第二章 第4课时 函数的对称性-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件

第二章 函数的概念与性质 第4课时　函数的对称性 第4课时　函数的对称性 [考试要求]　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论． 2．会利用对称公式解决问题． 第4课时　函数的对称性 链接教材·夯基固本 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称． (2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线______对称；若函数y＝f (x＋a)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象的对称中心为点_________． 原点 y轴 x＝a (a，0) 第4课时　函数的对称性 3 2．函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称，则f (a－x)＝f (a＋x)⇔ f (2a－x)＝f (x)． (2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于点_________对称． (3)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＋f (b＋x)＝c，则函数f (x)的图象的对称中心为． (a，0) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 4 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于____对称； (2)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于____对称； (3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x)的图象关于____对称． (4)函数y＝f (a－x)与y＝f (x－b)的图象关于直线x＝对称． y轴 x轴 原点 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 5 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数y＝f (x－1)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称． (　　) (2)若函数y＝f (x＋1)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称． (　　) × √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 6 (3)若函数f (x)满足f (x－1)＝f (x＋1)，则f (x)的图象关于y轴对称． (　　) (4)若函数f (x)满足f (1＋x)＝－f (1－x)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称． (　　) × × 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 7 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f (x)＝x3＋x的图象关于 (　　) A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 C　[因为f (x)＝x3＋x为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称．故选C．] √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝的图象之间的关系是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 B　[因为y＝＝3－x，所以函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．故选B．] √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是(　　) A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝ D．y＝x－ √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 AC　[由y＝知定义域为R， 且f (－x)＝＝＝f (x)， 所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称， 所以A正确； 由y＝x＋知定义域为{x|x≠0}， 且f (－x)＝(－x)＋＝－＝－f (x)， 所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称， 所以B错误； 由y＝知定义域为R， 且f (－x)＝＝＝f (x)， 所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称， 所以C正确； 由y＝x－知定义域为{x|x≠0}， 且f (－x)＝(－x)－＝－＝－f (x)， 所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称， 所以D错误．故选AC．] 4．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13(1)改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．已知f (x)＝mx3＋nx＋1． (1)若f (x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________； (2)若m＝1，n＝－3，则函数f (x)图象的对称中心为点________． 2 (0，1) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 (1)2　(2)(0，1)　[(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin， ∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2． (2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以对称中心为点(0，0)，所以函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)． 法二：∵g(x)＝f (x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b， 在R上为奇函数，所以⇒ ∴函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)．] 考点一　轴对称问题 [典例1]　(1)已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则 f (6)＝(　　) A．29 B．11 C．3 D．5 典例精研·核心考点 √ 第4课时　函数的对称性 15 (2)(2024上海浦东新区期末)若函数f (x)＝的图象关于直线y＝x对称，则a的值是______． (3)已知函数f (x)＝e2x＋e-2x+2，证明函数f (x)的图象关于直线x＝对称． －1 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 16 (1)B　(2)－1　[(1)因为f (5＋x)＝f (3－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，而f (x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称， 所以a＝4，f (6)＝3|6-4|＋2＝11． 故选B． (2)设(x0，y0)是函数f (x)＝的图象上任一点，即y0＝，且(x0，y0)关于直线y＝x对称的点(y0，x0)也在函数f (x)＝的图象上，即x0＝，整理为y0＝，即＝，即a＝－1．] (3)[证明]　因为f (x)＝e2x＋e-2x+2， 所以f (1－x)＝e2-2x＋e2x＝f (x)， 所以函数f (x)的图象关于x＝对称． 名师点评　轴对称的几种表述形式 (1)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (a－x)＝f (a＋x)； (2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 19 [跟进训练] 1．(1)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　) A．－4 B．0 C．4 D．8 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 20 (2)已知定义在R上的函数y＝f (x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x)＞f (x＋2)的x的取值范围为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C． D．∪(2，＋∞) √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 21 (1)D　(2)B　[(1)由f (x)＝f (4－x)可知y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8． (2)函数y＝f (x＋1)是偶函数， 且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f (x＋1)图象的对称轴为y轴， 又函数y＝f (x＋1)的图象向右平移1个单位长度可得y＝f (x)的图象， ∴函数y＝f (x)的图象的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，∴由f (2x)＞f (x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|， 解得x＜0或x＞2．故选B．] 22 考点二　中心对称问题 [典例2]　(1)(2024河北重点中学二模)已知函数y＝f (x－1)为奇函数，则函数y＝f (x)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称 C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 23 (2)(2024四川泸州三模)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＋f (4－x)＝0，若函数f (x)与y＝图象的交点的横坐标分别为x1，x2，…，xn，则 ＝(　　) A．4n B．2n C．n D．0 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 24 (1)C　(2)B　[(1)函数y＝f (x－1)为奇函数，图象关于(0，0)对称，将函数y＝f (x－1)的图象向左平移一个单位长度可得函数y＝f (x)的图象，则函数y＝f (x)的图象关于(－1，0)对称， 所以函数y＝f (x)＋1的图象关于(－1，1)对称．故选C． 25 (2)因为f (x)＋f (4－x)＝0，所以f (2＋x)＋f (2－x)＝0， 所以函数的图象关于(2，0)对称，又函数y＝的图象关于(2，0)对称，则y＝f (x)与y＝的图象的交点应为偶数个，且关于(2，0)对称，所以 ＝4×＝2n．故选B．] 26 名师点评　中心对称的几种表述形式 (1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝ f (x)的图象关于点对称． (2)双曲线型函数f (x)＝的图象的对称中心为． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 27 [跟进训练] 2．(1)(2025福建泉州模拟)已知y＝f (x＋1)＋1为奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝(　　) A．6 B．5 C．－6 D．－5 (2)函数f (x)＝图象的对称中心为________． √ (1，1) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 28 (1)D　(2)(1，1)　[(1)由题y＝f (x＋1)＋1为奇函数，则f (x)的图象关于(1，－1)对称，所以f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝[f (－1)＋f (3)]＋f (1)＋[f (0)＋f (2)]＝－2－1－2＝－5． 故选D． (2)因为f (x)＝＝＝1＋， 则f (x)＝的图象可以由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y＝为奇函数，函数图象关于原点(0，0)对称，所以函数f (x)图象的对称中心为(1，1)．] 29 考点三　两函数图象间的对称问题 [典例3]　(1)已知函数y＝f (x)是定义域为R的函数，则函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 30 (2)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是 (　　) A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x) C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x) √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 31 (1)A　(2)B　[(1)设P(x0，y0)为y＝f (x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f (x0＋2)＝f (4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f (4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝1对称． (2)y＝ln x的图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知B正确．故选B．] 名师点评　函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 [跟进训练] 3．(1)(2025江苏扬州模拟)定义在R上的函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　) A．(2，1) B．(－2，－1) C．(－2，1) D．(2，－1) (2)设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，则实数m的值为________． √ 1 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 (1)D　(2)1　[(1)由题意得函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则y＝f (x)的图象关于(－2，－1)对称，另知函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于(2，－1)对称．故选D． (2)∵函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称， ∴x＝log3y－m， ∴f ＝log3x－m， ∴f ＋f ＝1－m＋2－m＝1， ∴m＝1．] 抽象函数求值问题是近几年高考的一个热点，常结合函数性质综合考查学生的能力，解决此类问题的方法一般有三种：赋值法、函数性质法和构造函数法． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 [典例]　(2022新高考Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋ f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则 ＝(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 [赏析]　法一(赋值法)： 突破点：对变量x或y适当赋值，发现函数f (x)的特性． 令y＝1得f (x＋1)＋f (x－1)＝f (x)f (1)＝f (x)⇒f (x＋1)＝f (x)－f (x－1)， 故f (x＋2)＝f (x＋1)－f (x)，f (x＋3)＝f (x＋2)－f (x＋1)，消去f (x＋2)和f (x＋1)得到f (x＋3)＝－f (x)，故f (x)的周期为6； 令x＝1，y＝0得f (1)＋f (1)＝f (1)f (0)⇒f (0)＝2， ∴f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2， f (4)＝f (3)－f (2)＝－2－(－1)＝－1， f (5)＝f (4)－f (3)＝－1－(－2)＝1， f (6)＝f (5)－f (4)＝1－(－1)＝2， 故 ＝3[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (19)＋f (20)＋f (21)＋f (22)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即 ＝－3．故选A． 法二(特殊函数法)： 突破点：依据f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，寻找特殊函数f (x)． 取f (x)＝2cos x符合条件，则T＝6，计算可得f (2)＝2cos π＝－1， f (3)＝2cos π＝－2， f (4)＝2cos ＝－1， f (5)＝2cos ＝1， f (6)＝2cos 2π＝2， ∴ ＝1－1－2－1＋1＋2＝0， 一个周期内的f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0． ∴ ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3．故选A． 名师点评　1．挖掘背景函数，如常见的抽象函数7大模型： (1)一次函数：f (x＋y)＝f (x)＋f (y)－b． (2)二次函数：f (a－x)＝f (a＋x)． (3)幂函数：f (xy)＝f (x)f (y)． (4)指数函数：f (x＋y)＝f (x)f (y)，f (x－y)＝． (5)对数函数：f (xy)＝f (x)＋f (y)，f ＝f (x)－f (y)． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 (6)正切函数：f (x±y)＝． (7)余弦函数：f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)，f (x)＋f (y)＝ 2f ． 2．关注题目给定的抽象恒等式，如f (x＋y)＝f (x)＋f (y)．求解中注意两点：①恰当赋值；②正逆应用． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 [跟进训练] (多选)已知函数f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f (x＋y)＝，f (1)＝1，则(　　) A．f (0)＝0 B．f (x)为偶函数 C．f (x)为周期函数，且4为f (x)的周期 D．f (2 025)＝1 √ √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 ACD　[对于A，令x＝y＝0，得f (0)＝0，故A正确； 对于B，令y＝－x，则f (0)＝＝0，因此f (－x)＝－f (x)， 又f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称，所以f (x)为奇函数，故B错误； 对于C，令y＝1，则f (x＋1)＝＝＝－1＋， 所以f (x＋2)＝－1＋＝－，因此f (x＋4)＝－＝f (x)， 所以f (x)为周期函数，且周期为4，故C正确； 对于D，f (2 025)＝f (1)＝1，故D正确．故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 一、单项选择题 1．已知函数f (x)＝x2＋ax对定义域内任意的x都有f (2－x)＝f (2＋x)，则实数a等于(　　) A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－ 13 课后作业(十)　函数的对称性 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 B　[∵f (2－x)＝f (2＋x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故－＝2，∴a＝－4．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 2．(2024四川南充二模)已知函数f (x)＝，则函数y＝f (x－1)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(－1，1)对称 C．关于点(－1，0)对称 D．关于点(1，0)对称 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 A　[因为函数f (x)＝为奇函数，所以函数f (x)的图象关于原点(0，0)对称， 又y＝f (x－1)＋1的图象是由f (x)＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 所以函数y＝f (x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A．] 3．已知函数f (x)＝2x＋(x∈R)，则f (x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于点(1，0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 A　[由已知可得，f (2－x)＝22-x＋＝＋4＝＋2x＝f (x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确； 因为f (2－x)＝2x＋，则f (2－x)≠－f (x)，故B项错误； f (－x)＝2－x＋＝42x＋，则f (－x)≠f (x)，故C项错误； 因为f (－x)＝42x＋，则f (－x)≠－f (x)，故D项错误．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 4．若函数f (x)＝的图象关于点(1，0)对称，则a＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 C　[∵f (x)的图象关于点(1，0)对称， ∴f (0)＋f (2)＝0，即＋＝0， 解得a＝1，∴f (x)＝， 经检验知f (x)的图象关于点(1，0)对称．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5．函数y＝f (x)是定义在R上的函数，那么y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象(　　) A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点(5，0)对称 D．关于点(1，0)对称 13 √ D　[由复合函数的对称性知函数y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象关于点，即点(1，0)对称．故选D．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 6．(2025福建福州模拟)定义在R上的函数f 满足f ＝2－ f ．若f 的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(　　) A．f ＝1 B．f ＝0 C．f ＝2 D．f ＝－1 13 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[函数f 的图象关于直线x＝3对称，则必有f (3－x)＝f (x＋3)，所以f (0)＝f (6)， f (1)＝f (5)，f (2)＝f (4)，又因为f 满足f ＝2－f ，取x＝1，所以f (1)＝2－f (1)，f (1)＝1，则f (1)＝f (5)＝1，取x＝5，则 f (－3)＝2－f (5)＝1，故选A．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、多项选择题 7．(2025黑龙江鸡西模拟)对于定义在R上的函数f (x)，下述结论正确的是(　　) A．若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称 B．若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称 C．函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称 D．若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数 13 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 BD　[对于A，对x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)， 令x＋1替换x，得f (x＋2)＝f (x)，可得函数f (x)是周期为2的周期函数， 则y＝f (x)的图象对称性不确定，即A错误； 对于B，∵f (x)是奇函数，∴f (x)的图象关于原点对称， 而y＝f (x－1)的图象是将y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度得到， ∴y＝f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 对于C，函数y＝f (1＋x)是由y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度得到； 函数y＝f (1－x)的图象是由y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到， 而y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称， 所以函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，故C错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 对于D，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称， 则将其向左平移1个单位长度得到f (x)的图象，则对称轴也向左平移1个单位长度， 则f (x)的图象关于y轴对称，即f (x)为偶函数，故D正确． 故选BD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．(2025湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　) A．函数f (x)的周期为2 B．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称 C．函数f (x)为偶函数 D．函数f (x)的图象关于直线x＝3对称 13 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 BC　[因为f (x)的定义域为R，且f (x＋2)＋f (x)＝0，所以f (x＋2)＝ －f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，函数f (x)的周期为4，A错误； 因为函数y＝f (2－x)是偶函数，所以f (2－x)＝f (2＋x)，函数f (x)的图象关于直线x＝2对称， 且f (2－x)＝－f (x)，即f (2－x)＋f (x)＝0，函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，B正确； 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，则函数f (x)为偶函数，C正确； 由f (x＋2)＋f (x)＝0，得f (x＋3)＋f (1＋x)＝0，由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (3－x)＝f (1＋x)， 因此f (x＋3)＋f (3－x)＝0，函数f (x)的图象关于点(3，0)对称，D错误．故选BC．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、填空题 9．(2024广东大联考)写出一个满足“图象关于点(2，0)对称”的函数f (x)＝____________________． 13 (答案不唯一)　[函数f (x)＝的图象关于点(2，0)对称，满足要求．] (答案不唯一) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 10．已知所有的三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象都有对称中心，，若函数f (x)＝－x3＋3x2，则f ＋ f ＋f ＋…＋f ＝________． 13 8 090 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8 090　[∵f (x)＝－x3＋3x2， 则a＝－1，b＝3，∴－＝1，f (1)＝2， 即函数y＝f (x)的图象的对称中心为(1，2)， 则f (x)＋f (2－x)＝4，故f ＋f ＋f ＋ … ＋f ＋ f ＝＋＋…＋＋f ＝4×2 022＋2＝8 090．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 11．(多选)(2025河北承德模拟)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是 (　　) A．f (x)的图象关于直线x＝2对称 B．f (x)的图象关于点(2，0)对称 C．f (x)的周期为4 D．y＝f (x＋4)为偶函数 13 √ √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ACD　[∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)，∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确； ∵f (x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．已知函数f (x)＝． (1)求证：函数f (x)的图象关于点对称； (2)求S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)的值． 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)证明：因为f (x)＝，所以f (1－x)＝＝＝， 所以f (x)＋f (1－x)＝1，即函数f (x)的图象关于点对称． (2)由(1)知f (x)＋f (1－x)＝1， 因为S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 022)＋ f (2 023)， 则S＝f (2 023)＋f (2 022)＋…＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－2 021)＋ f (－2 022)， 所以2S＝4 046，即S＝2 023． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13．(2024湖南长沙期中)我们知道函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数． (1)已知函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，求该函数图象的对称轴方程； 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)若函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－． ①求g(x)的解析式； ②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集． 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第4课时　函数的对称性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)因为φ(x)＝(x－1)2－1＋a[ex-1＋e－(x-1)]， 所以φ(1＋x)＝x2－1＋a(ex＋e－x)， 令h(x)＝φ(x＋1)，则该函数的定义域为R， h(－x)＝(－x)2－1＋a(e－x＋ex)＝x2－1＋a(e－x＋ex)＝h(x)， 所以，函数h(x)＝φ(x＋1)为偶函数， 因此，函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)图象的对称轴方程为x＝1． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)①因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－， 当x<1时，2－x>1，则g(x)＝g(2－x)＝(2－x)2－＝(x－2)2＋， 所以，g(x)＝ 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ②当x1时，g(x)＝x2－，因为函数y＝x2，y＝－在[1，＋∞)上单调递增， 所以，函数g(x)＝x2－在[1，＋∞)上单调递增， 因为g(x)>g(3x－1)，则|x－1|>|3x－2|， 不等式两边平方可得(3x－2)2<(x－1)2，即(2x－1)(4x－3)<0，解得<x<， 因此，不等式g(x)>g(3x－1)的解集为． 13 谢 谢！ 第4课时　函数的对称性 $$