精品解析：河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2024—2025学年高二（下）质检联盟期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章至第七章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 0.38 C. 0.12 D. 0.44 3. 随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（ ） ξ 0 1 2 P a b c A. B. C. D. 4. 有一机器人运动方程为（t是时间，单位：s；s是位移，单位：cm），则该机器人在时的瞬时速度是在时的瞬时速度的（ ） A 1倍 B. 倍 C. 2倍 D. 倍 5. 已知某商店月份月利润y（单位：万元）关于其对应的月份代码x（月份的月份代码依次为）的经验回归方程为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 0 7. 一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种 8. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 在处取得极大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 观察下列散点图，则（ ） A B. C. D. 10. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（ ） 参考公式与数据：，其中：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10828 A. 可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B. 可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 C. 学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 D. 在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条切线 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中含的项的系数为________． 13. 设随机变量，且，则________；若随机变量满足，则的方差为________. 14. 如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有__________种不同的涂色方案． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目. （1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数； （2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数； （3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数. 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围． 17. 正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会. （1）记事件为“消费者小曲抽到2个正比例手办的材质与比例均相同”，求； （2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望. 18. 某商场举办抽奖活动，每位消费者仅限参加一次，抽奖活动分两个环节，第一个环节是射击，第二个环节是摸球领奖．射击环节是由消费者在商场准备的Ⅰ型和Ⅱ型两种不同型号的射击枪中选择其中一种，再向射击靶射击3次，每次击中射击靶与否相互独立．已知甲选择使用Ⅰ型射击枪射击，且每次击中射击靶的概率均为；乙选择使用Ⅱ型射击枪射击，且每次击中射击靶的概率均为．若甲累计击中射击靶1次，则从a抽奖箱（如图所示）内摸1个球，摸到红球即可获得一个奖品；累计击中射击靶2次或3次，则甲可直接获得一个奖品．若乙累计击中射击靶1次，则从A抽奖箱内摸1个球，摸到红球即可获得一个奖品；累计击中射击靶2次，则从B抽奖箱（如图所示）内摸1个球，摸到红球即可获得一个奖品；累计击中射击靶3次，则可直接获得一个奖品．A抽奖箱与B抽奖箱中的球除了颜色不同之外，大小、质地均相同． （1）若甲累计击中射击靶的次数不少于1的概率为，求p的值； （2）在（1）的情况下，若，记甲、乙各自获得一个奖品的概率分别为，试比较的大小； （3）若，且甲获得一个奖品的概率大于乙获得一个奖品的概率，求p的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求在上的最小值； （3）当时，讨论的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高二（下）质检联盟期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章至第七章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案. 【详解】依题意，不同的选法为. 故选：B 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 0.38 C. 0.12 D. 0.44 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】根据题意可得． 故选：B. 3. 随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（ ） ξ 0 1 2 P a b c A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的极值点就是导函数的零点，再结合二次方程的韦达定理和分布列概率和为1可求解，并检验是否满足题意即可作出判断. 【详解】由，得， 由，解得．当时，满足， 故． 故选：D. 4. 有一机器人的运动方程为（t是时间，单位：s；s是位移，单位：cm），则该机器人在时的瞬时速度是在时的瞬时速度的（ ） A. 1倍 B. 倍 C. 2倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则先求导得，将和代入即可求解. 【详解】由题意有，所以． 故选：B. 5. 已知某商店月份月利润y（单位：万元）关于其对应的月份代码x（月份的月份代码依次为）的经验回归方程为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用线性回归方程必过样本中心点，即可求出参数. 【详解】由题意得， 因为，所以， 则该经验回归直线经过样本中心点． 由，得， 所以只有B正确． 故选：B. 6. 已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【详解】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C 7. 一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】所有路线共有，去掉经过再到达的，即可求解. 【详解】移动6次到达,则需要向右移动3次，向上移动3次， 故总的方法有种， 若经过再到达，需要先从原点到，再从到， 此时共有种， 故蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法共有种， 故选：A 8. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 在处取得极大值 【答案】B 【解析】 【分析】确定、的分布图，分析函数的单调性，可判断A选项；求得，比较、的大小，可得出函数的单调性，可判断BCD选项. 【详解】由图可知、的分布如图所示. 易得当时，，所以在上单调递减， 则，A错误； 由，得. 当时，，所以， 所以在上单调递减，所以，即， 所以，B正确； 当时，，则， 所以，在上单调递增，C错误； 当时，，所以， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，在处取得极小值，D错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 观察下列散点图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可. 【详解】散点图①，②中y与x呈负相关，，散点图②中y与x的线性相关性更强， 即，因此； 散点图③，④中y与x呈正相关，，散点图④中y与x的线性相关性更强， 即，因此， 所以． 故选：BD 10. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（ ） 参考公式与数据：，其中：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B. 可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 C. 学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 D. 在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件列出列联表，求出，可判断AB真假；利用条件概率的计算公式进行计算，可判断CD的真假. 【详解】由题可得如下表格：（单位：人） 每周锻炼时间 短跑成绩 合计 合格 不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 根据表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关．故A错误，B正确； 设事件“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”， 事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，短跑成绩不合格”， “学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”， 则， 所以， 所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后， 学生甲短跑成绩合格的概率为．故C正确； 在学生甲短跑成绩合格的情况下， 学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为．故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条切线 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设切点，根据导数过某一点的求切线方程的方法求解；B选项，求导数，根据单调性即可比较大小；C选项，根据B选项的单调性来比较；D选项，构造函数，求导依据单调性比较大小. 【详解】A选项，因为，所以， 设切点坐标为，则，解得，故， 故的图象在点处的切线方程为， 即，A正确． B选项，由， 当时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减，所以，B错误． C选项，由B可知，当且仅当时，等号成立， 令，则化简可得，C正确． D选项，令，则， 故时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以令，则， 整理得，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中含的项的系数为________． 【答案】240 【解析】 【分析】得到展开式通项公式，确定，得到的项的系数. 【详解】展开式通项公式为， 当时，， 当时，， 故展开式中含的项的系数为． 故答案为：240 13. 设随机变量，且，则________；若随机变量满足，则的方差为________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式可得出关于的等式，结合可求出的值，再利用二项分布的方差公式以及方差的性质可求得的值. 【详解】因为随机变量，且，即， 由题意可知，化简可得，解得，则. 因为，所以，则. 故答案：；. 14. 如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有__________种不同的涂色方案． 【答案】96 【解析】 【分析】根据使用颜色的数量进行分类计算即可． 【详解】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法； 若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况， 先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法； 故总的涂色方案有种， 故答案为：96． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目. （1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数； （2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数； （3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数. 【答案】（1）720 （2）36 （3）630 【解析】 【分析】（1）根据相邻问题捆绑法即可求解， （2）（3）根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解. 【小问1详解】 将3个女生看作一个整体与另外4名男生全排列，则有种方法， 【小问2详解】 第一步：从4名男生中选2个人双打有，第二步：从3名女生中选择2个人双打有，第三步：从剩下的2男中选择1个与剩下的1名女生组成混双有种，故总的方法有， 小问3详解】 若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，则总的安排方法有 16 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）利用分类讨论，再结合分离参变量，构造函数求出最小值，即可得参数的范围. 【小问1详解】 当时，，则， 所以有，， 即曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由恒成立可得：， 当时，，因为，所以此时不等式恒成立， 当时，，则原不等式可变形为：， 构造，则， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 即， 此时 所以综上可得满足原不等式恒成立的的取值范围是：. 17. 正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会. （1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求； （2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由古典概型求得概率； （2）由古典概型分别得到的概率，从而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”， 记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”， 则由（1）得，， ， 则的分布列为： 0 100 200 P 则. 18. 某商场举办抽奖活动，每位消费者仅限参加一次，抽奖活动分两个环节，第一个环节是射击，第二个环节是摸球领奖．射击环节是由消费者在商场准备的Ⅰ型和Ⅱ型两种不同型号的射击枪中选择其中一种，再向射击靶射击3次，每次击中射击靶与否相互独立．已知甲选择使用Ⅰ型射击枪射击，且每次击中射击靶的概率均为；乙选择使用Ⅱ型射击枪射击，且每次击中射击靶的概率均为．若甲累计击中射击靶1次，则从a抽奖箱（如图所示）内摸1个球，摸到红球即可获得一个奖品；累计击中射击靶2次或3次，则甲可直接获得一个奖品．若乙累计击中射击靶1次，则从A抽奖箱内摸1个球，摸到红球即可获得一个奖品；累计击中射击靶2次，则从B抽奖箱（如图所示）内摸1个球，摸到红球即可获得一个奖品；累计击中射击靶3次，则可直接获得一个奖品．A抽奖箱与B抽奖箱中的球除了颜色不同之外，大小、质地均相同． （1）若甲累计击中射击靶的次数不少于1的概率为，求p的值； （2）在（1）的情况下，若，记甲、乙各自获得一个奖品的概率分别为，试比较的大小； （3）若，且甲获得一个奖品的概率大于乙获得一个奖品的概率，求p的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意累计击中射击靶的次数服从二项分布即可求解； （2）由题知乙累计击中射击靶的次数也服从二项分布，求出比较； （3）分别计算甲乙获得一个奖品的概率，在根据题意利用函数单调性解不等式即可； 【小问1详解】 设X表示甲累计击中射击靶的次数，则． 根据题意可得， 解得． 【小问2详解】 由（1）得． 设Y表示乙累计击中射击靶的次数，则． ， ． 因为，所以． 【小问3详解】 记事件A为“甲获得一个奖品”，事件B为“乙获得一个奖品”， 则， ， 所以． 因为，所以，则． 令函数， 则， 则在上单调递减． 因为，所以当时，，当时，． 故的解集为，即p的取值范围为． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求在上的最小值； （3）当时，讨论的零点个数. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. （3）答案见解析 【解析】 【分析】 （1）对求导，即可判断函数的增减性；（2）先对求导，令，再对求导，即可得到在上单调递增，从而求解； （3）令，得. 再换元令，则，根据零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以在上单调递减，所以当时，. 【小问3详解】 令，得，即， 所以. 令，则，即①， 当时，由，得在上恒成立， 所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数. 令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， ，当时，，且当时，. 因为，所以. 当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2； 当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为 ，即时，方程①无解，的零点个数为0. 综上，当时，的零点个数为2； 当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为0. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$