专题1.5 空间向量法求空间中的位置关系（7类必考点）-2025-2026学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.5 空间向量法求空间中的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：求平面的法向量】 2 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 9 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 12 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 19 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 24 【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 32 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 39 【知识梳理】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 2． 空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则，使得； (2)线面平行的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. (3)面面平行的向量表示：设分别是直线与的法向量，则，使得. 3．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则. (2)线面垂直的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. (3)面面垂直的向量表示：设分别是直线与的法向量，则. 【考点1：求平面的法向量】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用法向量的定义、求法进行计算即可. 【详解】显然与不平行，设该平面的一个法向量为， 则有，即， 令，得，所以，故A,B错误，C正确； 令，得，则此时法向量为，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 4．（2025·湖北武汉·三模）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要是平面的一个法向量，则要与平面的两不共线的向量垂直，两向量垂直即数量积为零，再根据数量积的运算验证即可. 【详解】如下图所示： 在平行六面体中，，．设，，， 所以， ，， 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，, ， 与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确； 故选：D. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 6．（24-25高二上·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算即可； （2）以为原点建系，计算的坐标，再计算，即可通过即可计算面积； （3）设平面的法向量为，根据即可求出. 【详解】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为.    7．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据法向量的求法即可得答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，故； 平面，平面，故， 平面， 故平面； （2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    设，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量为. 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 1．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，设，列方程求. 【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 2．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（    ）    A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 【答案】D 【分析】通过空间向量建系法，结合向量平行与垂直的性质一一验证即可 【详解】设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，M，N， ∴==(0，0，1)，=(-1，1，0)，=(-1，-1，0)，=(0，1，0)，∴·=0，∴MN⊥CC1，A说法正确；·=-=0，∴MN⊥AC，B说法正确；易知=2，且M，N∉BD，∴MN∥BD，C说法正确；设=λ，得无解，所以MN与A1B1不平行，D说法错误. 故选：D.    3．（2025·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，， 则，所以，故A正确； 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 若与平行，则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以与不平行，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：C. 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面平行的向量表示可得，再利用空间向量垂直的坐标表示即可列式求解. 【详解】因为，所以，所以，即，解得. 故选：C 2．（24-25高二上·四川达州·期中）已知平面的法向量为.若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用线面平行的向量方法可解. 【详解】直线平面，设直线l的方向向量为,则，即. 对于A，，不满足题意； 对于B，，不满足题意； 对于C，，不满足题意； 对于D，，满足题意； 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 则， 所以，整理得：. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接计算直线方向向量和平面法向量的数量积可知. 【详解】由题知，当时，或. A选项：因为 B选项： C选项： D选项： 故选：C 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 6．（24-25高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则 所以平面的一个法向量为 因为平面，则 设，则，所以 解得，所以，即 故选:C. 7．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 9．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 10．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； 【详解】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 1．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知，分别是平面，的法向量，若，则 【答案】 【分析】根据平面的位置关系可知法向量的位置关系，列方程，解方程即可. 【详解】由，可知， 则， 解得， 故答案为：. 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为且，则 . 【答案】 【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以，解得，所以. 故答案为： 3．（24-25高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】首先建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量 ，由平面的法向量，即可证明． 【详解】证明：以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为， 则 所以，， 因为，， 所以，， 因为平面，平面，， 所以平面即是平面的一个法向量， 由点，，得，， 设平面的一个方向量为， 由得，取则， 因为，，即， 所以， 所以平面平面． 4．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知为空间的个点，且，，，，，，． (1)求证：四点共面，四点共面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由和，分别得到，，共面和，，共面，即可得证； （2）连接，，化简得到，证得，利用线面平行的判定定理，证得平面，再由，证得，从而证得平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面． 【详解】（1）解：因为，且， 所以向量，，共面，即四点共面． 又因为，且， 所以，，共面，即，，，四点共面． （2）解：连接，，如图所示， 可得 ，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为与相交，所以平面平面． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 1．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 【答案】D 【分析】由向量垂直即可解题. 【详解】因为， 故，所以， 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关 【答案】B 【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解 【详解】建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，， ， ， 故选：B 【点睛】本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题 3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 4．（21-22高二下·四川成都·期中）在直三棱柱中，底面是以B为直角顶点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，根据垂直和唯一的点E得到方程由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出. 【详解】如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，， 则， 则， 因为在棱上有唯一的一点E使得， 所以在上有唯一的解， 令，可知， 故要想在上有唯一的解，只需， 因为，所以解得： 故选：B 5．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可. 【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以， 因为侧棱垂直于底面，所以面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，    因为分别是所在棱的中点，所以 所以，，故， 即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时，所以，， 故，所以， 在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时， 故，，即，所以不垂直， 则3个直观图中满足的有个，故C正确. 故选：C 6．（24-25高二上·浙江金华·期中）平面四边形和四边形都是边长为1的正方形，且平面，点为线段的中点，点，分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据向量垂直的坐标表示求得，再由向量的模的计算公式和二次函数的性质可求得范围. 【详解】解：因为平面四边形和四边形都是边长为1的正方形，且平面， 所以以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，， 设，， 所以，，又，所以，即， 整理得， 所以，又，所以， 故选：D. 6．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】由已知可得，即，计算即可得出结果. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，设，根据条件有，从而得到，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为 则 令，得,所以， 设，则，又平面，则， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 3．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 4．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 5．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 6．（2025高三下·全国·专题练习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 1．（2025高二·全国·专题练习）如图所示，是一个正三角形，平面，∥，且， M是EA的中点．求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量证明面面垂直. 【详解】 因为平面，平面，所以， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz， 不妨设，因为，所以，    则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为， 所以， 所以平面平面. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系得出的坐标，要证平面，只需证明和即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可求得余弦值. 【详解】（1）∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面； （2）由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 4．（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【分析】（1）连接交于点，可得平面，再利用线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直列式求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 6．（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用棱长求出，进而得到D是中点，利用中位线证明，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，根据面面垂直时两个面的法向量也互相垂直，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）连接，在直三棱柱中，有， . 为中点， 又为中点，， ，， 又平面平面， 平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面平面， ，解得， 当平面平面时，. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 空间向量法求空间中的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：求平面的法向量】 2 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 5 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 6 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 9 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 11 【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 12 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 15 【知识梳理】 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 2． 空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则，使得； (2)线面平行的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. (3)面面平行的向量表示：设分别是直线与的法向量，则，使得. 3．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则. (2)线面垂直的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. (3)面面垂直的向量表示：设分别是直线与的法向量，则. 【考点1：求平面的法向量】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北武汉·三模）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 6．（24-25高二上·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 7．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 1．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（    ）    A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行   3．（2025·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数等于（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川达州·期中）已知平面的法向量为.若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 7．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 9．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 10．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 1．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知，分别是平面，的法向量，若，则 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为且，则 . 3．（24-25高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证：平面平面． 4．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知为空间的个点，且，，，，，，． (1)求证：四点共面，四点共面； (2)求证：平面平面； 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 1．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关 3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 4．（21-22高二下·四川成都·期中）在直三棱柱中，底面是以B为直角顶点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25高二上·浙江金华·期中）平面四边形和四边形都是边长为1的正方形，且平面，点为线段的中点，点，分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．  B．  C．   D．   【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 2．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 3．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 4．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证：平面 5．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 6．（2025高三下·全国·专题练习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 1．（2025高二·全国·专题练习）如图所示，是一个正三角形，平面，∥，且， M是EA的中点．求证：平面平面.       2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 4．（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 6．（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，求的值. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $$