2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会用公式法解一元二次方程.（重点） 3.会用根的判别式b2- 4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．（难点） 学习目标 问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？ 基本步骤如下： ①将二次项系数化为1. ②将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项. ③两边都加上一次项系数一半的平方. ④直接用开平方法求出它的解. 导入新课 做一做：你能用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) 吗? 一元二次方程求根公式的推导过程 解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 . 配方，得 x2 + x +（ ）2 -（ ）2 - = 0, 移项，得 （x + ）2 = 问题1：接下来能用直接开平方解吗？ 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ （x + ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 . 当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根). 当 b2– 4ac ≥ 0 时,左右两边都是非负数.可以开方,得 x + = x = 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时， 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解. 归纳 用公式法解一元二次方程 例1：解方程 （1）x2 - 7x –18 = 0. 解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18. ∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0, ∴ 即 x1 = 9 x2 = -2. 典例精析 （2）4x2 + 1 = 4x 解：将原方程化为一般形式,得 4x2 -4x + 1 = 0 . 这里a = 4 , b = -4, c = 1. ∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 , ∴ 即 x1 = x2 = 例2 解方程：4x2-3x+2=0 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根. 解： 要点归纳 公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 10 问题：对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？ 用判别式判断一元二次方程的根 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0时,方程无实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示. 不解方程判别下列方程的根的情况. (1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0; (3)9x2 + 12x + 4 = 0. 解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 , ∴有两个不相等的实数根. (2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 , ∴无的实数根. (3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0, ∴有两个相等的实数根. 练一练 3、判别根的情况，得出结论. 1、化为一般式，确定a,b,c的值. 要点归纳 根的判别式使用方法 2、计算 的值，确定 的符号. 13 例3 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5 【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，所以有 ∴ k＜5且k≠1 故选B. B 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 务必将方程化为一般形式 课堂小结 C 当堂练习 D 3x2－5x－4＝0 3 －5 －4 73 C A D 0(答案不唯一) B B 2(答案不唯一) 知识点一：用公式法解一元二次方程 1．用公式法解方程2x2－3＝5x时，a，b，c的值分别是( ) A．2，5，3 B．2，5，－3 C．2，－5，－3 D．2，－3，5 2．用求根公式解方程x2－3x－4＝0，正确的是( ) A．x＝ eq \f(－3±\r(32－4×1×（－4）),2) B．x＝ eq \f(3±（－3）2－4×1×（－4）,2) C．x＝ eq \f(－3±\r(（－3）2－4×1×4),2) D．x＝ eq \f(3±\r(（－3）2－4×1×（－4）),2) 3．利用求根公式求方程3x2－4＝5x的根时，将方程化为一般形式，得_________________．所以a＝______，b＝______，c＝______，b2－4ac＝_____．所以x＝ eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) ＝______________ . eq \f(5±\r(73),6) 4．用公式法解方程： (1)x2＋x－1＝0； (2)4y2－3＝12y. 解：∵a＝1，b＝1，c＝－1，∴b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴x1＝ eq \f(－1＋\r(5),2) ，x2＝ eq \f(－1－\r(5),2) 解：∵a＝4，b＝－12，c＝－3，∴b2－4ac＝192＞0，∴y1＝ eq \f(3,2) ＋ eq \r(3) ，y2＝ eq \f(3,2) － eq \r(3) 知识点二：一元二次方程根的判别式 5．一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是( ) A．33 B．23 C．17 D． eq \r(17) 6．(郴州中考)一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是( ) A．－1 B．0 C．1 D． eq \r(3) 8．若关于x的方程x2＋x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为________． 9．请填写一个常数，使得关于x的方程x2－2x＋_______________＝0有两个不相等的实数根． eq \f(1,4) 10．关于x的一元二次方程x2＋x－m2＋m＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 11．若关于x的一元二次方程x2＋x－k＝0有两个实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞－ eq \f(1,4) B．k≥－ eq \f(1,4) C．k＜－ eq \f(1,4) D．k≤－ eq \f(1,4) 12．若一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是______． 13．若关于x的一元二次方程x2－4x＋2a＝0有实数根，则a的值可以是______________(写出一个即可). eq \f(9,4) 14．用公式法解下列方程： (1)x2－x＋2＝0； (2)3y2＝2 eq \r(3) y－1； 解：∵a＝1，b＝－1，c＝2，∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×2＝－7＜0，∴此方程无实数根 解：整理，得3y2－2 eq \r(3) y＋1＝0.∵a＝3，b＝－2 eq \r(3) ，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝(－2 eq \r(3) )2－4×3×1＝0.∴y＝ eq \f(2\r(3)±\r(0),2×3) .∴y1＝y2＝ eq \f(\r(3),3) (3)t2＋5＝3(t＋2). 解：整理，得t2－3t－1＝0.∵a＝1，b＝－3，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－1)＝13.∴t＝ eq \f(3±\r(13),2) .∴t1＝ eq \f(3＋\r(13),2) ，t2＝ eq \f(3－\r(13),2) 15．已知关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0. (1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)给m选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即[－2(m＋1)]2－4m2＞0，解得m＞－ eq \f(1,2) (2)∵m＞－ eq \f(1,2) ，∴取m＝0，此时方程为x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2(答案不唯一) 16．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：(1)△ABC是等腰三角形，理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2＋2b×(－1)＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，即a＝b，∴△ABC是等腰三角形　 △ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，即a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形　 (3)当△ABC是等边三角形时，(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1 $$