第二章 第5课时 幂函数与二次函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件

第二章 函数的概念与性质 第5课时　幂函数与二次函数 第5课时　幂函数与二次函数 [考试要求]　1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律． 2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题． 第5课时　幂函数与二次函数 链接教材·夯基固本 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数________叫做幂函数， 其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 y＝xα 第5课时　幂函数与二次函数 3 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为______；当α为偶数时，y＝xα为______． (1，1) (0，0) (1，1) 奇函数 偶函数 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 4 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x)＝__________________． 顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________． 零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的____． ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 5 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象(抛物线)     定义域 R (2)二次函数的图象和性质 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 6 值域 _______________ ______________ 对称轴方程 x＝－ 顶点坐标 ______________ 奇偶性 当_____时是偶函数，当_____时是非奇非偶函数 b＝0 b≠0 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 7 单调性 在上单调递__； 在上单调递__ 在上单调递__； 在上单调递__ 减 增 增 减 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 [常用结论] 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]． (1)当－m时，最小值为f (m)，最大值为f (n)； (2)当m＜－时，最小值为f ，最大值为f (n)； (3)当＜－＜n时，最小值为f ，最大值为f (m)； (4)当－n时，最小值为f (n)，最大值为f (m)． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2是幂函数． (　　) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增． (　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是． (　　) × √ √ × 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 10 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P86习题3.2T7改编)函数f (x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 11 A　[函数f (x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，则f (x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， ∴f (x)max＝f (1)＝2，f (x)min＝f (－1)＝－2－4＝－6， 即f (x)的值域为[－6，2]．] 2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为_________________________． (－∞，30]∪[120，＋∞)　[依题意知，20或5，解得k120或k30．] (－∞，30]∪[120，＋∞) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间___________上单调递减． y＝　(0，＋∞)　[设y＝f (x)＝xα，因为其图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝，由幂函数性质可知函数y＝在(0，＋∞)上单调递减．] y＝　 (0，＋∞) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) c<b<a　[由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a．] c<b<a　 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 考点一　幂函数的图象及性质 [典例1]　(1)如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧，则f (x)可能是(　　) A．f (x)＝x2　　　　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝x-2 典例精研·核心考点 √ 第5课时　幂函数与二次函数 16 (2)有四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上单调递增．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　) A．f (x)＝x-2 B．f (x)＝x-1 C．f (x)＝ D．f (x)＝x3 (3)若<，则实数a的取值范围是________． √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 17 (1)B　(2)A　(3)　[(1)因为函数f (x)＝xα的图象过④⑧部分，所以函数f (x)＝xα在第一象限内单调递减，所以α<0．又易知当x＝2时，＜f (x)＜1，所以只有B选项符合题意． (2)对于A，f (x)＝x-2是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，值域是{y|y＞0}，且在(－∞，0)上单调递增，满足条件；对于B，f (x)＝x-1是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，且在(－∞，0)上单调递减，不满足条件；对于C，f (x)＝是定义域为R的奇函数，值域是R，且在(－∞，0)上单调递增，不满足条件；对于D，f (x)＝x3是定义域为R的奇函数，值域是R，且在(－∞，0)上单调递增，不满足条件． (3)易知函数y＝的定义域为[0，＋∞)，在定义域上为增函数， 所以解得－1a<．] 【教用备选题】 1．如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m，n是偶数，且>1 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 21 B　[由题干图象可看出y＝为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故∈(0，1)且m为偶数，又m，n∈N*且互质，故n是奇数．故选B．] 22 2．幂函数f (x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4 B．f (x)是减函数 C．f (x)是奇函数 D．f (x)是偶函数 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 23 C　[函数f (x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1． 当m＝4时，f (x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，A错误； 当m＝－1时，f (x)＝x-1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意． 函数f (x)＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误； 因为函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x)＝＝ －f (x)，所以函数f (x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C．] 24 名师点评　与幂函数有关问题的解题思路 (1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0． (3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 25 [跟进训练] 1．已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b A　[a＝＝，b＝＝，c＝，幂函数y＝在R上单调递增，a<c，指数函数y＝16x在R上单调递增，b<a，∴b<a<c．故选A．] √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 26 考点二　二次函数的图象与解析式 [典例2]　(1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的有______________(填序号)． ①a＋b＋c>0；②a－b＋c<0；③abc>0； ④b2>4ac；⑤－3<<－2． ①②④⑤ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 27 (2)已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝_________________． －4x2＋4x＋7 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 28 (1)①②④⑤　(2)－4x2＋4x＋7　[(1)由题图可知f (1)＝a＋b＋c>0，故结论①正确； 由题图可知f (－1)＝a－b＋c<0，故结论②正确； 由题图可知二次函数图象开口向下，所以a<0，且f (0)＝c>0，对称轴x＝－>1>0⇒b>0，所以abc<0，故结论③不正确； 由题图可知二次函数图象与x轴有两个交点，所以Δ＝b2－4ac>0⇒b2>4ac，故结论④正确； 由题图可知二次函数图象的对称轴1<－<⇒－3<<－2，故结论⑤正确．综上所述，结论正确的序号有①②④⑤． 29 (2)法一(利用“一般式”)： 设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得 解得 所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7． 30 法二(利用“顶点式”)： 设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝＝， 所以m＝． 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 31 所以f (x)＝a＋8． 因为f (2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7． 32 法三(利用“零点式”)： 由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f (x)＝ax2－ax－2a－1． 又函数有最大值8， 即＝8． 解得a＝－4或a＝0(舍)． 故所求函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．] 33 【教用备选题】 若abc＞0，则二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) A　　　　　 B C D √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 34 D　[在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意．故选D．] 35 名师点评　研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 [跟进训练] 2．函数f (x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0．请写出函数f (x)的一个解析式：____________________________．(写出一个即可) f (x)＝x2－4x＋5(答案不唯一) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 f (x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)　[由二次函数的对称性、值域及单调性可知解析式取f (x)＝(x－2)2＋1， 此时f (x)图象的对称轴为x＝2，开口向上， 满足②， ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2， 都有＜0， 等价于f (x)在(－∞，0)上单调递减， ∴f (x)＝(x－2)2＋1满足③， 又f (x)＝(x－2)2＋11，满足①， 故f (x)的解析式可以为f (x)＝x2－4x＋5．] 【教用备选题】 (1)(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 (2)已知二次函数f (x)，对任意的x∈R，都有f (2x)＜2f (x)，则f (x)的图象可能是(　　) A　　　　　　　 B C D √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 (1)AD　(2)A　[(1)在题图中，二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由图象的对称轴为x＝－1知，b＝2a．根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确． (2)二次函数f (x)，对任意的x∈R，有f (2x)＜2f (x)，令x＝0得，f (0)＜2f (0)，即f (0)＞0，故CD都不可能．对于B，二次函数图象的对称轴方程为x＝－，由图象可知f ＜0，设f (x)的图象与x轴的两个交点为x1，x2，且0＜x1＜x2，则x1＋x2＝－＞0，所以0＜x1＜－＜x2＜－，所以f ＞0，当x＝－时，f (2x)＝f ＜ 2f ＜0，两者相矛盾，故B不可能． 故选A．] 考点三　二次函数的单调性与最值 [典例3]　已知函数f (x)＝x2－tx－1． (1)若f (x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f (x)的最小值g(t)． [解]　f (x)＝x2－tx－1＝－1－． (1)依题意，－1<<2，解得－2<t<4， ∴实数t的取值范围是(－2，4)． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 (2)①当2，即t4时，f (x)在[－1，2]上单调递减，∴f (x)min＝f (2)＝3－2t． ②当－1<<2，即－2<t<4时，f (x)min＝f ＝－1－． ③当－1，即t－2时，f (x)在[－1，2]上单调递增，∴f (x)min＝ f (－1)＝t． 综上，g(t)＝ [拓展变式]　本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t)． [解]　∵f (－1)＝t，f (2)＝3－2t， ∴f (x)max＝max{f (－1)，f (2)}． 又f (2)－f (－1)＝3－3t， 当t1时，f (2)－f (－1)0， ∴f (2)f (－1)，∴f (x)max＝f (－1)＝t； 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 当t<1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x)max＝f (2)＝3－2t． 综上，G(t)＝ 【教用备选题】 1．(2024山东济南期中)已知函数y＝的定义域与值域均为[0，1]，则实数a的取值为(　　) A．－4 B．－2 C．1 D．－1 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 A　[依题意，y＝ax2＋bx＋c的值域为[0，1]，且ax2＋bx＋c0的解集为[0，1]， 故函数的图象开口向下，a<0， 则方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x＝0或1， 则c＝0，－＝，即a＝－b， 则y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax＝a－， 当x＝时，y＝a－取得最大值，为1， 即－＝1，解得a＝－4．故选A．] 2．(2024江苏常州期中)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，恒有f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，f (0)＝－2． (1)求函数f (x)的解析式； (2)设g(x)＝f (x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值； (3)若h(x)＝[f (x)－x2＋2]|x－a|，a∈R，若函数h(x)在[－2，2]上是单调函数，求a的取值范围． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 [解]　(1)由f (x＋1)－f (x)＝2x＋2，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x＋2， 则2ax＋a＋b＝2x＋2，所以2a＝2且a＋b＝2，解得a＝1，b＝1， 又f (0)＝－2，则c＝－2，故f (x)＝x2＋x－2． (2)g(x)＝f (x)－mx＝x2＋(1－m)x－2，其图象的对称轴为x＝， 当<，即m＜4时，g(x)max＝g(2)＝－2m＋4＝3，解得m＝； 当＝，即m＝4时，g(x)max＝g(1)＝g(2)＝－m＝－2m＋4＝3，解得m∈∅； 当>，即m>4时，g(x)max＝g(1)＝－m＝3，解得m＝－3(舍)， 综上，m＝． (3)h(x)＝[f (x)－x2＋2]＝x＝ 当a＝0时，h(x)在R上单调递增，符合题意； 当a>0时，则<a，此时函数h(x)在，(a，＋∞)上单调递增，在上单调递减， 则解得a4； 当a<0时，>a，则函数h(x)在(－∞，a)，上单调递增，在上单调递减， 则解得a－4， 综上所述，a的取值范围为a＝0或a4或a－4． 名师点评　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－∞，0) D．(－∞，0] (2)设函数f (x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f (x)的最小值． √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 (1)D　[不妨设1x1<x2，则x1－x2<0，根据题意，可得f (x1)－f (x2)>3(x1－x2)恒成立， 即f (x1)－3x1>f (x2)－3x2恒成立． 令g(x)＝f (x)－3x＝ax2－2x－3， 则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减． 当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意； 当a≠0时，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减， 则 解得a<0． 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．] (2)[解]　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1． 当t＋11，即t0时，函数图象如图①所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1． 当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图②所示，在对称轴x＝1处f (x)取得最小值，最小值为f (1)＝1． 当t1时，函数图象如图③所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2． 综上可知，f (x)min＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 一、单项选择题 1．若幂函数f (x)＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　) A．－2 B．2 C． 13 课后作业(十一)　幂函数与二次函数 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 D　[当α＝－2时，f (x)＝x-2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意； 当α＝2时，f (x)＝x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意； 当α＝时，f (x)＝，x∈[0，＋∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C不符合题意； 当α＝时，f (x)＝，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 2．若二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)满足f (1)＝f (3)，则下列不等式成立的是(　　) A．f (1)＜f (4)＜f (2) B．f (4)＜f (1)＜f (2) C．f (4)＜f (2)＜f (1) D．f (2)＜f (4)＜f (1) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 B　[因为f (1)＝f (3)，所以二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝2．又因为a＜0，所以f (4)＜f (3)＜f (2)，又f (1)＝f (3)，所以 f (4)＜f (1)＜f (2)．] 3．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　) A．(0，4] B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 C　[y＝x2－3x＋4＝＋的定义域为[0，m]，显然，当x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知m3．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 4．(2025山东青岛模拟)函数f (x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 A　　　　　　 　B C D √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 B　[对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，与图中符合； 对于B，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中不符合； 对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合； 对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5．(2024安徽江淮十校联考)已知幂函数f (x)＝(m2－5m＋5)xm-2是R上的偶函数，且函数g(x)＝f (x)－(2a－6)x在区间[1，3]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，4] C．[6，＋∞) D．(－∞，4]∪[6，＋∞) 13 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[因为幂函数f (x)＝(m2－5m＋5)xm-2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4， 当m＝1时，f (x)＝x-1，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意； 当m＝4时，f (x)＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意． 所以f (x)＝x2，则g(x)＝x2－(2a－6)x，其图象的对称轴方程为x＝a－3，因为g(x)在区间[1，3]上单调递增，则a－31，解得a4．故选B．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 6．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到x1，x2，…，xn共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a应该满足与所有测量数据的差的平方和最小．由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值” a应是(　　) 13 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[根据题意得f (a)＝(a－x1)2＋(a－x2)2＋…＋(a－xn)2＝， 由于n＞0，所以f (a)是关于a的二次函数，因此当a＝，即a＝ 时，f (a)取得最小值．故选A．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、多项选择题 7．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T8改编)已知幂函数f (x)的图象经过点(9，3)，则(　　) A．函数f (x)为增函数 B．函数f (x)为偶函数 C．当x4时，f (x)2 D．当x2>x1>0时，<f 13 √ √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 ACD　[设幂函数f (x)＝xα，则f (9)＝9α＝3，解得α＝，所以f (x)＝，所以f (x)的定义域为[0，＋∞)，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，故A正确； 因为f (x)的定义域不关于原点对称，所以函数f (x)不是偶函数，故B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 当x4时，f (x)f (4)＝＝2，故C正确； 当x2>x1>0时，－＝－＝＝－<0， 又f (x)0，所以<f ，D正确． 故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．已知函数f (＋1)＝2x＋－1，则(　　) A．f (3)＝9　 B．f (x)＝2x2－3x(x0) C．f (x)的最小值为－1 D．f (x)的图象与x轴只有1个交点 13 √ √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ACD　[令t＝＋11，得＝t－1，则x＝(t－1)2，得f (＋1)＝ f (t)＝2t2－3t， 故f (x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞)，f (3)＝9，A正确，B错误． f (x)＝2x2－3x＝2－，所以f (x)在[1，＋∞)上单调递增， f (x)min＝f (1)＝－1，f (x)的图象与x轴只有1个交点，C正确，D正确．故选ACD．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、填空题 9．幂函数f (x)＝xα(α∈R)满足：任意x∈R都有f (－x)＝f (x)，且f (－1)＜f (2)＜2．请写出符合上述条件的一个函数f (x)＝_______________． 13 (答案不唯一)　[取f (x)＝，则定义域为R，且f (－x)＝＝＝f (x)，f (－1)＝1，f (2)＝，满足f (－1)＜f (2)＜2．] (答案不唯一) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 10．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是______________． 13 (－∞，－5]　[令f (x)＝x2＋mx＋4，∵当x∈(1，2)时，f (x)<0恒成立， ∴即解得m－5．] (－∞，－5] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 四、解答题 11．在①f (4)＝－1，f (3)＝2，②当x＝2时，f (x)取得最大值3， ③f (x＋2)＝f (2－x)，f (0)＝－1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：已知函数f (x)＝－x2－2ax＋b，且________． (1)求f (x)的解析式； (2)若f (x)在[m，n](m＜n)上的值域为[3m－2，3n－2]，求m＋n的值． 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)若选①， 由题意可得 解得a＝－2，b＝－1， 故f (x)＝－x2＋4x－1． 若选②， 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 由题意可得 解得a＝－2，b＝－1， 故f (x)＝－x2＋4x－1． 若选③， 因为f (x＋2)＝f (2－x)， 所以f (x)图象的对称轴方程为x＝2， 则－a＝2，即a＝－2，因为f (0)＝－1，所以b＝－1， 故f (x)＝－x2＋4x－1． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)因为f (x)＝－x2＋4x－1在R上的值域为(－∞，3]， 所以3n－23，即n， 因为f (x)图象的对称轴方程为x＝2，且n＜2， 所以f (x)在[m，n]上单调递增， 则 整理得n2－m2＋m－n＝0，即(n－m)(n＋m－1)＝0， 因为n－m≠0，所以n＋m－1＝0，即n＋m＝1． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．已知f (x)＝ax2－2x＋1． (1)若f (x)在[0，1]上单调，求实数a的取值范围； (2)若x∈[0，1]，求f (x)的最小值g(a)． 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)当a＝0时，f (x)＝－2x＋1单调递减； 当a>0时，f (x)图象的对称轴为x＝，且>0， ∴1，即0<a1； 当a<0时，f (x)图象的对称轴为x＝，且<0， ∴a<0符合题意． 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)①当a＝0时，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减， ∴f (x)min＝f (1)＝－1． ②当a>0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上，且对称轴为x＝． (ⅰ)当<1，即a>1时，f (x)＝ax2－2x＋1图象的对称轴在[0，1]内， ∴f (x)在上单调递减，在上单调递增． ∴f (x)min＝f ＝－＋1＝－＋1． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (ⅱ)当1，即0<a1时，f (x)在[0，1]上单调递减． ∴f (x)min＝f (1)＝a－1． ③当a<0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧， ∴f (x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减． ∴f (x)min＝f (1)＝a－1． 综上所述，g(a)＝ 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13．(2024广东深圳期中)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数f (x)，以及函数g(x)＝kx＋b(k，b∈R)，切比雪夫将函数y＝|f (x)－g(x)|，x∈I的最大值称为函数 f (x)与g(x)的“偏差”． (1)若f (x)＝x2(x∈[0，1])，g(x)＝－x－1，求函数f (x)与g(x)的“偏差”； (2)若f (x)＝x2(x∈[－1，1])，g(x)＝x＋b，求实数b，使得函数f (x)与g(x)的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值． 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第5课时　幂函数与二次函数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)y＝|f (x)－g(x)|＝|x2＋x＋1|＝＝＋，x∈[0，1]，因为x∈[0，1]， 由二次函数的性质可得y＝＋∈[1，3]， 故函数f (x)与g(x)的“偏差”为3． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)令t(x)＝f (x)－g(x)＝x2－x－b＝－b－，x∈[－1，1]， 因为t(－1)＝2－b，t＝－b－，t(1)＝－b， 令h(x)＝|t(x)|＝，x∈[－1，1]． 因为x∈[－1，1]，所以x－∈，∈． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 当－b－＝0，即b＝－时，此时－b－0， 则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于2－b＝，有最小值，满足要求； 当－b－＞0，即b＜－时，此时－b－＞0， 则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于2－b＞，无最小值，不满足要求； 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＜2－b，即－＜b＜时， 则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于＜2－b＜，无最小值，不满足要求； 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＞2－b，即＜b＜2时， 则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于＜b＋＜，无最小值，不满足要求； 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＝2－b，即b＝时， 则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＝，有最小值，满足要求； 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＜0，即b＞2时， 则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＞，无最小值，不满足要求； 13 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＝0，即b＝2时， 则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＝，有最小值，满足要求． 综上，b＝或－或2时，满足要求， 当b＝时，“偏差”的最小值为； 当b＝－时，“偏差”的最小值为； 当b＝2时，“偏差”的最小值为． 谢 谢！ 第5课时　幂函数与二次函数 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