精品解析：贵州省贵阳市第三实验中学2024-2025学年高一下学期5月学分检测数学试题

贵阳市第三实验中学2024-2025学年度第二学期学分检测 高一年级数学试卷 请考生注意：1.考试时间为120分钟，满分为150分. 2.所有题的答案必须答在答题纸的指定位置，否则不得分. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积. 【详解】如图，在直观图中过点，作交于点， 因为， 所以，，即 将直观图还原为平面图如下： 则，，， 所以. 故选：A 3. 在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果. 【详解】由，得出， 由得 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 4. 在中角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，有两个解 C. 当时，只有一个解 D. 对一切，都有解 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理、正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，，， 所以由正弦定理，即， 当时，又，所以或，故A错误； 当时，又，此时无解，故B、D错误； 当时，则，又，此时只有一解，即只有一个解，故C正确； 故选：C 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确. 详解】A选项：如图： 在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图： 在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图： 在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图： 过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 6. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解， 【详解】设表高为，则，， 而，得，， 故， 得， 故选：D 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的性质来比较大小.先将化简，再分别比较、、与特殊值、的大小关系，从而确定、、的大小顺序. 【详解】化简的值，. 对于指数函数，因为底数，所以函数单调递增. ，所以，即. 又因为，. 对于，，即. 则. 故选：B. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集. 【详解】函数的定义域为， 且，即是偶函数， 当时，， 构造，， 令，则在上单调递增，又也是增函数， 则在上单调递增， 又是定义域内的增函数，故在上单调递增， 不等式等价于， 即，平方得：，解得且， 则不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题各有四个选项，有多个选项正确，请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑.） 9. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台的体积为 D. 圆台的轴截面面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】作出圆台轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，求出该圆台的高，从而根据侧面积公式，体积公式及圆台轴截面特点计算求解即可. 【详解】如图是圆台的轴截面，圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为， 对于A，该圆台的高，A正确； 对于B，圆台的侧面积为，B正确； 对于C，圆台体积为，C错误； 对于D，圆台的轴截面面积为，D错误． 故选：AB 10. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若与不共线，且，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及数量积的几何意义可判断各选项. 【详解】A：当时，若，，则与不一定平行，A错误； B：向量在向量上的投影向量为，B正确； C：若与不共线，且，则，C正确； D：，则，又， 则，显然不能确定，D错误； 故选：BC 11. 如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 若，分别是线段和上的动点（都不与端点重合），，，点在平面上，，且，则为定值 C. 若是线段的中点，则沿正方体的表面从点到点的最短距离为 D. 使线段长度为的点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项根据面面平行可得点到平面距离及三棱锥体积；B选项，利用几何法可得线线夹角；C选项：分情况讨论当折线与，，相交时的最短距离；D选项：由线段长度为，可得点在以为球心，为半径的圆上，可知点的轨迹为球面与正方体的交线，结合弧长公式可得解. 【详解】A选项：由已知为正方体，则平面平面， 又点在平面上运动，则点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为，A选项错误； B选项：如图所示，连接，设，， 由已知，则在中，，， 又点在平面上，，且， 则，，且， 即，则， 所以，B选项正确； C选项：当折线与相交时，将平面绕翻折，使与共面，如图所示，则此时的最短距离为； 当折线与或相交时的最短距离相等，将平面绕翻折，使与共面，如图所示，则此时的最短距离为；所以最短距离为，C选项正确； D选项：由线段长度为，可得点在以为球心，为半径的球上，可知点的轨迹为球面与正方体的交线， 易知当点在平面上时，如图所示，由可知点在以为圆心为半径的弧上， 此时，，同理， 则，此时弧长， 同理当点在平面或平面上时，弧长也为， 当点在平面上时，可知， 如图所示，此时弧长为， 同理当点在平面或平面上时，弧长也为， 综上所述，点的轨迹长度为，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡中相应的位置上.） 12. 欲利用随机数表从00，01，02，……，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第5个被抽取的样本的编号为_____. 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】12 【解析】 【分析】首先确定随机数表的读取规则，然后确定起始位置并开始读取，选取在编号中的数字并剔除重复数字，确定第5个被抽取的样本编号. 【详解】随机数表中第1行第11列的数字为1，每次读取两位，分别取出的编号为：16，55，19，50，12，58. 第5个被抽取的样本的编号为：12. 故答案为：12 13. 若角的终边经过点，则_____，_____. 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】根据坐标求出正切值，运用诱导公式、二倍角公式以及由弦化切的方法求值. 【详解】角的终边经过点，则， . . 故答案为：；4. 14. 祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案. 【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径， 球体半径为，则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，大圆半径为，则截面圆环面积，所以，又高度相等， 所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积. 同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积. 如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积. 已知球体半径为，为等边三角形， ， 根据祖暅原理， ， 设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分；卷面分2分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数（其中，）的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图象得到，周期，可求出，代入求解，进而求解解析式. （2）由变换可得，进而求出单调递增区间. 【小问1详解】 由图象可得，，故， 所以，则， 所以，或 故，或 则，或， 又，所以，或（舍去） 所以， 【小问2详解】 由题意可知，， 由，可得， 故的单调递增区间. 16. 已知平面向量，，，. （1）若，求的值； （2）若，当时，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. （2）首先根据向量平行求出的值，然后得到向量的坐标，进而求得向量的模. （3）根据向量的夹角是钝角，列出不等式即可求得的范围. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得或者. 【小问2详解】 当时，，解得. 所以，， 所以. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 所以且， 解得且. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）已知： ①求点到平面的距离. ②求直线与平面所成角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，根据线线平行，证明线面平行. （2）①利用体积法求点到平面的距离；②再求直线与平面所成角的定义，利用，从而得到其余弦值. 【小问1详解】 如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 ①因为平面，所以是直角三角形， 又为中点，且，所以. 设点到平面的距离为，则. 又因为, 所以. 因为平面，平面，所以， 又底面为正方形，所以，平面，， 所以平面. 又平面，所以.所以直角三角形. 中，，，. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以.即点到平面的距离为. ②， 设直线与平面所成的角为， 则， 则. 18. 已知函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围 （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义列出关于的等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立；先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立；再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立；最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【小问1详解】 函数为偶函数， ，即. 又函数是增函数， ，即得对于函数定义域内任意的都成立， . 【小问2详解】 令，则. 函数是上的增函数，在上单调递增， 根据复合函数单调性的判断方法可得：函数在上单调递增, 且在上恒成立， ，解得：. 故的取值范围为. 【小问3详解】 对于任意，存在，使得不等式成立， . 令，， ， ，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数有最小值， 故当时，. 对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， ， 故的取值范围为. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且． （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； （3）已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算列方程，然后角化边，根据余弦定理求出角的大小. (2)在三个三角形中分别用余弦定理找出，的关系式解方程即可. (3)方法一：先确定点的位置分两种情况进行分析，根据余弦定理和面积关系找到的关系即可；方法二：由面积公式求出，再分点与点在直线的异侧与同侧两种情况讨论，设，利用正弦定理表示出线段的长度，再计算可得. 【小问1详解】 因为所以， 角化边可得：， 整理可得， 又因为， 又因为为三角形的内角，所以. 【小问2详解】 在中由余弦定理可得：， 整理得：； 在中由余弦定理可得：， 在中由余弦定理可得：， 又因为，所以， 又因为，所以， 解方程组：，解得或， 所以或. 【小问3详解】 方法一：因为点满足，所以点在的外部， 设，，， 当在直线的异侧时， 在中由余弦定理有：， 又因为的面积为，即，所以， 所以， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 所以， 整理得： ， 又因为， 所以， 整理得：，即， 又因为 所以即， 所以； 当在直线的同侧时， 分别在，，，中用余弦定理及的面积为 依然可以得出， 又因为， 即 整理得：，又因为， 所以， 即， 所以. 综上所述的值为或 方法二：因为的面积为，所以，所以， 若点与点在直线的异侧，设， 则，，， 在中由正弦定理，所以，； 在中由正弦定理，所以，； 所以 ； 若点与点在直线的同侧，设， 则，，， 在中由正弦定理，所以，； 在中由正弦定理，所以，； 所以 ； 综上可得的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第三实验中学2024-2025学年度第二学期学分检测 高一年级数学试卷 请考生注意：1.考试时间为120分钟，满分为150分. 2.所有题的答案必须答在答题纸的指定位置，否则不得分. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，有两个解 C. 当时，只有一个解 D. 对一切，都有解 5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 6. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（ ） A. B. C. D. 7 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题各有四个选项，有多个选项正确，请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑.） 9. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台体积为 D. 圆台的轴截面面积为 10. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若与不共线，且，则 D. 若且，则 11. 如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 若，分别是线段和上的动点（都不与端点重合），，，点在平面上，，且，则为定值 C. 若是线段的中点，则沿正方体的表面从点到点的最短距离为 D. 使线段长度为点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡中相应的位置上.） 12. 欲利用随机数表从00，01，02，……，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第5个被抽取的样本的编号为_____. 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13. 若角的终边经过点，则_____，_____. 14. 祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分；卷面分2分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数（其中，）的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 16. 已知平面向量，，，. （1）若，求的值； （2）若，当时，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）已知： ①求点到平面的距离. ②求直线与平面所成角的余弦值； 18. 已知函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围 （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且． （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； （3）已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $