精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市内蒙古集宁一中榆树湾校区2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

2024—2025学年高二下学期集宁一中榆树湾校区 期中考试数学试题 一、单选题 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，其中n是自然数，则的最小值为（） A. 50 B. 100 C. 110 D. 190 3. 在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（ ） A B. C. D. 4. 已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在四边形中，，设(，).若，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题 9. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 函数的在最大值为0 B. 函数在上单调递增 C. 函数为偶函数 D. 若方程在R上有4个不等实根，则 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 三、填空题 12. 已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则___________. 13. 已知点A，B，C，D在球O的表面上，平面，，若，，与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为______. 14. 已知，，x为的个位数，求________. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的单调递增区间． 16. 若数列每相邻三项满足（，且），则称其为调和数列. （1）若为调和数列，证明数列是等差数列； （2）调和数列中，，，前项和为，求证：. 17. 随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多.世界卫生组织（WHO）常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦成度以及是否健康，其计算公式是.成人的BMI数值标准为：BMI偏瘦；BMI为正常；BMI为偏胖；BMI为肥胖.某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1-8）的身高（cm）和体重（kg）数据，并计算得到他们的BMI（精确到0.1）如下表： 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（cm） 163 164 165 168 170 172 176 182 体重（kg） 54 60 77 72 68 ● 72 55 BMI（近似值） 20.3 22.3 28.3 25.5 23.5 23.7 23.2 16.6 （1）现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为，求的分布列及数学期望. （2）研究机构分析发现公司员工的身高（cm）和体重（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg，计算得到的其它数据如下：，. ①求值及表格中8名员工体重的平均值. ②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： ，. 18. 如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高二下学期集宁一中榆树湾校区 期中考试数学试题 一、单选题 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 则． 故选：B． 2. 已知函数，其中n是自然数，则的最小值为（） A. 50 B. 100 C. 110 D. 190 【答案】B 【解析】 【分析】去掉绝对值，由等差数列求和公式化简求解即可. 【详解】要使取得最小值,则正整数必然在区间上， 则 因为,所以当或时,有最小值100. 故选：B. 3. 在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数满足的条件数形结合分析即可. 【详解】曲线图像如图所示，其图像为轴右侧的半圆， 根据函数的定义在函数定义域内任意的值都有唯一的值与其对应， 反映到图像上就是在其定义域内作与轴垂直的直线，与函数图像有一个交点， 因此四个选项仅逆时针旋转满足条件. 故选：C. 4. 已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象的平移可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知识即可得出，即可得解. 【详解】由条件可得，，作出两个函数图象，如图： ，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，. 由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，， 由，整理得，得， 则，所以， 要使为钝角三角形，只需即可， 由，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，运算即可. 5. 已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点的意义，将问题转化为曲线与曲线有三个交点，作出函数图象，数形结合求解. 【详解】令，得， 依题意，曲线与曲线有三个交点，如图， 当时，曲线与曲线只有一个交点，不符合题意； 当时，若使得曲线与曲线有三个交点， 则，解得，所以实数a的取值范围为. 故选：B 6. 设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，求得，再利用，求得，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即 ， 椭圆的离心率的取值范围是， 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义，以及利用三角形的性质是解决本题的关键. 7. 在四边形中，，设(，).若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量加法的运算法则进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 即， 故选：C. 8. 定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出的值，然后分区间讨论时的值，找到集合中的最小元素. 【详解】由可知， 因为当时，，所以， 所以. 当时，令无解； 当时，，此时， 令无解； 当时，，所以， 由解得，所以集合中的最小元素是6. 故选：C 二、多选题 9. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断. 【详解】对于A，由题，， 所以即， 所以，故，故A正确； 对于B，由得， 故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点， 如图，由图象性质可知， 又由A得，故， 所以，故B错； 对于C，由上即，以及得： ，故C对； 对于D，由AB得，，， 所以，故D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由和得即，二是数形结合明确零点的取值范围为且，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的在最大值为0 B. 函数在上单调递增 C. 函数为偶函数 D. 若方程在R上有4个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将函数配方，根据单调性，可判断选项A,B真假，根据奇偶性定义，可判断选项C真假，做出的图像，结合对称性，可判断选项D真假. 【详解】，时，当时函数取最大值0，∴A正确； 在递减，在递增，∴B不正确； 令， 所以为偶函数，所以选项C正确； 令，的根转化为与的交点， 做出图像如下图所示： 图像关于对称，当与有四个交点时， 两两分别关于对称，所以， 所以选项D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定图象，结合五点法作图求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】观察图象得，的周期，， 由，得，而，则，因此， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，而正弦函数上递增， 因此函数在区间上单调递增，B正确； 对于C，不是偶函数，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 三、填空题 12. 已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，由，，分别表示出，利用根与系数关系即可算得答案. 【详解】由抛物线的方程为，得， 由题意可得直线的斜率存在且不等于零， 则可设直线的方程为，， 联立，消得， 则恒成立， 则，故， 由直线，令，得，则， 由，得， 所以，所以， 由，得， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 13. 已知点A，B，C，D在球O的表面上，平面，，若，，与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】先画出图形，通过几何关系算出球的半径即可. 【详解】 如图，因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面，所以， 所以为球的直径，由得, 作，则即为与平面所成角, 所以，得, 设由等面积法得，解得, 所以，即，, 又平面过球心，所以P到平面距离即为半径的长, 所以P到平面距离的最大值为3. 故答案为：3. 14. 已知，，x为的个位数，求________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用列举法求出的所有可能取值，并求出对应概率，再根据期望公式即可得解. 【详解】当时，，个位数为，有个， 当时，，个位数为， 当时，，个位数， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 综上所述，可取， 且， 所以. 故答案：. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的单调递增区间． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期的求法，求得的最小正周期. （2）根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间. 【详解】（1）的最小正周期为. （2）由化简得， 令得，所以在区间上的单调递增区间为. 16. 若数列每相邻三项满足（，且），则称其为调和数列. （1）若为调和数列，证明数列是等差数列； （2）调和数列中，，，前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推数列化简即可由等差中项法证明数列是等差数列. （2）由（1）可求出，，利用放缩结合导数即可证明. 【小问1详解】 解：（1）根据题意得： ∴∴∴数列是等差数列 【小问2详解】 （2）由（1）可得：∴∴ 要证： 当时，上式化为成立. 当时，即证 于是即证即证 令， 恒成立 ∴在上单调递增∴恒成立 即在上恒成立∴成立 ∴成立 17. 随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多.世界卫生组织（WHO）常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦成度以及是否健康，其计算公式是.成人的BMI数值标准为：BMI偏瘦；BMI为正常；BMI为偏胖；BMI为肥胖.某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1-8）的身高（cm）和体重（kg）数据，并计算得到他们的BMI（精确到0.1）如下表： 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（cm） 163 164 165 168 170 172 176 182 体重（kg） 54 60 77 72 68 ● 72 55 BMI（近似值） 20.3 22.3 28.3 25.5 23.5 23.7 23.2 16.6 （1）现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为，求的分布列及数学期望. （2）研究机构分析发现公司员工的身高（cm）和体重（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg，计算得到的其它数据如下：，. ①求的值及表格中8名员工体重的平均值. ②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： ，. 【答案】（1）分布列见解析，；（2）①，；②；75kg. 【解析】 【分析】（1）由题得的可能取值为0，1，2，3，再利用古典概型求出对应的概率，再写出分布列和期望得解； （2）①先求出，再求出表格中8名员工体重的平均值；②求出，，求出更正后该组数据的线性回归方程为，再预估一名身高为180cm的员工的体重. 【详解】解：（1）8名员工BMI数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI值为“正常”的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，则 ， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 则. （2）① 调查员甲由线性回归方程预估一名身高为180cm的员工的体重为71kg，由此计算，故. ② 由①知更正前的数据，. 由得 ， 更正后的数据，， ，， 所以. 故. 更正后该组数据的线性回归方程为. 当时，， 所以重新预估一名身高为180cm的员工的体重约75kg. 【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查线性回归方程的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 18. 如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，设椭圆方程代入点即可求解（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为：，联立方程组,消元得，写出的斜率，同理得直线的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，得， 将点代入椭圆的方程得：，解得： 故椭圆的方程为：. （Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为 由图可知直线的斜率存在，设直线的方程为： 联立方程，消去得：， ，. 有 直线的斜率为：. 同理直线的斜率为：. 由 . 由上得直线与的斜率互为相反数，可得. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$