2025年辽宁省阜新高等专科学校单独招生考试《文化素质（数学）》复习参考题

阜新高等专科学校单独招生考试 《文化素质（数学）》 复习参考题 A 组题 一、单项选择题（请选出下列各题中最符合题意的一个答案，并将其字母填入答 题纸内） 1. 若集合 S = {−1,0,1}，则 ( ) A. 0 ∈ S B. 1 ∈ S C. 2 ∈ S 2. 若集合 S = {−1,0,1}，则 ( ) A. 2 ∈ S B. 1 ∈ S C. −1∈ S 3. 若集合 S = {a, b, c}，则 ( ) A. a ∈ S B. b ∈ S C. d ∈ S 4. 30o 弧度 ( ) A. π B. π C. 5. 90o = 弧度 ( ) A. π B. π C. 2π 6. 60o = 弧度 ( ) A. B. π C. 2π 7. 等差数列{an }中， a1 = 1 ， a2 = 4 则 a3 = ( ) A. 7 B. 8 C. 8. 等差数列{an }中 a1 = 2 ， a2 = 5 则 a4 = ( ) A. 7 B.11 C. 9 9. 等差数列{an }中， a1 = −5 ， a2 = −1 则 a3 = ( ) A. 3 B. 8 C. 10. sin 的值是 ( ) A. B. C. 11. 的值是 ( ) A. B. C. 12. cos 的值是 ( ) A. B. C. 13. log2 16 = ( ) A. 2 B. 3 C. 4 14. log3 27 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 15. log 3 81 = ( ) A. 2 B. 3 C. 4 16. 已知： sin α< 0 ， cosα > 0则角α 是 ( ) A. 第三象限角 B. 第二象限角 C. 第四象限角 17. 已知： sin α> 0 ， cosα < 0则角α 是 ( ) A. 第三象限角 B. 第二象限角 C. 第四象限角 18. 已知： tan α< 0 ， cosα > 0则角α 是 ( ) A. 第三象限角 B. 第二象限角 C. 第四象限角 19. 直线 y = −x −1的倾斜角为 ( ) A. 4 (兀) B. 3 (兀) C. 20. 直线 y = x + 5的倾斜角为 ( ) A. 4 (兀) B. 3 (兀) C. 6 (兀) 21、实数 2 与 18 的等差中项为 ( ) A . 10 B. ± 6 C . 6 22. 实数 2 与16 的等差中项为 ( ) A . 4 B. ± 4 C . 9 23、实数 4 与 16 的等比中项为 ( ) A . − 8 B. ± 8 C . 8 24. 实数 3 与 12 的等比中项为 ( ) A. 7.5 B. ± 6 C. 6 25. 已知正方体的边长是 4 ，则正方体的体积为 ( ) A. 64 B. 8 C. 27 26、已知正方体的边长是 3，则正方体的体积 ( ) A. 1 B. 8 C. 27 27. 已知角 A 为第一象限角 ， cosA = ，则sin A = ( ) A. B. C. 28. 已知角 A 为第二象限角，sin A = ，则 cosA = ( ) A. − B. − C. − 29. 不等式 x < 2 的解集是 ( ) A. {x − 2 < x < 2 } B. {xx > 2或x < −2 } C. {xx < 2 } 30. 不等式 x > 3的解集是 ( ) A. {xx < −3 } B. {xx > 3或x < −3 } C. {xx > 3 } 31. 下列函数为奇函数的是 ( ) A. y = x4 B. C. y = 4x + 5 32. 下列函数为奇函数的是 ( ) A. B. y = x3 C. y = 4x + 5 33. 设f ， 则f (1) = ( ) A. 2 B. 1 C. 34. 设 f 则 f ,) = ( ) A. 2 B. 1 C. 4 35. 下列函数为偶函数的是 ( ) A. y = 3x4 B. y = 7x C. y = 2x +1 36. 下列函数为偶函数的是 ( ) A. y = -x2 B. C. y = 2x +1 37. 设f ， 则f () = ( ) A. 2 B. 1 C. 38. 若角α 终边上一点P(−5,−12) ，则cosα 的值为 ( ) A. B. C. 39. 若角α 终边上一点P(12,−5) ，则 tan α 的值为 ( ) A. B. C. 40. 若角α 终边上一点P(−5,−12) ，则sin α 的值为 ( ) A. B. C. − 41. 若函数 则其定义域为 ( ) A. (− 2,+∞) B. [2,+∞) C. (−∞,2] 42. 若函数y = ·,则其定义域为 ( ) A. [−1,+∞) B. [1,+∞) C. (− ∞,1] 43. 4x2 − 12x + 9 ≤ 0 的解集是 ( ) B. ∅ C. R 44. 以下四个关系：φ ∈{0} ， 0 ∈ φ , φ {0} ，φ{0} ,其中正确个数是 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 45. 的值为 ( ) A S3 B C D 46. - 480°是 ( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 47. 函数 y = 4 – 3x , 当 y > 0 时，x 的取值范围是 ( ) A. x > 0 B. x < C. x > D. x < 0 48. 函数 y = x + x3 是 ( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶 D. 既是奇函数也是偶函数 49.直线 2x+y-5=0 和圆（x-1）2+（y+2）2 = 6 的位置关系是 ( ) A 相交 B 相切 C 相离 D 内含 50. 已知 y =3sin 的图像 C,为了得到 y=3sin 的图像， 只需把 C 上所有点 ( ) A 向左平移 个单位 B 向右平移 个单位 C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 51. 已知全集 U=R，A={x|x<2},则 CU A= ( ) A． {x|x≤2} B ． {x|x≥2} C． {x|x>2} D ．R 52．垂直于同一个平面的两条直线 ( ) A 相交 B 垂直 C 异面 D 平行 53. -520°是 ( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 54． 已知平面向量 a = (3,1) ， b = (x, −3) ，且a 丄 b ，则 x = ( ) A . −3 B . −1 C ． 1 D ． 3 55.圆柱的母线长为 5，底面半径为 2，则圆柱的轴截面的面积为( ) A 20 B 10 C 40 D 50 56 . 1+3+5+……+(2n+3)= ( ) A. (n + 2)2 B. n2 C. (n −1)2 D. (n +1)2 57.x2 - 4 = 0 是 x + 2 = 0 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 以上都不对 58. 若全集 U = ｛小于 5 的正整数｝，集合 M = {1, 2}，集合N = {2, 3}， 则 M U N 在 U 中的补集为 ( ) A、 {1,2,3} B、 {2,3} C、 {1,4} D、 {4} 59. 设命题甲：x . y = 0 ，命题乙：x = 0 ，则命题甲是命题乙的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要 60. 函数 f (x) = −4x2 在R 上是 ( ) A、减函数 B、增函数 C、偶函数 D、奇函数 61、两条直线 3x+4y=5 和 6x+8y=10 的位置关系式 ( ) A、相交 B、平行 C、重合 D、垂直 62. 若{an }是等比例数列，且a2 . a6 = 16 ，则 a4 = ( ) A、 4 B、-4 C、8 D、 ± 4 63. 若 a- = (2,−1)， b- = (x,2)，且 a- 丄 (a- + b-)，则 x = ( ) A、 − B、 C、 − D、 64. 设sin θ . tan θ > 0 ，则 ·1 − sin2 θ = ( ) A、 cosθ B、 − cosθ C、 ± cosθ D、 tan θ 65. 下列直线与 2x − 3y + 5 = 0 平行的是 ( ) A 、 4x − 6y − 5 = 0 B 、 3x − 2y − 4 = 0 C 、 2x + 3y − 4 = 0 D 、 4x + 6y + 5 = 0 66. 已知 log25 = m ， log23 = n ，则 2m+n = ( ) A、 5 B、8 C、 10 D、 15 67. 数列{an }为等差数列， a3 + a4 = 6 ，则 a1 + a6 = ( ) A、 12 B、 10 C、8 D、6 68. 已知圆心在点 C(1,−3)，半径为 2 的圆的标准方程是 ( ) A、 (x + 1)2 + (y − 3)2 = 2 B、 (x −1)2 + (y + 3)2 = 2 B、 (x + 1)2 + (y − 3)2 = 4 D、 (x −1)2 + (y + 3)2 = 4 69. 设函数 f (x) = x2 − ax + 3 ，且 f (3) = 6 ，则 f (x)的最小值是( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、4 70. 若平面α //平面 β , 直线m 平面α , 直线n 平面 β , 那么直线 m, n 的位置关系是 ( ) A、平行 B、异面 C、平行或异面 D、相交 71. 车上有 6 个座位，4 名乘客就座，则不同的坐法种数是( ) A、A6 (4) B、 64 C、 C6 (4) D、 46 72. 抛掷一颗骰子，掷出的点数为奇数或 2 的概率是 ( ) A、 B、 C、 D、 二、填空题 1. {a, b} ∩{a, c}= 2. {2,3} ∩ {2,4}= 3. 数列 2,5,8……的前五项和为 4. 数列 −1,2,5……的前五项和为 5. 函数 y = sin 的最小正周期是 6. 函数 y = cos 的最小正周期是 7、 函数 y = cos 的最小正周期是 8. 若log 2 x = 5，则 x = 9. 若log4 x = 2 ，则 x = 10.若log3 x = 2 ，则 x = 11. 已知： cotα = 3 ，则 12.已知： tanα = 2 ， 则 13. 已知： tanα = 2 ， 则 14.在0o ~ 360o 之间，与780o 角的终边相同的角是 15.在0o ~ 360 o 之间，与400 o角终边相同的角是 16.在0o ~ 360 o 之间，与800 o 角终边相同的角是 17.若复数 z= −3 + 5i ，则复数的虚部为 18.若复数 z = 12 + 3i ，则实部为 19.若复数 z1 = 3 + 6i ， z2 = −3 + 2i ， 则 z1 − z2 = 20.若复数z1 = 7 − 2i ， z2 = −3 + 5i ， 则 z1 + z2 = 21.若圆的标准方程为(x +1)2 + (y − 5)2 = 16 ，则直径为 22.若圆的标准方程为 x2 + y2 = 3 ，则直径为 23.若圆的标准方程为(x +1)2 + y 2 = 16 ，则圆面积为 24.数列 1 1 1 1 的第 n 项为 25.数列 , , , ,...... 的第 n 项为 26.数列 , , , ...... 的第 n 项为 27.函数 y = x2 + 4x − 5的图像与 y 轴的交点坐标是 28.函数 y = x2 + 4x − 5 的图像与 x 轴的交点坐标是 29. 已知 a > 0 ,b > 0, 则 30. 双曲线 的离心率为 31． 已知向量 a ， b 满足 = 4, 且 = 2 , 则 与 的夹角为 32． 圆 x2 + y2 − 2x − 2y +1 = 0 上的点到直线 x − y = 2 的距离最大值是 33.直线 ax + 2y – 1 = 0 与直线 2x -3y-1=0 垂直，则实数 a= 34. 用“充分条件”，“必要条件”或“充要条件”填空： x 是自然数是 x 是整数的 35. 已知椭圆的标准方程为 则它的焦点坐标为 36. 对某一次函数， 当 x=- 2 时，y=0，当 x=1 时，y=3，则这个一次 函数是 . 37. 一栋楼房有 4 个单元，甲乙两人住在此楼内，则甲乙两人同住一 个单元的概率为 . 38. 2cos2 的值为 39. 已知 a > 0, b > 0 ,则 40 ．有一种电子产品， 它可以正常使用的概率为 0.992 ，则它不能正 常使用的概率是 。 41. log4 8 + log4 2 − 42. 若{an }为等差数列，且a3 + a5 + a10 + a12 = 64 ，则 a7 + a8 = 43. 设a- = (− 9,−3) ， b- = (− 3,11)，则a- .b- = 44. 计算sin(−150o). cos(− 420o). tan 225o 的结果是 45 、 已 知 ΔABC 的 内 角 为 A、B、C ， 其 对 边 分 别 是 a、b、c ，且 b = 3, c = 2, A = 60o ，则 a = 46、 以点 A(−5,4) 为圆心，且与 x 轴相切的圆的标准方程是 47. 函数 f = −4 sin 的最大值是 48. sin15o . cos15o 的值是 49. 在空间通过直线外一点与这条直线垂直的直线有 条 50. 二项式 展开式中的第四项是 51. 从 3、4、 5、6、 7、8 六个数字中任取两个数，则取出的两个数 都是偶数的概率为 52. 直线 x+3y-6=0 与坐标轴围成的三角形的面积是 53. 集合 A={1,2} ,B={1,2,3} , C={2,3,4} ,则 (A ∩ B) ∪ C = 54. 已知 f(x)=x2 , 则 f(x+1) = 55. x2+4x+5 > 0 的解集是 56. 函数f(x) = √x 的单调区间是 三、解答题 1. 已知：设全集为实数集 R ，A = {x − 3 < x ≤ 5 }，B = {xx ≤ 3 }，C = {xx > −1} 求： A ∩ B ， A UB ， A ∩ B ∩ C 2. 已知：设全集为实数集 R ， A = {x 2 < x < 7 }， B = {xx > 3 }， C = {xx ≤ 4 } 求： A ∩ B ， A UB , A ∩ B ∩ C 3. 已知：等差数列 − 2 ， 2 ， 6 ， ....... 求：（1）通项公式an ； （2）公差 d ； （3）第 9 项 a9 ； （4）前 9 项的和s9 4. 已知：等比数列1 ， ， ， ， ...... 求：（1）通项公式an ； （2）公比q ； （3）第 9 项 a9 ； （4）前 6 项的和 S6 5. 已知：等差数列 − 3 ， 2 ， 7 ， ....... 求：（1）通项公式an ； （2）公差 d ； （3）第 8 项 a8 ； （4）前 8 项的和 S8 6. 已知：等比数列1 ， 3 ， 9 ， 27 ， ...... 求：（1）通项公式an ； （2）公比q ； （3）第 9 项 a9 ； （4）前 6 项的和 S6 7 ．求 y = 的定义域。 8. 已知等差数列 10,7,4， … ，-56 是不是这个数列的项？如果是， 是第几项？ 9. 计算： + log2 10. 已知球的大圆周长为 16πcm，求这个球的表面积 11. 两圆 x2+ y2 = 1 和（x+4）2+(y-a)2 = 25 相切，求常数 a 12. P 为圆 x2 + y2 = 1 上的动点，求点 P 到直线3x − 4y −10 = 0 的距离的 最小值 13． 求函数 的定义域是 14. 设 f 求 f (5) 的值 15. 已知 f ，判断 f 的奇偶性； 16. 已知向量 a (→) = (− 2,1) ， b (→) = (3,−4)，且a (→) = −1, 求 c (→) 的坐标 17. 已知椭圆过抛物线 y2 = 8x 的焦点 ，且与双曲线 − y2 = 1 有相同 的焦点，求椭圆的方程 18. 如图， A 是二面角α − l − β 内一点， AC 丄 α , C 是垂足； AB 丄 β , B 是垂足，求证： l 丄直线 BC 数学复习参考 A 组题参考答案 一、选择 1-5 ACACB 6-10 AABAA 11-15 BACBC 16-20 CBCCA 21-25 ACBBA 26-30 CBCAB 31-35 BBBCA 36-40 ABCBA 41-45 CAABC 46-50 CBAAD 51-55 BDCCA 56-60 ABDBC 61-65 CDCAA 66-70 DDDBC 71-72 AA 二、填空 1-5 {a} 40 25 6-10 π 4π 32 16 9 11-15 1 1 3 60 。 40。 2 8 学科网（北京）股份有限公司 16-20 80。 5 12 6 + 4i 4 + 3i 21-25 8 2 16π 26-30 (0,−5) (− 5,0), (1,0) 4 31-35 600 1+ 3 充分条件 (0,-3),(0,3) 36-40 y=x+2 2 0.008 41-45 1 32 -6 − √7 46-50 (x + 5)2 + (y − 4)2 = 16 4 无数 -160 51-55 6 {1,2,3,4} (x + 1)2 R 56 [0,+∞) 三、解答题 1. A ∩ B = {x − 3 < x ≤ 3 } A UB = {xx ≤ 5 } A ∩ B ∩ C = {x −1 < x ≤ 3 } 2. A ∩ B = {x 3 < x < 7 } A UB = {xx > 2 } A ∩ B ∩C = {x 3 < x ≤ 4 } 3. （1） an = a1 + (n −1)d = 4n − 6 （2） d = 4 （3）把 n = 9 代入（1）得a9 = 30 学科网（北京）股份有限公司 4. （1） 或 （2） （3）把 n = 9 代入（1） 得 5. （1） an = a1 + (n −1)d = 5n − 8 （2） d = 5 （3）把 n = 8 代入（1）得a8 = 32 6. （1） an = 3n−1 （2） q = 3 （3）把 n = 9 代入（1）得a9 = 38 = 6561 （4） = 364 得 即函数定义域 {x x ≥ −3且x ≠ 5} 8. '.' a1 = 10, d = 7 −10 = −3， :an = 10 + (n −1) × (−3) ， 即 an = −3n +13 ， 由 −56 = −3n +13 ， 得 n = 23 ， :−56是这个数列中的项，是第 23 项. 9. 原式 = − log2 5 = log2 5 − 2 − log2 5 = -2 10. 由 2πR = 16π得R = 8， :球的表面积为 4πR2 = 256π 11. 第一个圆圆心为（0,0），半径为 1， 第二个圆圆心为（-4，a，半径为 5， 由 = 5 +1 ，得a = ±2√ 12. '.' 圆心（0,0）到直线的距离， 得 :圆与直线相离 :P 到直线距离的最小值为 d-R=2-1=1 13. 由log 得 0 < 3x − 2 ≤1 ， 即 < x ≤1， : 定义域是 14. f (5) = f f (11) = f (9) = f f (15) = f (13) = 11 15. ， :f (x) 是偶函数 16. 设1解得 { , 所 17. 抛物线y2 = 8x 的焦点为(2,0)， 双曲线 − y2 = 1 的一个焦点为 所以设椭圆方程为 则a2 = 4， c2 = 3 , 所以b2 = 1 所以设椭圆方程为 + y2 = 1 18.证明： ( α β } ⇒ )AC ⊥ AB ⊥ AC ⊥ AB ⊥ l (l)} ⇒ l ⊥ 平面 ABC ⇒ l ⊥ 直线BC B 组题 专题一 集合与常用逻辑用语 方程与不等式 1 ． 已知全集U = {0，3，6，8，9} ，集合 A = {3，9}，则ðU A = ( ) A ． {0，6，8} B ． {3，9} C． {0，3，6，8，9} D. ⑦ 2.命题 p ： a = 1，命题 q ： (a −1)2 = 0 . p 是 q 的( ) A.充分且必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.命题 p ：α = 0 是命题 q ： sinα = 0 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. “ 2019k2 −1 = 1 ”是“ k = 1 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 5 ． “α = 45o ”是 “ sinα = ） A ．充要条件 B．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6. 已知 a，b为实数，则“a3 - b3 = 0 ”是“ a =b ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7 ． “ x2 >1”是“ x > 0 ”的（ ） A ．充分必要条件 B．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8.若 x ∈R ，下列不等式一定成立的是（ ） A. x < x B. 5 − x > 2 − x C. x2 > 0 D. 5 2 (x +1)2 > x2 + x +1 9. a 、 b 、 c 为实数，则下列各选项中正确的是（ ） A. a −b < 0 a −c < b −c B. a −b > 0 a > −b C. a −b > 0 −2a > −2b D. a > b > c > 0 ab > ac 10 ． 已知 a，b，c是实数，下列命题正确的是（ ） A ．若 a > b ，则 a2 > b2 B．若 a2 > b2 ，则 a > b C ．若 ac2 > bc2 ，则 a > b D ．若 a > b ，则 ac2 > bc2 11 ．若正数 a，b满足 ab = 20 ，则 a + 2b的最小值为 ． 12. 已知3x + y = 4 (x >0, y >0) ，则 xy 的最大值为 . 13 ． 已知 x > 0，y > 0 ，且 = 1 ，则 xy 的最大值为 . 专题二 函数 指数函数与对数函数 1.函数 f 的定义域为 ( ) A. [−2, +∞ ) B. (−2, +∞ ) C. [−2, −1) (−1, +∞ ) D. (−2, −1) (−1, +∞ ) 2.函数 f (x) = 1− x + lg x 的定义域为( ) A. (−∞,1] B. (0,1] C. [0,1] D. (0,1) 3.函数 f 的定义域为 ( ) A. (2, +∞ ) B. [2, +∞ ) C. (−∞, 2] [3, +∞ ) D. (2,3) (3, +∞ ) 4 ．函数 f 的定义域为 ( ) A ． [−1,0) (0,1] B． [−1,1] C． (0,1] D． (−∞, −1] [1, +∞) 5. 函数 的定义域为 ( ) A. (0,1] B. (0,1) C. [1, +? ) D. (0, +? ) 6 ．函数 y = 1 − x 的值域为( ) A ． [0, +∞) B ． [1, +∞) C． [0,1] D． (∞,1] 7.下列函数中，满足“在其定义域上任取 x1 ， x2 ，若 x1 < x2 ，则 f (x1 ) > f (x2 ) ”的函数 为( ) A. y = B. y = 3 − C. y = D. y = ln x 8.下列函数在区间 (0, +∞ )上单调递减的是( ) A. y = ex B. y = x2 C. y = D. y = ln x 9 ．函数 f 的最小值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10.函数 f(x) 的图像关于直线 x = 2 对称，对称轴左边部分图像 ( 如图，则 f ( x ) 在区间 上单调递减. A. [0, ] B. x C. [ , 4] D . [4, 6] ) ( -2 -1 O 1 3 2 2 ) 11 ．若函数 y = x2 + kx + 1的图像与x轴没有交点，则k的取值范围是( ) A ． (2, +∞) B ． (−∞, −2) C ． (−∞, −2) (2, +∞) D ． (−2, 2) 12.下列函数图像经过第一、二、三、四象限的是( ) A. f (x) = - x2 +3x - 2 B. f (x) = - x2 - 2x +3 C. f (x) = x2 +4x +6 D. f (x) = x2 - 4x +9 13 ． 己知二次函数 f (x) = ax2 + bx + c 的最小值为 f (1) ，则( ) 14 ．函数 y = ax , y = bx , y = logc x 在同一直角坐标系中的图像如图所示，则( ) A. a > b > c B． b > a > c C ． c > a > b D ． c > b > a 15．李老师每天采取“先慢跑、再慢走”的方式锻炼身体，慢跑和慢走都是匀速的，运动的 距离 s（米）关于时间 t（分钟） 的函数图像如图所示，他慢走的速度为( ) A ．55 米/分钟 B．57.5 米/分钟 C ．60 米/分钟 D ．67.5 米/分钟 16.某旅游景点有个人票和团队票两种售票方式，其中个人票要每人 80 元， 团队票（30 人 以上含 30 人）打七折.按照购票费用最少原则，建立实际游览人数 x 与购票费用y（元）的 函数关系， 以下正确的是( ) 18.设函数 = _____________. ( 〔 x 2 + 1, x < 2 )19 ． 已知函数 f (x) = { ，则 f [f (−2)] = lx + 3, x ≥ 2 20.函数 f = 2 ，则 a = 21.若 x <−1 ，则函数 = 2 − x − 的最小值为______. ( 22.函数 f ( x ) = 9 × 2 x − 1 + 2 3 − x 的最小值为 . 23.如图所示， 函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = 8 对称，则 f ( 6 ) f ( 13 ) （填“>”、“<”或“=”）. 24.正数 x 、 y 满足 lg x + lg y = 2 ，则 x + y 的最小值等于 . ) 25.计算： cos + ( − 3)0 + . ( · ( ) ) ( 2 − 5 ) ( π − 1 5 ) ( . )27.计算： sin − lg1000 + 0.25 2 ÷ 32 − 3!+ 2 28.计算： log6 3 + log6 12 + ln + 0!+ 29.计算： 4!- +e0 - 2log2 5 +lg - cos 30 ．计算： + 5!+ 20 − C + lne4 + cos 2τ . 31.当前，“共享单车”在某些城市发展较快.如果某公司要在某城市发展“共享单车”出租 自行车业务，设一辆自行车（即单车）按每小时 x 元（x ≥ 0.8 ）出租，所有自行车每天租 出的时间合计为 y （ y > 0）小时，经市场调查及试运营，得到如下数据（见表）： x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 y 1100 1000 900 800 700 （1）观察以上数据，在我们所学的一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数中回答：y 是 x 的什么函数？并求出此函数解析式； （2）若不考虑其它因素， x 为多少时，公司每天收入最大？ 32. 电影《流浪地球》上映期 间， 一场电影的票价定为 50 元时， 电影院满座， 满座时可容纳 600 人.若票价每提高 5x (x ∈ N) 元，售出票数就减少 30x 张. （1）若票价为 60 元，求实际售出的电影票数； （2）写出一场电影的票房收入 R （元） 与 x 的函数关系式； （3）已知放映一场电影所需的总成本为 600(20 − x)元，若不考虑其他因素，票价定为多 少时， 电影院能获得最大利润？ 专题三 数列 1. 已知数列： ， − ， ， − ， ，…，按此规律第 7 项为（ ） A. B. D. − 2.在等差数列{an } 中， a1 + a2 + a3 = 5 ， a2 + a3 + a4 = 11 ，则公差 d 为( ) A.6 B.3 C.1 D.2 3 ．设数列 {an } 的前 n项和为 Sn ．若 a1 = 1, Sn+1 = 2an − 1(n ∈ N* )，则 a3 = ( ) A . −2 B. −1 C ．1 D．2 4. 已知实数 a >b >0 ，若 P为 a与 b的等差中项，G为 a与 b的等比中项，则( ) A. P <G B. P >G C. P £ G D. P 3 G 5 ． 已知数列 {an } 满足 a1 = 3, an−1 = ，则 a2024 ( ) 2 1 3 A ．3 B． C . − D . 3 2 2 6.设数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 = 1 ， an+1 = 2Sn（n ∈ N* ），则 S4 = . 7.在等比数列{an } 中， an > 0 ， a1 . a3 = 4 ，则 log2 a2 = . 8.等比数列 ， 1，4，16，…的第 5 项是 . 9 ．若 x − 1, x + 1, 2x + 4 成等差数列，则x = . 10.若等差数列{an } 的前 n项和 Sn = n2 - 2n ，则 a2024 = . 11 ．等差数列 −3 ， 1，5，…的第 6 项为 . 12.等差数列{an } 中， a2 = 13 ， a4 = 9 . （1）求 a1 及公差 d ； （2）当 n 为多少时，前 n 项和 Sn 开始为负？ 13.体育场北区观众席共有 10500 个座位.观众席座位编排方式如图所示，由内而外依次记为 第 1 排、第 2 排、 …….从第 2 排起，每一排比它前一排多 10 个座位，且最后一排有 600 个座位. （1）北区观众席共有多少排？ （2）现对本区前 5 排的座位进行升级改造，改造后各排座位数组成数列{bn } . {bn }满足： ① b1 等于原第 1 排座位数的一半；②bn = bn−1 + n2 (n = 2,3, 4,5) . 求第 5 排的座位数. 14 ． 已知数列 {an }, {bn }满足如下条件： {an } 为等差数列，公差 d > 0 ， {bn } 为等比数列； a1 = b1 = 1, a2b2 = 8, a3b3 = 28 . （1）数列 {an }, {bn } 的通项公式；（6 分） （2）数列 {anbn } 的前 n项和 Sn ．（4 分 专题四 平面向量 1.在△ABC 中，向量表达式正确的是( A. AB + BC = CA ) B. AB − CA = BC D. AB + BC + CA = 0 2.如图所示，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 则 OA+ OC + OE = ( ) A. AE B. EA C. 0 D.0 3. 已知平行四边形 ABCD ，则向量 AB + BC = ( ) A. BD B. DB C. AC D. CA 4．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，则| AB + BC + CD + DA+ AC + BD |= ( ) A ．0 B． 2 C．2 D． 2 2 5.正三角形 ABC的边长为 1，E为 BC边上动点，则AB +BE 的最小值为( ) A. 1 B. C. D. 6 ． 己知点 A(1, 2), B(4,1) ，则 2AB = ( ) A ． (2, −3) B． (−6, 2) C． (10, 6) D ． (6, −2) 7.已知 A(1,1) 、 B (3, 2) 、 C (5,3) ，若 AB = λCA，则 λ为 . 专题五 三角函数 1.角 2017°是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2. 已知函数 = 2sin x +cos x ，则 ） A. 6 B. 2 3 C. 2 2 D. 2 6 3.若 cos 2018o = m ，则 cos (−38o) = ( ) A. · C. m D. −m 4. sin1050o 的值为( ) A. D. 5.若角α 的终边经过点(4, −3)，则 cos 2α的值为( ) A. 6 ． 2020o角的终边在( ) A ．第一象限 B．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7. 角a 与角 2021°的终边相同，且 0 °<a < 360°, 则a = ( ) A. 121 ° B. 141 ° C. 221 ° D. 241 ° 8.若 sin (θ −π). tan (π +θ)< 0 ，则θ所在象限为( ) A.第二或第三象限 B.第一或第四象限 C.第三或第四象限 D.第一或第二象限 9 ． 已知角α 的终边经过点 ，则 cos 的值是 ( ) A . − B ． C． D. 10. 函数 y = 2sin 的图象是 ( ) ( B. )A. ( C. )D. 11.下列函数以π 为周期的是( ) A. y = sin B. y = 2cos x C. y = sin x D. y = sin 2x 12 ． 函数 y = sin x cos x 的最小正周期为( ) A ． B . τ C． 2τ D ．1 13.正弦曲线 y =sin x 与直线在区间 (-p, 2p ) 内的交点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14 ．函数 f (x) = 2sin x cos x 在[0, 2τ] 上的图像是( ) A. B. C. D. 15.函数 y = sin 2x 的图像如何平移得到函数 y = sin 的图像 ( ) A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 16.函数 y = sin x cos x +cos 2x 的最小值和最小正周期分别为( ) A.1，π B.-1，π C.1， 2π D.-1， 2π 17. 已知 sin ，则 cosq = ( ) A. 或 - B. C. D. 或 - 7 ( π) ( 25 ( 2 , )18. 已知 cos 2α = ，α ∈ |0, ，则 tanα = . 19. 已知 sin ，则 cos 2α = ______. 20. 化简： cos (π +θ)tan (π −θ) = . 21.如图，点 C 在 y = Asin y 图像上，函数的最小正周期为 . ( C O D x 22 ．函数 y = 4sin( x + τ) + cos(τ − x ) 的 最大值为 . ) 23 ．函数 f sin 3x + cos3x + 6的最小值为 . 24.如图所示，点 P(4,3)是角α 终边上一点，令点 P 与原点的距离保持不变，并绕原点顺 时针旋转 45°到 P’ 的位置，求： （1） sinα , cosα; （2）点 P’(x’, y’) 的坐标.（5 分） 25.如图平行四边形 ABCD 中， AB = 3 ， AD = 2 ， AC = 4 . （1）求 cos 上ABC ； （2）求平行四边形 ABCD 的面积. 26.在△ABC 中， sin A = ， cos B = . （1）求 sin B ，并判断 A 是锐角还是钝角； （2）求 cos C . 27.在△ABC 中， 上A = 45O ， b = 2 ， c = 6 ，求： （1）三角形的面积 S△ABC ； （2）判断△ABC 是锐角、直角还是钝角三角形. 28.在△ABC 中， 上B = 上C = 30O ， a = 2 . （1）求c； （2） N 为 AC 中点时，求△ABN的面积. 29. 已知α 、 β 为第二象限角，且满足 sinα = ， sin β = （1） cos (α − β)； （2）函数 f (x) = cosαcos x + cos βsin x 的最大值. 30．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 上A = 60O, a = 2 3, b = 2 2 . （1）求上B 的大小； （2）求边长 c. 31 ． 已知α 为锐角，且 cosα = （1）求sinα, tanα; 求sin . 32.在△ABC 中，已知a2 +c2 - b2 = - ac . （1）求∠B；（4 分） （2）设△ABC为等腰三角形，且 SDABC = 4 3 ，求 b.（4 分） 33. 已知 tanq = ， cosq <0 . （1）求sin 2q ； 求 cos . 34 ． 已知α∈ , 且 tan 2α = （1） tanα ; （2） cos4 α− sin4 α . 35．如图所示，在△ABC 中，D为 BC边上的一点，已知 AB = 3，AC = 6 ，上BAC = 120O ， 上BAD = 90O . （1）BC 的长；（4 分） （2） △ADC 的面积 ．（5 分） 专题六 解析几何 1.直线 y = − 的倾斜角为 ( ) A. 30 ° B. 60 ° C. 120 ° D. 150 ° 2.直线l1 ： x + 2y +1 = 0与直线l2 ： x − y + 3 = 0的位置关系是 ( ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.非垂直相交 3.过原点且与直线 x − 2y −1 = 0 垂直的直线方程为( ) A. 2x + y = 0 B. 2x − y = 0 C. x + 2y = 0 D. x − 2y = 0 4.点 P(1, −1) 关于原点的对称点的坐标为( ) A. (−1, −1) B. (1, −1) C. (−1,1) D. (1,1) 5. 已知直线的倾斜角为 60。，则此直线的斜率为( ) B. − C. 6. 已知两直线l1 、 l2 分别平行于平面 β ,则两直线l1 、 l2 的位置关系为( ) A.平行 B.相交 C.异面 D. 以上情况都有可能 7.动点 M 在 y 轴上，当它与两定点 E(4,10) 、 F (−2,1)在同一条直线上时，点 M 的坐标 是( ) A. (0, 6) B. (0, 5) C. (0, 4) D. (0, 3) 8 ．直线 x = 3 的倾斜角为( ) A ． 0o B ． 30o C ． 60o D． 90o 9 ． 已知点 A(3, −4), B(7,6) ，则线段 AB 的中点坐标为( ) A ． (5,1) B． (2,5) C ． (10, 2) D． (4,10) 10.直线 y = - x - 的倾斜角为 ( ) A. - 45 ° B. 45 ° C. 135 ° D. - 135 ° 11.点 A(2, −1)关于点 B(1,3) 为中心的对称点坐标是 . 12.过点 A(3, −2) 和 B(−1, 2) 的直线的斜率为 . 13 ． 己知点 A(1, −5), B(7, −1) ，若动点 P(t, 0) 使得 上APB > 90o，则实数 t 的取值范围 为 . 14.双曲线 的两条渐近线方程为 . 15.双曲线 的离心率 则实半轴长 a = . 16. 已知椭圆中心在原点且对称轴为坐标轴，它与双曲线 有且仅有两个公共点， 它们的离心率之积为 1，则椭圆标准方程为 . 17 ． 已 知 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 . 18. O 是原点， F(4, 0) 为椭圆的右焦点，M是椭圆上的点，若△OMF是正三角形，则椭圆长轴长 为 . 19.过点 (−1,3) 的直线 l 被圆 O： x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0 截得弦长为 8. （1）求该圆的圆心及半径； （2）求直线 l 的方程. 20. 已知圆 C 的圆心为(−1,1) ，半径为 ·2 . （1）写出圆 C 的标准方程； （2）试判断直线 x + y −1 = 0 与圆 C 的位置关系；若相交，求出两交点间的距离. 21 ． 已知圆 M 的圆心为 (4, −2) ，半径为 6，直线 l1 : x + y − 2 = 0 . （1）写出圆 M的标准方程； （2）直线 l2 与 l1 平行，且截圆 M 的弦长为 4，求直线l2 的方程. 22. 已知圆心为 (0, 2) 的圆与直线x - y - 4 = 0 相切. （1）求圆的标准方程； （2）求 x 轴被圆所截得的弦长. 23 ．直线 x + y +1 = 0 交 x轴于点 C， 以点 C为圆心，作过点 M(2, 4) 的圆 . （1）求圆 C 的标准方程； （2）直线 x − y + 5 = 0 与圆相交于 A，B两点，求弦长| AB | . 24. 已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为 F(3, 0) . （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线上点 M 到焦点的距离为 4，求点 M 的坐标. 25 ．椭圆 的焦距为 2 ，离心率 ，过点 的直线与椭 圆交于 A，B两点，且线段 AB的中点坐标为 求（1）椭圆的标准方程； （2） y0 的值. 专题七 立体几何 1. 已知圆锥底面半径为 4，侧面面积为 60，则母线长为( ) 15 15 15 A. B. 2 C. D. 2 2τ τ 2．如图所示，在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，异面直线 BD1 和 CD所成角的正弦值为( ) A ．1 B. C. ·3 3 D. ·6 3 3.如图在正方体 ABCD − A,B,C,D, 中，下列结论错误的是( ) A. A,C 丄 平面 DBC, B.平面 AB,D, Ⅱ平面 BDC, C. BC, 丄 AB, D.平面 AB,D, 丄 平面 A,AC 4.下列命题正确的是( ) A.垂直于同一平面的两个平面垂直 B.垂直于同一平面的两条直线垂直 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 5 ．下列叙述中，错误的是( ) . . A ．平行于同一个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C ．垂直于同一条直线的两个平面平行 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 6. 已知 l是直线， a ， b 是两个不同的平面，下列命题 正确的是( ) A. 若a//b ， l//a ，则 l//b B. 若a ^ b ， l ^ a ，则l//b C. 若l ^ a ， l ^ b ，则a//b D. 若l//a ， l//b ，则a//b 7 ．如图所示，某几何体由正四棱锥和正方体构成，正四棱锥侧棱长为 正方体棱长为 1，则 PB = . 8.如图所示，相传这个图形表达了古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱内切一 个球，球的直径与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比等于圆柱的全面积与球的全 面积之比，这个比值为 . _____________ 9.圆柱的轴截面是边长为 3 的正方形，则圆柱的体积等于 . 10. 直角边长为 1 的等腰直角三角形， 以斜边为旋转轴， 旋转一周所得几何体的体积 为 . 11.一个玻璃容器盛有一部分水，其内部形状是底面半径为 6cm 的圆柱,将一个实心玻璃球 放入该容器中，球完全沉没在水里，此时玻璃容器中的水位上升了 1cm （水没有外溢），则 球的半径为 cm . 12．如图所示，正方体 ABCD − ABCD 的棱长为 6，点 M在棱 DD 上，且 D联 结 MB, MA , MB , MC , A C ． （1）求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值； （2）求三棱锥 M − ABC 的体积 . 13.如图 PC 丄 平面 ABC ， AC = BC = 2 ， PC = 3 ， 上BCA = 120O . （1）求二面角 P − AB − C 的大小； （2）求椎体 P − ABC 的体积. 14.如图所示，圆锥 SO 的母线 SA = SC = 底面半径为 2cm，△OAC 为正三角形， 求： （1） 圆锥 SO 的侧面积与体积；（4 分） （2）二面角 S − AC − O 的大小.（5 分） 15.如图，正三棱锥 P − ABC 的侧棱长为 2 3 ，底面边长为 4. （1）求正三棱锥 P − ABC 的全面积； （2）线段 PA 、 AB 、 AC 的中点分别为 D 、 E 、 F ，求二面角 D − EF − A 的余弦值. 16.如图，正四棱柱 ABCD-A’B’C’D’, AB =1 ，AA’=2， C ( B ) ( D )（1）求二面角 A’-DC-A 的平面角的正切值； ( C ) ( A ) （2）求四棱锥 A’ –BC C’B’的体积. ( B )D A ( 中，分别沿相邻三个面的对角 )17．如图（1）所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 线截去三个三棱锥 A1 − AB1D1 , B − ACB1 和 C1 − CD1B1 ，得到如图（2）所示的儿何体. （1） 求 图（2）所示几何体的体积 V；（4 分） （2） 求二面角 D1 − AC − D 的平面角的余弦值 ．（5 分） 专题八 概率与统计 1.某商场准备了 5 份不同礼品全部放入 4 个不同彩蛋中，每个彩蛋至少有一份礼品的放法有 ( ) A. 480 种 B. 240 种 C. 180 种 D. 144 种 2.用 0， 1，2，3 四个数字可组成没有重复数字的三位数共有( ) A.64 个 B.48 个 C.24 个 D.18 个 3.本学期学校共开设了 20 门不同的选修课，学生从中任选 2 门，则不同选法的总数是( ) A.400 B.380 C.190 D.40 4 ．从 2 名医生、4 名护士中，选出 1 名医生和 2 名护士组成三人医疗小组，选派的种数是 ( ) A ．8 B．12 C．20 D．24 5. 从 5 位老师中任意选出 3 位参加志愿者活动，不同的选法共有( ) A. 5 种 B. 10 种 C. 15 种 D. 20 种 6 ．从 5 位候选人中选 2 位，分别担任班长和团支部书记，不同选法的种数为( ) A ．7 B．9 C．10 D．20 7.二项式(1− x)n (n ≥ 2, n ∈N* )展开式中含 x2 项的系数为( ) A. Cn (2) B. −Cn (2) C. Cn (1) D. −Cn (1) 8.掷两枚骰子（六面分别标有 1 至 6 的点数）一次，掷处点数和小于 5 的概率为( ) 1 1 1 5 A. B. C. D. 6 8 9 18 9.袋中装有 5 个红球，3 个白球，一次摸出两个球，恰好都是白球的概率是( ) 3 2 3 3 A. B. C. D. 14 3 28 56 10. 已知 100 张奖券中共有 2 张一等奖、5 张二等奖、 10 张三等奖，现从中任取一张， 中奖 概率是( ) A. D. 11 ．抛掷二枚骰子，“落点数之和为 9”的概率是( ) A ． B ． C． D. 12.三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，每个盒子都有乒乓球的概率为( ) A. B. C. D. 数学复习参考 B 组题参考答案 专题一 集合与常用逻辑用语 方程与不等式 1-10 AAABB CDBAC 11. 4 10 12. 4/3 13. 5 专题二 函数 指数函数与对数函数 1-16 CBDAB ABCCC DBBAC B 17.-1 18.1 19.8 20. 2 21.52 22.12 23. ＞ 24.20 25.原式 = 0 +1+ 3 − 2 + 4 = 6 26. 27. 原式 = 1− 3+ 2 ÷ 2 − 6 + 5 = −2 . 29. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 , 6√64= 3√8=2 , e 0=1 , 2log25 = 5 , lg = lg10−1 = −1 4!− + e0 − 2log25 + lg − cos = 24 − 2 +1− 5 + (−1) − 0 = 17 30. 原式 = 25 +120 +1−1+ 4 +1 = 150 . 31. （1） y 与 x 成线性关系，所以 y 是 x 的一次函数.设函数解析式为 y = kx + b ，取两对 数据代入得： 1000 = k + b 900 = 1.1k + b ,解得， ( k =− 1000 )考虑到 y > 0知x < 2 ，所以函数解析式为： b = 2000 ， y = − 1000x + 2000（ 0.8 ≤ x < 2 ） （2）每天收入 S = y . x = (−1000x + 2000)x 即 , S = − 1000x2 + 2000x = − 1000 (x −1)2 +1000 当 x = 1（ 0.8 ≤ x < 2 ）时， S 最大. , 所以，每小时 1 元出租时公司每天收入最大. 32.（1） 50 + 5x = 60 ， x = 2 ， 600 − 30× 2 = 540 张，票价为 60 元时，实际售出 540 张 电影票. （2）由已知得 R = (50 + 5x)(600 − 30x) = − 150x2 +1500x + 3×104 . 由 600 − 30x ≥ 0 且 x ≥ 0 ， x ∈ N ， 得 0 ≤ x ≤ 20 ， x ∈ N ， 函 数 关 系 式 为 R = − 150x2 +1500x + 3×104 (0 ≤ x ≤ 20, x ∈ N) . （3）建立利润函数 L = − 150x2 +1500x + 3×104 − 600(20 − x) = − 150x2 + 2100x +18000(0 ≤ x ≤ 20, x ∈N) . 易知当 即票价为 85 元时利润最大. 专题三 数列 1-5 BDABB 6.27 7.1 8.64 9.-1 10.4047 11.17 12. （1） a1 + d = 13 a1 + 3d = 9 d =−2 ,得 a1 = 15 Sn = na1 + d = 15n+ = −n2 +16n ，由题设得：n < 0 或n >16 所以当 n = 17 时， Sn 的值开始为负 13.（1） a1 为第一排座位数， an = 600 为最后一排座位数，公差 d = 10 ，所以 , ( 〔 a = 400 〔 a = − 390 )解得 { 1 或 { 1 （舍去）.故体育场北区观众席共有 21 排. ln = 21 ln = 100 （2）由已知得b1 = 200 ，又bn = bn−1 + n2 (n = 2,3, 4,5) , 所以b2 = 204 ， b3 = 213 ， b4 = 229 ， b5 = 254 ， 即第 5 排有 254 个座位. 14. （1） 解得 d =− （舍） 或 d = 3 ， q = 2 ．所以 an = 3n − 2 ， , bn = 2n−1 . （2） Sn = 1× 2n + 4× 21 + 7× 22 + + (3n − 5) . 2n2 + (3n − 2) . 2n−1 ， :2Sn = 1× 21 + 4× 22 + 7× 23 + + (3n − 5) . 2n−1 + (3n − 2) . 2n ， = (3n − 5)2n + 5 专题四 平面向量 1-6 CCCCC D 7. -1/2 专题五 三角函数 1-17 CADCA CCBAA DBDBA BA 18. 3/4 19. 20. sinθ 21. 22. ·i17 23. 4 24 25. （1）在△ABC 中，由余弦定理得 cos 上ABC = , , 26. 在△ABC 中，0O < B <180O，所以 sin B = ，所以 sin A < sin B . 由正弦定理知即 a < b ， 由大边对大角知 A< B ， （2） 由（1）知 A 是锐角，所以 cosA = ( 4 5 3 12 16 )cosC = cos180O − (A+ B) = − cos (A+ B) = − cosAcos B +sin Asin B = − 5 × 13 + 5 × 13 = 65 27. 28. （1） 由已知得 上A = 120O ， 由正弦定理得 ， 即 ， c = 2 . （ 2 ） 由 已 知 得 S△ABN = S△ABC ， S△ABC = acsin 30O = 29. （1） 由已知得cosα =− , cos β =− , cos (α− β) = cosαβ+sinα （2） cos x − sin x = . 函数 f 最大值为 . ( 30. （1） 由正弦定理 = ，得 = ．所以， sin B = . )a b 2 3 2 2 2 sin A sin B sin 60o sin B 2 ∵ 上B 是三角形的内角， ∴上B = 45o或135o ．又 b< a ，∴ 上B < 上A，∴ 上B = 45o . （2 ）由余弦定理，得 (2 3)2 = (2 2)2 + c2 − 2 ×2 2 ×c ×cos60o ． 化 简 整 理 ， 得 c2 − 2 2c − 4 = 0 . ∵ c > 0 ，∴ c = 6 + 2 . 31.（1）∵α 为锐角，∴ sinα> 0 ∴ sinα = . ∴ tanα = 32. 解：（1）由余弦定理： cosB = ，又 B ∈ 故 B = π （2） ΔABC 为等腰三角形，又 B = π 故 a=c（若 a=b 或 c=b ，则 A=B 或 C=B 不成立） , 则 a2 = 16a = c = 4 , 由余弦定理： 33. 由 tanθ = , cosθ < 0, :sinθ = − , cosθ = − （1） :sin 2θ = 2sinθcosθ = 2 × （2） cos(+θ) = coscosθ − sin sin θ = cosθ − sin θ = × (− ) − × (− ) 34. （1）tan 2α = = 4 ，2 tan2 α+ 3tanα− 2 = 0 ，tanα = 1 或 tanα =−2 . 1− tan α 3 2 因为 所以 tanα = . 由 cos2 2α+ sin2 2α = 1 得 1+ tan2 2α = ， ， 因为 且 tan 2α = 所以 2α∈ 0, ,) , cos 2α = ， :cos4 α− sin4 α = (cos2 α − sin2 α)(cos2 α+ sin2 α) = cos 2α = . 35. （1） 由余弦定理得 BC2 = AB2 + AC2 − 2AB . AC . cos 上BAC = 32 + 62 − 2×3×6×cos120o = 63 ，所以 BC = 3 . （2） 由正弦定理得 ， 即 又 '.' 上ABC 是锐角， :cos 上ABC = :tan 上ABC = 所以 AD = AB × tan 上ABC = . :△ADC 的面积为AD× AC ×sin 上DAC = × 6×sin 30o = 专题六 解析几何 1-10 CDACC DCDAC 11. (0, 7) 12. -1 13. 14. y = ± 15. 2 16. x2 + + x2 = 1 17. 18. 4 +4 19.（1）化 x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0 为(x − 2)2 + (y −1)2 = 25 所以圆心坐标为 (2,1) ， , 半径为 r = 5 （2）当 l 的斜率存在时，设其斜率为 k ，l 的方程为：y − 3 = k (x +1)，即 kx − y + k + 3 = 0 由已知圆心 O 到 l 的距离 点到直线距离公式得 , 得 , 当 l 的斜率不存在时也符合条件，此时直线方程为 x =− 1 .综上所述符合条件的l 的方程为： x = −1 或 y − 3 = ， 即： x +1 = 0 或 5x −12y + 41 = 0 20. （1） 由已知得圆 C 的标准方程为(x +1)2 + (y −1)2 = 2 . ( r = · , 所以 d < r ，直线和圆相交； ) ( 又因为 )（2） 圆心到直线的距离 ( 2 ( ( | 2 2 , ) 2 ) ( ( ) ) ( 设交点为 A 、 ) ( B ，则 ) ( AB = 2 2 − = 6 )AB = 2 r2 − d2 ， 21. （1）所求圆的标准方程为 (x − 4)2 + (y + 2)2 = 36 . （2）∵ l2 ∥l1 ，∴可设 l2 的方程为 x + y + c = 0 . 又∵ l2 截圆 M的弦长为 4， ∴圆心到直线 l2 的距离 d = 62 − 22 = 4 2 . . 解得 c = 6 或c = −10 . ∴l2 的方程为 x + y + 6 = 0 或 x + y −10 = 0 22. （1） :圆心为（0 ，2）∴设圆为 (x − 0)2 + (y − 2)2 = r2 : 圆心与 l 相切∴圆心到 l 的距离 d=r = r ， ∴ r2 = 18 ， 即 x2 + 2 = 18 弦长= 2 23.（1）在 x + y +1 = 0 中，令 y = 0 ，得 x =− 1 ，所以点 C 的坐标为 (−1, 0) ，圆的半径 r =| MC |= = 5 ， ∴圆 C 的标准方程为 (x +1)2 + y2 = 25 . （2） 圆心C(−1, 0) 到直线 x − y + 5 = 0 的距离 : 弦长 | AB |= 2 24. （1） 因为焦点为(3, 0)，所以 p = 6 ，故抛物线标准方程为 y2 = 12x . （2）设 M (x0, y0 ) ，则 ( 2 p )y0 = 12x0 ， 由已知得 x0 > 0 ， x0 + 2 = 4 ， x0 = 1 ， y0 =±2 3 . 所以 M(1, 2 )或 M(1, −2 ) 由已知得 2c = 2 ， :a = , b = 1 . ∴所求椭圆的标准方 程为 + y2 = 1 . （2）设直线 AB的方程为 ， 由 得 (1+ 3k2 )x2 +12k2x +12k2 − 3 = 0. ① , 设 A， B 两 点 的 坐 标 分 别 为 (x1, y1 ), (x2, y2 ) ，则 x1 , x2 是 方 程 ① 的 两 个 根 ， 所 以 又 '.' 线段 AB的中点坐标为 = −1 ，解得 k =± . 当 k = 时， y0 = × |(( − + 2), = ，当 k =− 时， y0 = − 专题七 立体几何 1-6 DDCDA C 7. 11 8. 3:2 9. 27π 10. 11. 3 ( 2 4 )6 12. （1）∵正方体棱长为 MD ，∴ D = 2, MD = 4 ．联结 DB . ∵ MD 丄 平面 ABCD ，∴ 上MBD 就是直线 BM 与平面 ABCD 所成的角 ． 在 Rt△MBD 中， （ 2 ） MD/ 丄 平面 A/B/C/D/ ，三棱锥 M − A/B/C/ 的体积 VM −A/B/C/ = × MD/ × S△A/B/C/ ( , )13. （1）取 AB 的中点，连结 PD 、 CD AC = BC ， D 是 AB 中点，所以 CD 丄 AB . 又 PC 丄 面 ABC ，所以 PD 丄 AB .所以 上PDC 是二面角 P − AB − C 的平面角. 由已知得 上BCD = 60O ， 又在 Rt△BCD 中 ， BC = 2 ， 所以 CD = 2cos 上BCD = 2 × 在 , Rt△PCD 中 ， 上PCD = 90O ， CD = 1 ， PC = 所 以 tan 上PDC = ， 上PDC = 60O 在 Rt△BCD 中 ， BD = BC .sin 上BCD = 2 × 所 以 AB = 2 ， 14. 15. （1） 由已知得 × 4× 4×sin 60o = 4 ， 即 BC 中点 G ，联结 PG ，则斜高 （2）联结 AG ，AG EF = H ，联结 DH ，由已知得 G, BC 丄 PG→ EF 丄 AH ， EF 丄 DH ，所以 上DHA 是二面角 D − EF − A 的平面角 . 由已知得 PG//DH ，故 上DHA= 上PGA .在 △PGA 中 ， 易知 PG = 2 ， AG = 2 ， AP = 2 由余弦定 所以 cos 上DHA = cos 上PGA = 16. 解： ∵是正四棱柱 ∴ABCD 是正方形 且 A’A 丄 面ABCD （1）易知 CD 丄 面AA’D’D, A’D 面AA’D’D 所以 A’D 丄 CD ， 又知 AD 丄 CD 所以 上ADA’ 即所求二面角 在 RtΔA’DA 中， tan 上A’DA = （2）易知 A’B’ 丄 面BCC’B’ ,所以 A’B ’ 即为高，则VA’−BCC× 2×1×1 = （正棱柱：底面是正多边形的直棱柱） 17. （ 1 ） V正方体=1×1×1 = 1 ， VA1 − AB1 = VB−ACB1 = VC1 −C × l× l× l = 所以 （2）在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，取 AC中点 E，连接 DE，D1E ，则 D1E 丄 AC, DE 丄 AC ， 所 以 上D1ED 即 为 二 面 角 D1 − AC − D 的 平 面 角 ， 在 Rt△D1ED 中 ， 上D1DE = 90o, DD1 = 1, DE = , D1E = 所以 cos 上D1ED = 即二面角 D1 − AC − D 的平面角的余弦值为 2 专题八 概率与统计 1-12 BDCBB DAACD DD $$