第二章 第2课时 函数的单调性与最值-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件

第二章 函数的概念与性质 第2课时　函数的单调性与最值 第2课时　函数的单调性与最值 [考试要求]　1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值． 2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 第2课时　函数的单调性与最值 链接教材·夯基固本 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 第2课时　函数的单调性与最值 3   增函数 减函数 定义 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增．特别地，当函数 f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有___________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减．特别地，当函数 f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f (x1)<f (x2) f (x1)>f (x2) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 4   增函数 减函数 图象描述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 5 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间I上________或________，那么就说函数y＝ f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，______叫做y＝f (x)的单调区间． 提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 单调递增 单调递减 区间I 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 6 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有__________； ②∃x0∈D，使得__________ ①∀x∈D，都有__________； ②∃x0∈D，使得__________ 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 M f (x0)＝M f (x) f (x0)＝M 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 7 [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0)⇔f (x)在区间D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0)⇔f (x)在区间D上单调递减． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 2．若函数f (x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反； (3)函数y＝f (x)在公共定义域内与y＝( f (x)≠0)的单调性相反； (4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　) (2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，＋∞)． (　　) (3)若一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． (　　) (4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到． (　　) × × × √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 11 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f (x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)在[－4，－1]上单调递减，在 [－1，3]上单调递增 B．f (x)在区间(－1，3)上的最大值为3， 最小值为－2 C．f (x)在[－4，1]上有最小值－2，最大值3 D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时，－1<t<2 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 2．(人教A版必修第一册P92“探究与发现”改编)函数y＝x＋的单调递减区间为(　　) A．(0，1] B．[－1，1] C．[－1，0)∪(0，1] D．[－1，0)，(0，1] D　[函数y＝x＋为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数y＝x＋的单调递减区间为[－1，0)，(0，1]．] √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是____________． (－∞，2]　[由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m2．] (－∞，2]　 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________． －　－2　[可判断函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以 f (x)max＝f (6)＝－，f (x)min＝f (2)＝－2．] － －2 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 考点一　确定函数的单调性(单调区间) 考向1　图象法、性质法确定函数的单调性 [典例1]　(1)(2025浙江绍兴模拟)函数y＝ln (x2－2x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(2，＋∞) 典例精研·核心考点 √ 第2课时　函数的单调性与最值 16 (2)(2024广东深圳三模)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是_____________________． [－1，2]，[5，＋∞) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 17 (1)C　(2)[－1，2]，[5，＋∞)　[(1)由y＝ln (x2－2x)，所以x2－2x>0，解得x<0或x>2， 所以函数y＝ln (x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 令u＝x2－2x，则函数u＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得，y＝ln (x2－2x)的单调递减区间为(－∞，0)．故选C． (2)函数y＝|－x2＋4x＋5|＝ 由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5， 函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示， 由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．] (－∞，－2]和[0，2]　[f (x)＝ 即f (x)＝ 画出函数图象如图所示， 可知函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为 (－∞，－2]和[0，2]．] [拓展变式]　函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为_______________________． (－∞，－2]和[0，2]　 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 20 考向2　定义法、导数法确定函数的单调性 [典例2]　试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [解]　法一(定义法)：∀x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2， f (x)＝a＝a， f (x1)－f (x2)＝a－a＝，由于 －1<x1<x2<1， 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 21 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f (x1)－f (x2)<0， 即f (x1)<f (x2)，函数f (x)在(－1，1)上单调递增． 22 法二(导数法)：f ′(x)＝＝＝－． 当a>0时，f ′(x)<0，函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f ′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增． 法三：f (x)＝＝a＋，该函数的图象由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位长度得到，图象略．故当a＞0时，f (x)在(－1，1)上单调递减；当a＜0时，f (x)在(－1，1)上单调递增． 23 名师点评　确定函数单调性的方法 (1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论． (2)性质法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易画出，可由图象直观地判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． 提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 24 [跟进训练] 1．(1)函数f (x)＝的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 25 (2)(2025安徽蚌埠模拟)下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0”成立的是(　　) A．f (x)＝－x2－2x＋1 B．f (x)＝x－ C．f (x)＝x＋1 D．f (x)＝log2(2x)＋1 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 26 (1)B　(2)A　[(1)f (x)＝由y＝3u和u＝－x2－2x复合而成的，y＝3u在R上为增函数， u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性可得函数f (x)＝在(－∞，－1]上单调递增． 27 (2)根据题意，“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0”，则函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 对于选项A，f (x)＝－x2－2x＋1为二次函数，其对称轴为x＝－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意； 对于选项B，f (x)＝x－，其导数f ′(x)＝1＋，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 对于选项C，f (x)＝x＋1为一次函数，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 28 对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，f (x)＝log2(2x)＋1在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意． 故选A．] 29 考点二　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 [典例3]　已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 30 D　[因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，由此可得f ＝f ．当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f (x)在(1，＋∞)上单调递减． 因为1<2<<e，所以f (2)>f >f (e)，所以b>a>c．] 31 考向2　解不等式 [典例4]　(1)(2025广东佛山模拟)已知函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f (2a－1)<f (2－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(－∞，1) C．(0，1) D．(1，＋∞) √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 32 (2)(2025湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝若f (a＋1)－f (2a－1)0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[2，6] D． √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 33 (1)C　(2)D　[(1)因为函数y＝f (x)在定义域(－1，3)上是增函数，且 f (2a－1)<f (2－a)，则有 则解得0<a<1，所以实数a的取值范围是(0，1)．故选C． 34 (2)因为当x∈(0，2]时，f (x)＝log2x单调递增，此时f (x)f (2)＝1， 当x∈(2，＋∞)时，f (x)＝2x－3单调递增，此时f (x)＞f (2)＝1， 函数f (x)的图象如图所示． 所以f (x)＝是定义在 (0，＋∞)上的增函数， 所以若f (a＋1)－f (2a－1)0即f (a＋1)f (2a－1)， 则a＋12a－1＞0⇒＜a2，故选D．] 35 考向3　求参数的取值范围 [典例5]　(1)(2024新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 36 (2)若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为___________． [1，2) 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 (1)B　(2)[1，2)　[(1)因为f (x)在R上单调递增，且x0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增， 则需满足解得－1a0， 即a的取值范围是[－1，0]．故选B． (2)f (x)＝＝＝1＋， ∵f (x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴⇒1a<2．] 名师点评　函数单调性应用问题的解题策略 (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 [跟进训练] 2．(1)(2024福建福州期中)已知函数f (x)＝ 满足对于任意实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2) B．[1，2) C． D． √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 (2)设f (x)是定义在R上的增函数，且f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (－2)＞1的解集为____________． 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 (1)D　(2)　[(1)依题意，对于任意实数x1≠x2，都有<0成立，不妨设x1<x2， 则f (x1)－f (x2)>0，f (x1)>f (x2)， 所以f (x)在R上单调递减， 所以解得1a．故选D． (2)由已知条件可得f (x)＋f (－2)＝f (－2x)，又f (3)＝1．∴不等式f (x)＋f (－2)＞1可化为f (－2x)＞f (3)．∵f (x)是定义在R上的增函数， ∴－2x＞3，解得x＜－．∴不等式的解集为．] 【教用备选题】 (1)已知减函数f (x)的定义域是R，m，n都是实数．如果不等式f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立，那么下列不等式成立的是(　　) A．m－n<0 B．m－n>0 C．m＋n<0 D．m＋n>0 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 (2)(2024湖北武汉二模)已知函数f (x)＝x|x|，则关于x的不等式 f (2x)>f (1－x)的解集为(　　) A． B． C． D． √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 (1)A　(2)A　[(1)设F(x)＝f (x)－f (－x)， 由于f (x)是R上的减函数， ∴f (－x)是R上的增函数，－f (－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数， ∴当m<n时，有F(m)>F(n)， 即f (m)－f (－m)>f (n)－f (－n)成立． ∴当f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立时，不等式m－n<0一定成立，故选A． (2)由f (x)＝x＝故f (x)在R上单调递增，由f (2x)> f (1－x)，有2x>1－x，即x>． 故选A．] 考点三　求函数的值域或最值 [典例6]　已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1，2，3}＝3，若函数f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则f (x)的最小值为(　　) A．2.5 B．3 C．4 D．5 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 B　[在同一平面直角坐标系中画出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象， 因为f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}， 所以f (x)的图象如图所示， 由x＜0，可得A(－1，3)， 由x＞0，可得B， 由图知f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以f (x)的最小值为3．故选B．] 【教用备选题】 1．(2024湖南湘东名校期中)已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为(　　) A．0 B．±1 C．± D．±2 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 B　[函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，根据题意，当a＞0时，函数M(x)的图象如图所示， 由图象可知，在点A处取得最小值，为－， 故2x2－1＝－，解得x＝±， 由图象可知x＝－，将点代入g(x)＝ax得－a＝－，解得a＝1． 同理如果a＜0，则2x2－1＝－，解得x＝±，∴x＝，将点代入g(x)＝ax得a＝－，解得a＝－1．当a＝0时，M(x)的最小值为0，不符合题意．综上所述：a＝±1．故选B．] 2．若函数f (x)＝在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝________． 3　[因为函数f (x)＝＝2＋，由复合函数的单调性知，当m＞2时，f (x)＝在[0，1]上单调递减，最大值为f (0)＝m＝3；当m＜2时，f (x)＝在[0，1]上单调递增，最大值为f (1)＝＝3，即m＝4，与m＜2矛盾，舍去．故实数m＝3．] 3　 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 名师点评　求函数最值的五种常用方法 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 [跟进训练] 3．(1)函数y＝1＋x－的值域为(　　) A． B． C． D． (2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2．已知f (x)＝，x∈，则函数f (x)的值域为__________________． √ {4，5，6，7，8} 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 (1)B　(2){4，5，6，7，8}　[(1)法一：设＝t，则t0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2．因为t0，所以y． 所以函数y＝1＋x－的值域为． 法二：因为y＝1＋x－在定义域上单调递增，所以y＝1＋x－的值域为． (2)易知y＝x＋，x∈在上单调递减，在[2，6)上单调递增． 当x＝2时，y＝x＋＝4； 当x＝时，y＝x＋＝＋8； 当x＝6时，y＝x＋＝6＋， 所以y＝x＋∈，则函数f (x)的值域为{4，5，6，7，8}．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 一、单项选择题 1．(2023北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的 是(　　) A．f (x)＝－ln x B．f (x)＝ C．f (x)＝－ D．f (x)＝3|x-1| 13 课后作业(八)　函数的单调性与最值 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 C　[对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误； 对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误； 对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，C选项正确； 对于D，f (x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 2．函数f (x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A． B．－ 　　　 C．－2 D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ A　[函数f (x)＝－x＋在(－∞，0)上单调递减，则函数f (x)在上的最大值为f (－2)＝2－＝．故选A．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 3．(2025湖南长沙一中模拟)若函数f (x)＝4|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 B　[因为函数f (x)＝4|x－a|＋3在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 又函数f (x)在区间[1，＋∞)上不单调，所以a>1．故选B．] 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 4．(2025山东菏泽模拟)函数y＝的单调递增区间为(　　) A． B． C．和(1，＋∞) D．(－∞，－6)∪ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 C　[设t＝－x2－5x＋6，则有x≠－6且x≠1， 所以函数y＝的定义域为{x|x≠－6且x≠1}， 由二次函数的性质可知t的单调递增区间为(－∞，－6)，；单调递减区间为和(1，＋∞)； 又因为y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数y＝的单调递增区间为和(1，＋∞)．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5．(2025黑龙江大庆期末)已知函数f (x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，0) C．(－3，－2] D．[－3，－2] 13 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[因为函数f (x)＝ 是R上的增函数，所以解得－3a－2．故选D．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 6．已知函数y＝f (x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f (x)＋x是增函数 B．y＝f (x)＋x是减函数 C．y＝f (x)是增函数 D．y＝f (x)是减函数 13 √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[不妨令x1<x2，∴x1－x2<0， ∵>－1⇔f (x1)－f (x2)<－(x1－x2)⇔f (x1)＋x1<f (x2)＋x2， 令g(x)＝f (x)＋x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)＝f (x)＋x是增函数．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、多项选择题 7．已知函数f (x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　) A．当a＞0时，f (x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f (x)的值域为R 13 √ √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 BCD　[当a＞0时，f (x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，当x→ 0＋时，f (x)→－∞，故f (x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时， f (x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x＞0时，x＋2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋＝－－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．已知函数f (x)，∀x∈R，都有f (－2－x)＝f (x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下说法正确的是(　　) A．f (0)＞f (－3) B．∀x∈R，f (x)f (－1) C．f (a2－a＋1) D．若f (m)＜f (2)，则－4＜m＜2 13 √ √ 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 AB　[由函数f (x)满足f (－2－x)＝f (x)，可知函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称，又x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则函数f (x)在[－1，＋∞)上单调递减．对于选项A，因为|－3－(－1)|＞|0－(－1)|，所以f (0)＞f (－3)，故A正确；对于选项B，由已知可得f (x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，即f (x)max＝f (－1)，故B正确；对于选项C，a2－a＋1＝＋，又f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，所以f (a2－a＋1)f ，故C错误；对于选项D，若f (m)＜f (2)，则|m－(－1)|＞|2－(－1)|，则m＜－4或m＞2，故D错误．故选AB．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、填空题 9．若函数f (x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x－1)＜ f 的x的取值范围是________． 13 　[因为f (x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，由f (2x－1)＜ f 可得02x－1＜，解得x＜．] 　 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 10．已知函数f (x)＝则f (x)的最小值是________． 13 2－6　[因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x1时，f (x)min＝f (0)＝0．当x>1时，y＝x＋2，当且仅当x＝时，等号成立，此时f (x)min＝2－6．又2－6<0，所以f (x)min＝2－6．] 2－6　 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 四、解答题 11．已知函数f (x)＝(a＞0)． (1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时f (x)的单调性，并证明； (2)当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，试求a的值及x∈(0，＋∞)时f (x)的最小值． 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)f (x)在[1，＋∞)上单调递增，证明如下： a＝2时，f (x)＝x＋＋2， x1时，f ′(x)＝1－＞0， ∴函数f (x)在[1，＋∞)上单调递增． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)∵f (x)＝x＋＋2，∴f ′(x)＝1－． ∵当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，∴f ′(1)＝1－＝0，∴a＝1． ∵f (x)＝x＋＋2在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x＝1时，f (x)取最小值4． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．已知a，b∈R，记max{a，b}＝函数f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)． (1)写出f (x)的解析式，并求出f (x)的最小值； (2)若函数g(x)＝x2－kf (x)在(－∞，－1]上具有单调性，求实数k的取值范围． 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)因为|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3， 当x时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－30， 则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x＋1|＝x＋1； 当x＜时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3＜0， 则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x－2|＝2－x． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 所以f (x)＝故函数f (x)在上单调递减，在上单调递增， 所以函数f (x)的最小值为f ＝＋1＝． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)当x－1时，f (x)＝2－x，则g(x)＝x2－kf (x)＝x2＋kx－2k，因为函数g(x)在(－∞，－1]上具有单调性，且二次函数g(x)的图象开口向上，故函数g(x)在(－∞，－1]上只能单调递减，所以－－1，解得k2，因此，实数k的取值范围是(－∞，2]． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，且当x>0时，f (x)>－1． (1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4． 13 链接教材·夯基固本 典例精研·核心考点 课后作业 第2课时　函数的单调性与最值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1． 在R上任取x1，x2且x1>x2，则x1－x2>0， 所以f (x1－x2)>－1． 又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函数f (x)在R上是增函数． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5． 由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4得f (x2＋x＋1)>f (3)， 因为函数f (x)在R上是增函数， 所以x2＋x＋1>3， 解得x<－2或x>1， 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． 13 点拨：抽象函数证明单调性，利用定义法． 谢 谢！ 第2课时　函数的单调性与最值 $$