精品解析：甘肃省武威市凉州区金羊、金沙九年制学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数为非负数． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选A． 2. 下列运算，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则，算术平方根，合并同类项，二次根式的性质化简各个选项，即可解答． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，算术平方根，合并同类项，根据二次根式的性质化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键在于求出无理数的范围．再计算出二次根式混合运算的结果，再估算出的取值范围即可． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， 故选：C 4. 如图，在RtABC中，，，是的平分线且，作的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，再根据“等边对等角”得，根据直角三角形的性质可求出，即可得，再根据勾股定理求出，最后根据线段垂直平分线的性质得，则答案可得. 【详解】解：∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵ 解得. 在中，. 根据勾股定理，得. ∵是的垂直平分线的性质， ∴， ∴的周长等于. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，角平分线定义，等边对等角，理解勾股定理是求线段长的常用方法是解题的关键. 5. 下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是（　　） A. B. ， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，判断两较短线段的平方和是否等于较长线段的平方，即可得出结果． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成直角三角形，不符合题意； D、，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选A． 6. 如图，在四边形中，P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识．利用三角形中位线定理得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是的中点，点、分别是、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 7. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出，，等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：在正方形的外侧，作等边三角形， 则：， ∴， ∴； 故选：B． 8. 如图，，以为直角边作，使，再以为直角边作，使，，依此法继续作下去，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，图形类的规律探索，正确找到规律是解题的关键．由含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，同理可求出，，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 同理可得：，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， 同理可得：， ∴， 同理可得：， 故选：C． 9. 菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍．若菱形的面积为16，则它的边长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．由菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为，可求得其对角线的长，又由勾股定理，即可求得其边长． 【详解】解：∵菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍， ∴设菱形的一条对角线长为，则另一条对角线长为， ∵菱形的面积为， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴菱形的两条对角线长分别为，， ∴菱形的边长为：， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，由正方形性质结合平分得到，然后得到，即可证明①正确；结合点M为的中点和等腰三角形得到，，即可证明②正确；过作于，于，证明，得到得到③正确；由可得不可能是等边三角形，④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，，， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴等腰三角形， 故①正确； ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故②正确； 过作于，于，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 故③正确； ∵， ∴， ∴不可能是等边三角形， 故④错误， 综上所述，正确的是①②③， 故选：B． 二、填空题（共24分） 11. 的平方根是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，先根据算术平方根的定义得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的平方根是 故答案为：，． 12. 当时，代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的运算．先利用完全平方公式将代数式变形为，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式． 故答案为：． 13. 最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．由同类二次根式的定义可得：，解方程可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． ∴． 故答案为：1． 14. 如图在四边形中，，，点E为中点，线段绕点E旋转，得到线段，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先以点B为圆心，所在的直线为x轴建立直角坐标系，作，再证明，可得，然后设，可表示出，进而表示出点A,D的坐标，再根据勾股定理表示出，接下来结合两点之间的距离可知可用两点之间的距离和表示，再根据两点之间线段最短判断最小值，最后根据勾股定理求出答案. 【详解】解：如图所示，先以点B为圆心，所在的直线为x轴建立直角坐标系，过点D作，交x轴于点F， ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 设， ∴，∴点. 根据勾股定理表示出， 其几何意义为x轴上一点到和距离和最小，即最小， 作点H关于x轴的对称点，可得， 根据两点之间线段最短，知三点共线时，最小，即. 根据勾股定理，得. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，两点之间线段最短，平面直角坐标系内点的坐标，确定最小值时点的位置是解题的关键. 15. 如图，是等边三角形，是角平分线上的一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点，若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等边三角形以及角平分线得到，再由角直角三角形的性质以及勾股定理求出，，在中，再次利用角直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是角平分线上的一点， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点，垂足为点，若， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16. 如图，在中，对角线，相交于点O，，，，过点O作交于点E，连接，则的周长是________. 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．由勾股定理可得，根据平行四边形的性质可知，是线段的垂直平分线，即，再结合的周长为即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵在中，，对角线相互平分， ∴是中点， ∵， ∴是线段的垂直平分线，即， ∴的周长为， 即的周长为18， 故答案为：18． 17. 如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积． 【详解】解：∵是的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为3，在的延长线上存在两个动点、（点在点的左侧），以为边作正方形，且与正方形在延长线的同侧．在线段上有一动点，过点作，射线恒过点、射线恒过点．连接，点是的中点，连接、，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使，连接，连接并延长交于点，连接，，延长交于点，证明是线段的垂直平分线，推出，利用直角三角形的性质求得，推出，当三点共线时， 的最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：延长至，使，连接，连接并延长交于点，连接，，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴， ∵，， ∴是等腰三角形， ∴和都是等腰三角形， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 当三点共线时，， ∴的最小值为的长， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直垂直平分线的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）求的周长； （2）在图中作出关于x轴对称的图形 (其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F)，并写出点D，E，F的坐标． 【答案】（1） （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图，勾股定理，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接． （1）根据勾股定理，求出，然后求出三角形周长即可； （2）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接，并写出、、的坐标即可． 【小问1详解】 解：，，， ∴的周长为． 【小问2详解】 解：如图，即为所求作三角形，； 20. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质和运算法则，分别化简每个二次根式，然后合并同类项，即可得到答案； （2）利用平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式的计算法则进行计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、单项式乘以多项式、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 利用平方差公式、单项式乘以多项式法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法证明，即可得证； （2）利用勾股定理求出的长，利用全等三角形的性质得到，得出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：，，， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ，， ， 的周长． 23. 如图，已知某开发区有一块四边形空地，经测量，，，，， （1）求这块空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 【答案】（1） （2）19200元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明为直角三角形是解题的关键． （1）连接，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，然后求出，即可求解； （2）根据每平方米草皮需200元，求出结果即可． 【小问1详解】 解：连接AC，如图： 在中，， 在中，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需200元， ∴在该空地上种植草皮共需费用为：（元）． 24. 已知：如图，E是外一点，且． 求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，斜边上的中线，矩形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： 连接、，设、相交于点，连接，根据斜边上的中线得到，，进而得到，即可得证． 【详解】证明：连接、，设、相交于点，连接，则：， 在中，是斜边的中点， 所以． 同理，在中，， ， ，即， 是矩形． 25. 如图，在 中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． （1）求证：； （2）当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，以及正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解答本题的关键． （1）证明四边形是矩形即可得出； （2）根据正方形的判定方法可知，当时，四边形为正方形． 【小问1详解】 ∵ 平分平分 的外角 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问2详解】 当时，四边形为正方形，理由； ∵四边形是矩形，， ∴四边形为正方形． 26. 如图，四边形是平行四边形，，垂足分别为，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接并延长，交的延长线于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的判定定理和平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形对边平行结合平行线的性质可证明，则可证明得到，再由菱形的判定定理即可证明结论； （2）先证明，则由含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 在四边形中，、分别是、的中点． （1）如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长． （2）如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：． （3）如图3，在中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同位角相等可得，于是结论得证； （3）连接，取的中点，连接、，由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，则，由两直线平行同位角相等可得，由对顶角相等可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，再结合，进而可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，于是可得，然后根据即可得出结论． 【小问1详解】 解：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ； 【小问2详解】 证明：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接，取的中点，连接、， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即：是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理及平行线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 4. 如图，在RtABC中，，，是的平分线且，作的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（　　） A. 6 B. C. D. 5. 下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是（　　） A. B. ， C. D. 6. 如图，在四边形中，P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，以为直角边作，使，再以为直角边作，使，，依此法继续作下去，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍．若菱形的面积为16，则它的边长为（ ） A 4 B. 2 C. D. 10. 如图，在正方形中，对角线，交于点O，平分交于E，点M为的中点，连接并延长分别交，于点N，R下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④是等边三角形，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（共24分） 11. 的平方根是________ 12. 当时，代数式________． 13. 最简二次根式与是同类二次根式，则________． 14. 如图在四边形中，，，点E为中点，线段绕点E旋转，得到线段，则的最小值为______． 15. 如图，是等边三角形，是角平分线上的一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点，若，则的长为______． 16. 如图，在中，对角线，相交于点O，，，，过点O作交于点E，连接，则周长是________. 17. 如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是_____________． 18. 如图，正方形的边长为3，在的延长线上存在两个动点、（点在点的左侧），以为边作正方形，且与正方形在延长线的同侧．在线段上有一动点，过点作，射线恒过点、射线恒过点．连接，点是的中点，连接、，若，则的最小值为________． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）求的周长； （2）在图中作出关于x轴对称的图形 (其中点A，B，C的对应点分别是点D，E，F)，并写出点D，E，F的坐标． 20. 计算 （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 23. 如图，已知某开发区有一块四边形空地，经测量，，，，， （1）求这块空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 24. 已知：如图，E是外一点，且． 求证：四边形是矩形． 25. 如图，在 中， 平分平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． （1）求证：； （2）当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 26. 如图，四边形是平行四边形，，垂足分别为，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接并延长，交的延长线于点，若，求的长． 27. 在四边形中，、分别是、中点． （1）如图1，在四边形中，若是中点，，，，，求的长． （2）如图2，连接并延长，分别与、延长线交于点、，为中点，若，求证：． （3）如图3，在中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$