析得f (x)的周期为4×(2－1)＝4，即f (x＋4)＝f (x)，故C正确； ∵f (x)的图象关于(2，0)对称， ∴f (2)＝0，f (1)＋f (3)＝0， ∵f (x)的图象关于x＝1对称， ∴f (0)＝f (2)＝0， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝0， ∵f (x)是周期为4的函数， ∴ ＝0＋0＋0＋0＋0＋f (20)， ∵f (20)＝f (0)＝0， ∴ ＝0，故D错误．故选AC．] 【教用备选题】 已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)－2为奇函数，f (3x＋1)为偶函数，f (1)＝0，则 ＝(　　) A．4 036 B．4 040 C．4 044 D．4 050 √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 D　[根据题意，若f (x＋2)－2为奇函数，则有f (－x＋2)＋f (x＋2)＝4， 故f (x)的图象关于点(2，2)对称，故f (2)＝2， 又由f (3x＋1)为偶函数，则f (－3x＋1)＝f (3x＋1)， 变形可得f (－x)＝f (x＋2)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称， 又由f (－x＋2)＋f (x＋2)＝4，得f (－x)＋f (－x＋2)＝4，变形可得f (x)＋f (x＋2)＝4，① 由此可得f (x＋2)＋f (x＋4)＝4，② 联立①②可得：f (x＋4)＝f (x)，则f (x)是周期为4的周期函数， 由于f (x)＋f (x＋2)＝4，则f (1)＋f (3)＝4，f (2)＋f (4)＝4， 故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8， 故 ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 026)＝506×[f (1)＋ f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝506×8＋0＋2＝4 050．故选D．] 题型三　函数的奇偶性与对称性 [典例3]　(1)已知定义在R上的函数f (x)是奇函数，对任意x∈R都有 f (x＋1)＝f (1－x)，当f (－3)＝－2时，则f (2 025)＝(　　) A．2 B．－2 C．0 D．－4 √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (2)若定义在R上的偶函数f (x)满足f (2－x)＝－f (x)，且当1x2时，f (x)＝x－1，则f ＝(　　) A． C． D．－ √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (1)B　(2)D　[(1)定义在R上的函数f (x)是奇函数，且对任意x∈R都有f (x＋1)＝f (1－x)， 故函数f (x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f (x)＝f (2－x)，故f (－x)＝f (2＋x)＝－f (x)， ∴f (x)＝f (4＋x)， ∴f (x)是周期为4的周期函数． 则f (2 025)＝f (506×4＋1)＝f (1)＝f (－3)＝－2．故选B． (2)∵函数f (x)是定义在R上的偶函数，∴f (－x)＝f (x)， 又∵f (2－x)＝－f (x)，∴f (2－x)＝－f (－x)， ∴f (x＋2)＝－f (x)， ∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)， ∴函数f (x)的周期为4， ∴f ＝f ＝f ＝f ＝－f ＝－f ＝－．] 名师点评　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． 重点培优课1　函数性质的综合应用 [跟进训练] 3．(1)定义在R上的奇函数f (x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x)在[0，2)上单调递增，则(　　) A．f (11)<f (12)<f (21) B．f (21)<f (12)<f (11) C．f (11)<f (21)<f (12) D．f (21)<f (11)<f (12) √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (2)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f (x)＝2－2x，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋ f (2 025)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (1)A　(2)D　[(1)∵函数f (x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f (x－4)＝－f (－x)，又f (x)为定义在R上的奇函数， ∴－f (－x)＝f (x)，∴f (x－4)＝f (x)，即函数f (x)是周期函数且周期是4，则f (11)＝f (－1)，f (12)＝f (0)，f (21)＝f (1)， ∵f (x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增， 则f (x)在(－2，2)上单调递增，∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (11)<f (12)< f (21)．故选A． (2)∵f (x)的图象关于点(1，0)对称， ∴f (－x)＝－f (2＋x)，又f (x)为定义在R上的偶函数， ∴f (x)＝f (－x)，∴f (x＋2)＝－f (－x)＝－f (x)， ∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)， ∴f (x)是周期为4的周期函数， ∴f (3)＝f (－1)＝f (1)＝2－2＝0， 又f (0)＝1，f (2)＝－f (0)＝－1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025)＝506×[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 024) ＋f (2 025)＝506×(1＋0－1＋0)＋f (0)＋f (1)＝1．] 题型四　函数的对称性与周期性 [典例4]　(2025云南昆明模拟)已知定义在R上的函数f (x)，满足 f (－x)＋f (x)＝2，f (1－x)＝f (1＋x)，若f ＝，则f (2)＋f ＝ (　　) A．2 B． C． √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 D　[由f (－x)＋f (x)＝2，知函数f (x)的图象关于点(0，1)对称，由f (1－x)＝f (1＋x)，知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f (x)的周期为4×|1－0|＝4． 又f ＝，所以f ＝2－f ＝，f ＝f ＝f ＝f ＝， 所以f ＝f ＝f ＝2－f ＝， 又f (0)＝1，所以f (2)＝f (1－(－1))＝f (1＋(－1))＝f (0)＝1， 所以f (2)＋f ＝1＋＝．故选D．] 名师点评　函数的周期性与对称性的关系 (1)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝4|a－b|．(类比y＝sin x的图象) (2)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin x的图象) (3)若函数f (x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin x的图象) 重点培优课1　函数性质的综合应用 [跟进训练] 4．(1)已知f (x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f (x＋2)＝ f (2－x)＋4f (2)，若函数y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，则 f (2 026)＝(　　) A．6 B．3 C．0 D．－3 √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (2)设函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f (x)＝ax2＋b．若f (0)＋f (3)＝6，则f ＝(　　) A．－ B．－ C． √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 (1)C　(2)D　[(1)令x＝0，得f (2)＝f (2)＋4f (2)，即f (2)＝0，f (x＋2)＝f (2－x)， 因为函数y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称， 所以函数y＝f (x)的图象关于点(0，0)对称， 即f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋2)＝f (2－x)＝－f (x－2)， 即f (x＋4)＝－f (x)，f (x＋8)＝f (x)， 故f (x)是周期为8的周期函数，所以f (2 026)＝f (253×8＋2)＝f (2)＝0．故选C． (2)由于f (x＋1)为奇函数，所以函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，即有 f (x)＋f (2－x)＝0，所以f (1)＋f (2－1)＝0，得f (1)＝0，即a＋b＝0．　① 由于f (x＋2)为偶函数，所以函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，即有f (x)－f (4－x)＝0，所以f (0)＋f (3)＝－f (2)＋f (1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6．　② 根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f (x)＝－2x2＋2． 根据函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数 f (x)的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2×－2＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 一、单项选择题 1．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (－x＋1)，当0<x1时，f (x)＝x2－2x＋3，则f 等于(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． 培优训练(一)　函数性质的综合应用 √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 C　[由题意，函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (－x＋1)， 可得f (x＋1)＝－f (x－1)，所以f (x)＝f (x＋4)， 所以函数f (x)是周期为4的周期函数． 又由当0<x1时，f (x)＝x2－2x＋3， 则f ＝f ＝－f ＝－f ＝－＝－．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 2．(2025广东博罗县模拟)若函数f (x)的定义域为R，其图象关于点(2，2)对称，且f (x＋1)是偶函数，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＝(　　) A．2 023 B．－2 023 C．4 050 D．－4 050 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 重点培优课1　函数性质的综合应用 C　[由f (x＋1)是偶函数知，f (x)的图象关于直线x＝1对称，f (2－x)＝ f (x)，① 又f (x)的图象关于(2，2)中心对称，所以f (4－x)＝－f (x)＋4，② 则f (2＋x)＝－f (2－x)＋4，③ 由①②③可得，f (4－x)＝f (2＋x)＝f (－x)，故函数f (x)的周期为4， 则f (2)＝2，f (1)＋f (3)＝4，f (4)＝f (0)＝f (2)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8， 则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＝2＋506×8＝4 050． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 3．(2025浙江宁波模拟)已知函数f (x)的定义域为R，且f 是偶函数，f (x－1)是奇函数，则(　　) A．f (0)＝0 B．f ＝0 C．f (1)＝0 D．f (3)＝0 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 重点培优课1　函数性质的综合应用 D　[因为函数f 为偶函数，则f ＝f ， 令t＝x可得f (1－t)＝f (1＋t)，所以f (1＋x)＝f (1－x)， 因为函数f (x－1)为奇函数，则f (－x－1)＝－f (x－1)， 所以，函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，关于点(－1，0)对称， 又因为函数f (x)的定义域为R，则f (－1)＝0，则f (3)＝f (－1)＝0， f (1)，f ，f (0)的值都不确定．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 4．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f (x1)－f (x2)＜x1－x2，则关于x的不等式f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(　　) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 重点培优课1　函数性质的综合应用 B　[因为对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f (x1)－f (x2)＜x1－x2，即f (x1)－x1＜f (x2)－x2， 令g(x)＝f (x)－x，则g(x)在R上单调递增， 因为f (x)是定义在R上的奇函数， 所以f (－2x－2)＝－f (2x＋2)， 由f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3得 f (x2－1)－(x2－1)＜－f (－2x－2)－(2x＋2) ＝f (2x＋2)－(2x＋2)，即g(x2－1)＜g(2x＋2)， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 所以由g(x)的单调性得x2－1＜2x＋2， 即x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0， 所以－1＜x＜3，即f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(－1，3)．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 5．已知定义在R上的函数f (x)满足：f (x)＋f (2－x)＝2，f (x)－f (4－x)＝0，且f (0)＝2．若i∈N*，则 ＝(　　) A．506 B．1 012 C．2 025 D．4 048 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 重点培优课1　函数性质的综合应用 C　[∵f (x)＋f (2－x)＝2，f (x)－f (4－x)＝0，且f (0)＝2， ∴f (1)＋f (1)＝2，f (0)＋f (2)＝2，∴f (1)＝1，f (2)＝0， ∴f (1)－f (3)＝0，∴f (3)＝f (1)＝1， ∴f (0)－f (4)＝0，∴f (4)＝f (0)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋0＋1＋2＝4． 由f (x)＋f (2－x)＝2，f (x)－f (4－x)＝0两式相减可得： f (2－x)＋f (4－x)＝2， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 ∴f (x)＋f (x＋2)＝2，f (x＋2)＋f (x＋4)＝2，两式相减可得： f (x＋4)－f (x)＝0，∴f (x＋4)＝f (x)，∴f (x)的周期为4， ∴ ＝[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×506＋f (1)＋f (2)＝4×506＋1＋0＝2 025．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 6．(2024山东青岛一模)∀x∈R，f (x)＋f (x＋3)＝1－f (x)f (x＋3)， f (－1)＝0，则f (2 024)的值为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 重点培优课1　函数性质的综合应用 B　[根据题意，∀x∈R，f (x)＋f (x＋3)＝1－f (x)f (x＋3)， 令x＝－1可得：f (－1)＋f (2)＝1－f (－1)f (2)， 由于f (－1)＝0，则f (2)＝1， 再令x＝2可得：f (2)＋f (5)＝1－f (2)f (5)，可得f (5)＝0， 依次类推可得：f (－1)＝f (5)＝…＝f (6k－1)＝0， f (2)＝f (8)＝…＝f (6k＋2)＝1，k∈Z， 故f (2 024)＝f (6×337＋2)＝1．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 二、多项选择题 7．已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(1，2)，x1≠x2，都有>0，则(　　) A．f (x)是奇函数 B．f (2 025)＝0 C．f (x)的图象关于(1，0)对称 D．f (π)>f (e) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 BC　[因为f (x＋1)为奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，即函数f (x)的图象关于(1，0)对称，C正确；由函数f (x)的图象关于(1，0)对称可知f (－x)＝－f (2＋x)， 又因为f (x＋2)为偶函数，所以f (－x＋2)＝f (x＋2)，即函数f (x)的图象关于x＝2对称，则f (－x)＝f (x＋4)， 所以f (x＋4)＝－f (x＋2)，即f (x＋2)＝－f (x)， 所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数，所以f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 又f (1)＝0，所以f (2 025)＝0，B正确； f (－x)＝－f (2＋x)＝－f (2－x)＝f (2－(2－x))＝f (x)是偶函数，A错误； 对任意的x1，x2∈(1，2)，且x1≠x2，都有>0，不妨设x1>x2， 则f (x1)－f (x2)>0，由单调性的定义可得函数f (x)在(1，2)上单调递增， 又由函数f (x)的图象关于(1，0)对称，所以f (x)在(0，2)上单调递增， 又f (π)＝f (π－4)＝f (4－π)，f (e)＝f (e－4)＝f (4－e)，4－π<4－e， 所以f (4－π)<f (4－e)，得f (π)<f (e)，D错误． 故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 8．定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是 (　　) A．f (b)－f (－a)<g(a)－g(－b) B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b) C．f (a)＋f (－b)<g(b)－g(－a) D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 √ 重点培优课1　函数性质的综合应用 AC　[函数f (x)为R上的奇函数，且在R上单调递减， 偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合， 由a>b>0，得f (a)<f (b)<0，f (a)＝g(a)，f (b)＝g(b)． 对于A，f (b)－f (－a)<g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝ 2f (b)<0(f (a)＝g(a)在a>0时成立)，所以A正确； 对于B，f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝ 2f (b)>0，这与f (b)<0矛盾，所以B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 对于C，f (a)＋f (－b)<g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]<0，这符合f (a)<f (b)，所以C正确； 对于D，f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]>0，这与f (a)<f (b)矛盾，所以D错误．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 三、填空题 9．(2024福建龙岩一模)定义在R上的函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f (2x＋3)f (1)的解集为_____________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 [－1，0]　 重点培优课1　函数性质的综合应用 [－1，0]　[因为函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，则f (x)的图象关于直线x＝2对称， 又因为f (x)在(－∞，2]上单调递减，则f (x)在[2，＋∞)上单调递增， 则由f (2x＋3)f (1)得|2x＋3－2||1－2|， 即|2x＋1|1，解得－1x0，则该不等式的解集为[－1，0]．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 10．设f (x)是定义在R上的函数，且f (x＋2)＝，f (3)＝3，则 f (5)f (2 023)＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 　[∵f (x＋2)＝， ∴f (x＋4)＝＝＝－， ∴f (x＋8)＝－＝f (x)， 重点培优课1　函数性质的综合应用 ∴f (x)的周期为8， ∵f (x＋2)＝，f (3)＝3， ∴f (5)＝＝＝－2， ∴f (7)＝＝＝－， ∴f (2 023)＝f (7)＝－． ∴f (5)f (2 023)＝－2×＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 谢 谢！ 重点培优课1　函数性质的综合应用 $$