专题03 基本不等式（八大题型精练）-【课后优辅导】2025年高一数学秋季精品讲义（人教A版2019）

专题3 基本不等式 题型1 基本不等式及其应用 1．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 2．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 题型2 直接法求最值 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为正实数a，b满足，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式直接求最值即可. 【详解】由题：, 当且仅当时取等号，所以的最小值为9， 故选：D. 5．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以． 当且仅当时，取得最大值1. 故选：A 6．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可. 【详解】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3. 故选：C 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，当且仅当，即时取等号．故当时，的取值范围是． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 【答案】16 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.依题意得，所以. 9．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，当且仅当取等号， 则的最小值为. 故答案为：2. 题型3 配凑法求最值 10．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A 11．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 12．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 13．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D 14．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由知，所以，当且仅当，即时取等号． 方法总结 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换等． 题型4 “1”的代换求最值 15．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：D 16．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得. 【详解】因，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：B 17．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 18．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式乘“1”法求解即可； 【详解】由， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 19．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 20．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式的常数代换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 所以． 当且仅当时，即，即时，取等号． 故答案为： 21．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，则， 则. 当且仅当，且，， 即，时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 22．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 23．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知正数满足，则取到最小值时， ； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】借助“1”的灵活运用，由基本不等式即可求解. 【详解】由正数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以取到最小值时，. 故答案为：. 24．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 题型5 齐次化求最值 25．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知，为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知等式，对代数式整理，然后借助基本不等式确定代数式的最小值. 【详解】∵，为正实数，∴，， 又， ∴ ， 当且仅当，即，即，时取等号， 故当，时，取得最小值. 故选：B 26．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 27．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知为正数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式中“1”的妙用计算即可得出最小值为. 【详解】易知 ， 当且仅当时取等号. 故选：C 28．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 29．（24-25高一上·四川宜宾·期末）（多选题）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】通过对已知条件进行变形，利用均值不等式来分析，，的取值范围，进而判断各个选项的正确性. 【详解】已知，因为，那么. 设（），则，移项得到. 因为，即，也就是，两边平方可得，所以A选项正确、B选项错误. 由可得，因为，所以，当且仅当时取等号，所以C选项正确. 根据完全平方公式，由前面可知，. 那么，当且仅当时取等号，所以D选项正确. 故选：ACD. 30．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意可得，，代入可得，根据乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 则，解得， 可得， 又因为，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 31．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 32．（24-25高一上·天津·期末）若，，且 ，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】首先化简得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【详解】，即，， 则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 33．（24-25高一上·辽宁·期末）若，则的最大值为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由已知可知，代入到所求式子，进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，时取等号． 故答案为： 34．（2024高三·全国·专题练习）设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、判别式法求最值 【分析】方法一：消元法.令，则，代入，整理得，转化为关于的一元二次方程有解即可求解. 方法二：基本不等式法.关键是将式子变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 题型6 与a+b,ab,平方和有关问题求最值 35．（24-25高二下·浙江宁波·期中）（多选题）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】根据已知等式，结合基本不等式的“1”的巧用，分式分离，平方转化等方法逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，为正实数，，所以， 当且仅当时，的最大值为1，故A正确； 对于B，由于，由A选项可知， 所以，所以的最小值为2，故B不正确； 对于C， ， 因为，为正实数，，所以， 则， 当且仅当，即时，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时，的最小值3，故D正确. 故选：ACD. 36．（24-25高一下·河北保定·期中）（多选题）已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，因为，， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时取等号，而, 故D错误. 故选：ABC. 37．（24-25高一上·河北沧州·期末）（多选题）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式可得选项A错误；通过配方结合选项A可得选项B正确；通过计算结合选项A可得C正确；利用“1”的代换可得选项D正确. 【详解】A.∵，且， ∴，当且仅当时，等号成立，解得，A错误． B.由A得，， 当且仅当时，等号成立，B正确． C.由A得，， ∴，当且仅当时，等号成立，C正确． D.∵， ∴，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 38．（25-26高一上·上海·课后作业）已知，则的最大值和最小值分别为 ． 【答案】9，1 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】分和结合基本不等式求出的范围，再由时，也存在满足的情况，从而可得，进而可求出的范围，则可求出其最值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号． 当时，，当且仅当时取等号． 当时，也存在满足的情况， 所以， 由，得， 所以， 由，得， 所以， 当时取得最小值，当时取得最大值， 所以的最大值和最小值分别为9和1. 故答案为：9，1 39．（2025·四川成都·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意得，通过换元结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，解得， 所以，令， 则， 等号成立当且仅当，此时，， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型7 利用基本不等式证明不等式 40．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题、由基本不等式证明不等关系、分式不等式 【分析】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【详解】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 41．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【答案】（1）4；（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）利用基本不等式计算可得. 【详解】（1），， 则． 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为． （2），，， 即，当且仅当时等号成立． 42．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）（1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）可用反证法，分析法，综合法的任意1个方法证明； （2）结合先把1换成，再化简，结合基本（均值）不等式证明. 【详解】证明：（1）解法一（反证法）： 假设， 即， 两边平方得，即， 即，这与矛盾，因此假设不成立， 故. 解法二（分析法）： 要证， 只需证， 因为，， 所以只需证， 即证，即证， 因为成立， 所以成立. 解法三（综合法）： ， ， 因为， 所以. （2）由题意知，故 . 43．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质证明不等式、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 题型8 利用基本不等式解决实际问题 44．（25-26高一上·全国·课后作业）如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由题意知，所以．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 45．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 46．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值. 【详解】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 47．（25-26高一上·全国·课后作业）某社区要建一个矩形活动场所（如图），其中为矩形，为正方形，若场所周长为米，设米，场面积为y平方米，则y的最大值为 ，此时x的取值为 ． 【答案】 5400 60 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】由题意可知，正方形的周长为，设，则，得，所以，当且仅当，即时等号成立．因此y的最大值是5400（平方米），此时（米）． 48．（2026高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用给定条件将矩形面积用一元函数进行表示，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 当直角梯形的高为时，用纸量最少． 故答案为： 49．（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 50．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 基本不等式 题型1 基本不等式及其应用 1．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 2．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 题型2 直接法求最值 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 9．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）已知函数，则的最小值为 ． 题型3 配凑法求最值 10．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 11．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 12．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 题型4 “1”的代换求最值 15．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 16．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 17．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 18．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 19．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 20．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知，且，则的最小值是 ． 21．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 22．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 23．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知正数满足，则取到最小值时， ； 24．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 题型5 齐次化求最值 25．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知，为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 26．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知为正数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 29．（24-25高一上·四川宜宾·期末）（多选题）若，且，则（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 31．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 32．（24-25高一上·天津·期末）若，，且 ，则的最小值为 . 33．（24-25高一上·辽宁·期末）若，则的最大值为 ． 34．（2024高三·全国·专题练习）设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 题型6 与a+b,ab,平方和有关问题求最值 35．（24-25高二下·浙江宁波·期中）（多选题）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 36．（24-25高一下·河北保定·期中）（多选题）已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·河北沧州·期末）（多选题）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·上海·课后作业）已知，则的最大值和最小值分别为 ． 39．（2025·四川成都·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为 . 题型7 利用基本不等式证明不等式 40．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 41．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 42．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）（1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 43．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 题型8 利用基本不等式解决实际问题 44．（25-26高一上·全国·课后作业）如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 45．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 46．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 47．（25-26高一上·全国·课后作业）某社区要建一个矩形活动场所（如图），其中为矩形，为正方形，若场所周长为米，设米，场面积为y平方米，则y的最大值为 ，此时x的取值为 ． 48．（2026高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 49．（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 50．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$