第二章 阶段提能(一) 集合、常用逻辑用语、不等式 函数的概念与性质-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件

第二章 函数的概念与性质 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、单项选择题 1．(2025·江苏南京模拟)已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则(　　) A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝B D．A∩∁RB＝R 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由log2x≤1，解得0<x≤2； 由x≤2，则0<2x≤4； 所以A＝，B＝， 则A⊆B，且∁RB＝或， 则A∪B＝B，A∩B＝A，A∩∁RB＝∅.故选A.] 3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．(2025·天津耀华中学模拟)已知4a＝5，log89＝b，则22a-3b＝(　　) A． B．5 C． D．25 A　[4a＝22a＝5，log89＝ ＝log23＝b， 3b＝2log23＝log232＝log29，23b＝＝9， 所以22a-3b＝＝.故选A.] 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 4 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) A　　　　　　　　　B 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 5 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 C　　　　　　　　　　　D 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 6 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 A　[对于A，B，若y＝a－x＝的图象正确，则0<a<1， ∴y＝logax＋a单调递减，又当x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，故A正确，B错误； 对于C，D，若y＝a－x＝的图象正确，则a>1， ∴y＝logax＋a单调递增，故C，D错误．] 7 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 4．(2025·广东广州模拟)已知函数f (x)＝ (a>0且a≠1)在定义域内是增函数，则a的取值范围是(　　) A．(2，3) B．(2，＋∞) C．[2，3] D．(1，4) 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 8 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 C　[由函数f (x)＝ (a＞0且a≠1)在定义域内是增函数， 则满足解得2≤a≤3，即实数a的取值范围为[2，3].故选C.] 9 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 5．(2025·山东青岛模拟)已知函数f (x)＝－x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5-0.5，则(　　) A．f (b)<f (a)<f (c) B．f (c)<f (b)<f (a) C．f (b)<f (c)<f (a) D．f (a)<f (b)<f (c) 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 10 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 C　[∵0＝log51<log52<log55＝1，log0.50.2>log0.50.52＝2，1＝0.50<0.5-0.5<0.5-1＝2， ∴b>c>a>0，且f (x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (b)<f (c)<f (a)．故选C.] 11 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 6．(2025·安徽合肥模拟)若x，y∈R，则“2x－2y>－”是“ln (x－y)>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 12 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 B　[设命题p：2x－2y>－，命题q：ln (x－y)>0， 对于命题p，因为2x－2y>－， 所以2x－>2y－， 构造函数f (x)＝2x－，易知f (x)在R上为增函数，所以x>y， 对于命题q，因为ln (x－y)>0，所以x－y>1，即x>y＋1， 所以pq，q⇒p， 所以p是q的必要不充分条件．故选B.] 13 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 7．(2025·广东深圳模拟)已知f (x)的定义域为R，y＝f (2x－1)为奇函数，y＝f (x＋1)为偶函数，若当x∈(－1，1)时，f (x)＝ex，则f (194)＝(　　) A． B．0 C．1 D．e 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 14 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 14 15 C　[y＝f (2x－1)为奇函数，即f (2x－1)＋f (－2x－1)＝0， 所以f (x)的图象关于(－1，0)对称，即f (x)＝－f (－2－x)， y＝f (x＋1)为偶函数，即f (x＋1)＝f (－x＋1)⇒f (2－x)＝f (x)，所以 f (2－x)＝－f (－2－x)⇒f (x＋2)＝－f (x－2)⇒f (x＋4)＝－f (x)， 故f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，即f (x)是周期为8的周期函数，所以 f (194)＝f (8×24＋2)＝f (2)＝f (0)＝1.故选C.] 15 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 8．已知函数f (x)＝3x-2－32-x，则满足f (x)＋f (8－3x)>0的x的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(－2，2) 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 16 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 14 15 B　[设g(x)＝3x－3－x，x∈R，则g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数． 又f (x)＝3x-2－32-x＝3x-2－3－(x-2)＝g(x－2)， 则f (x)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以f (x)图象的对称中心为(2，0)， 所以f (x)＋f (4－x)＝0. 17 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 14 15 因为y＝3x在R上单调递增，y＝3－x在R上单调递减， 所以g(x)在R上单调递增，则f (x)在R上单调递增， 因为f (x)＋f (8－3x)>0＝f (x)＋f (4－x)， 所以f (8－3x)>f (4－x)，所以8－3x>4－x，解得x<2, 故满足f (x)＋f (8－3x)>0的x的取值范围为(－∞，2)．故选B.] 18 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 √ 14 15 二、多项选择题 9．已知函数f (x)＝log2(mx2＋2x＋m－1)，m∈R，则下列说法正确的是(　　) A．若函数f (x)的定义域为R，则实数m的取值范围是 B．若函数f (x)的值域为[－1，＋∞)，则实数m＝ C．若函数f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是[0，＋∞) D．若m＝0，则不等式f (x)<1的解集为 √ 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 19 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 AC　[对于A，因为f (x)的定义域为R，所以mx2＋2x＋m－1>0恒成立，则解得m>，故A正确； 对于B，因为f (x)的值域为[－1，＋∞)，所以y＝mx2＋2x＋m－1的最小值为，所以 解得m＝2，故B错误； 20 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 对于C，因为函数f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增， 所以当m＝0时，f (x)＝log2(2x－1)，符合题意； 当m≠0时，解得m>0，所以m≥0，故C正确； 对于D，当m＝0时，f (x)＝log2(2x－1)，由f (x)<1，可得0<2x－1<2，解得<x<，故D错误．故选AC.] 21 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 √ 14 15 10．(2024·河北沧州一模)已知函数f (x)的定义域为R，且∀x∈R，都有f (－3＋x)＋f (－1－x)＝0，f＝f，f (－5)＝－2，f＝－，当x∈[－1，0]时，f (x)＝ax2＋bx，则下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)的图象关于点(－2，0)对称 B．f (1)＝2 C．f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝2 D．函数f (x)与函数y＝|ln |x||的图象有8个不同的公共点 √ √ 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 22 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 ABD　[由f (－3＋x)＋f (－1－x)＝0得函数f (x)的图象关于点(－2，0)对称，A正确； 由f＝f得函数f (x)的图象关于x＝－1对称， 所以f (－4＋x)＋f (－x)＝0，f (－2＋x)＝f (－x)， 所以f (x－4)＋f (x－2)＝0，即f (x)＋f (x＋2)＝0， 所以f (x)＝－f (x＋2)＝f (x＋4)，故函数f (x)的周期为4， 由f (－5)＝－2知f (－1)＝－2，f＝f＝－， 23 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 又x∈[－1，0]时，f (x)＝ax2＋bx， 所以解得 所以x∈[－1，0]时，f (x)＝－x2＋x， 所以f (1)＝－f (－1)＝2，B正确； f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0，C错误； 24 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 在同一直角坐标系中画出函数f (x)和函数y＝|ln |x||的图象，如图： －7||＝ln 7<2＝f (－7)，观察图象可得函数f (x)与函数y＝|ln |x||的图象有8个不同的公共点，D正确． 故选ABD.] 25 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 √ 14 15 11．(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝.则(　　) A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D．tanh(x＋y)＝ √ √ 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 26 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 ACD　[对于A，令f (x)＝sinh x＝，则f′(x)＝>0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对于B，令g(x)＝cosh x＝， 则g′(x)＝，由选项A知，g′(x)为增函数，又g′(0)＝＝0，故当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，tanh x＝＝＝＝＝1－， 27 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1>1， 故tanh x＝1－是增函数，故C正确； 对于D，由选项C知tanh x＝，则 tanh(x＋y)＝， 28 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 ＝＝ ＝ ＝＝， 故tanh(x＋y)＝，故D正确． 故选ACD.] 29 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 三、填空题 12．(2024·广东广州二模)已知f (x)是奇函数，且当x<0时，f (x)＝ －eax，若f (ln 2)＝，则a＝____． 3 3　[由题意知f (x)是奇函数，且当x<0时，f (x)＝－eax， 故f (ln 2)＝－f (－ln 2)＝－f＝＝＝， 则＝，∴a＝3.] 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 30 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 13．(2025·河北保定模拟)已知函数y＝ax-2＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＝2上，其中m>0，n>0，则的最小值为________． 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 31 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 　[对于函数y＝ax-2＋3(a>0，且a≠1)，令x－2＝0，则y＝4，则函数y＝ax-2＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(2，4)，则2m＋4n＝2，∴m＋2n＝1，且m>0，n>0， 故＝(m＋2n)＝2＋＋2＝， 当且仅当即m＝，n＝时等号成立，即的最小值为.] 32 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 14．设函数f (x)＝g(x)＝loga(x－1)(其中a>1)． (1)f (2 025)＝________； (2)若函数f (x)与g(x)的图象有3个交点，则实数a的取值范围为___________． 1 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 33 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 (1)1　(2)　[由题意，函数f (x)＝ 所以f (2 025)＝f (2 023)＝f (2 021)＝…＝f (1)＝f (－1)＝－1＝1. 当0<x≤2时，则－2<x－2≤0， 可得f (x)＝f (x－2)＝－1； 当2<x≤4时，则0<x－2≤2， 可得f (x)＝f (x－2)＝－1； 34 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 当4<x≤6时，则2<x－2≤4， 可得f (x)＝f (x－2)＝－1； 当6<x≤8时，则4<x－2≤6， 可得f (x)＝f (x－2)＝－1， 画出函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象，如图所示， 35 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 由loga(4－1)＝3，可得a＝由图象可知，若两个函数的图象有3个交点，可得<a≤].] 36 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 四、解答题 15．(2024·上海静安二模)已知k∈R，记f (x)＝ax＋k·a－x(a>0且a≠1)． (1)当a＝e(e是自然对数的底)时，试讨论函数y＝f (x)的单调性和最值； (2)试讨论函数y＝f (x)的奇偶性； 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 37 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 (3)拓展与探究： ①当k在什么范围取值时，函数y＝f (x)的图象在x轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数y＝f (x)的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明) 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 38 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 [解]　(1)当a＝e时，函数f (x)＝ex＋k·e－x，可得f′(x)＝ex－k·e－x， 当k≤0时，f′(x)>0，故函数y＝f (x)在R上单调递增，函数y＝f (x)在R上无最值； 当k>0时，令f′(x)＝0，可得x＝ln k， 当x∈时，f′(x)＜0，函数y＝f (x)在上单调递减； 39 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 当x∈时，f′(x)＞0，函数y＝f (x)在上单调递增， 所以，当x＝ln k时，函数取得最小值，最小值为f＝2，无最大值． 综上：当k≤0时，函数f (x)在R上单调递增且无最值；当k>0时，函数f (x)在上单调递减，在上单调递增，最小值为2，无最大值． 40 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 (2)因为“y＝f (x)为偶函数”⇔“对于任意的x∈R，都有f (－x)＝f (x)”， 即对于任意的x∈R，都有－x∈R，并且ax＋k·a－x＝a－x＋k·ax， 即对于任意的x∈R，(k－1)(ax－a－x)＝0，可得k＝1， 所以k＝1是y＝f (x)为偶函数的充要条件. 因为“y＝f (x)为奇函数”⇔“对于任意的x∈R，都有f (－x)＝－f (x)”， 即对于任意的x∈R，都有－x∈R，并且－ax－k·a－x＝a－x＋k·ax， 即对于任意的x∈R，(k＋1)(ax＋a－x)＝0，可得k＝－1， 所以k＝－1是y＝f (x)为奇函数的充要条件， 当k≠±1时，y＝f (x)是非奇非偶函数． 41 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 (3)①当k<0时，函数y＝f (x)的图象有对称中心， 当k<0时，对于任意的x∈R，都有－x∈R，并且f (loga(－k)－x)＝－f (x)． 理由：当k<0时，令f (x)＝0，解得x＝loga(－k)为函数y＝f (x)的零点， 由f (x)＝ax＋k·a－x， 可得f (loga(－k)－x)＝＋k·＝－k·a－x－ax＝－f (x)． 42 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 ②当k>0时，函数y＝f (x)的图象有对称轴x＝logak. 即当k>0时，对于任意的x∈R，都有－x∈R，并且f (logak－x)＝ f (x)． 参考证明：当k>0时，由f (x)＝ax＋k·a－x， 可得f (logak－x)＝＋k·＝k·a－x＋ax＝f (x)． 43 谢 谢！ 阶段提能(一)　集合、常用逻辑用语、不等式　函数的概念与性质 $$