2024-2025学年人教版八年级数学下册期末综合复习解答压轴题培优提升专题训练

2024-2025学年人教版八年级数学下册期末综合复习解答压轴题培优提升专题训练（附答案） 1．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， ∴的算术平方根是 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1)； (2)． 2．请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式 的值； (2)已知，求代数式的值． 3．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空） (3)设有理数满足：，则________； (4)已知，求的值． 4．阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ；… (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 5．（1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 6．已知，点D在直线右侧． (1)如图1，若请直接写出和之间的数量关系：　　　　 (2)如图2，若则和有怎样的数量关系？证明你的结论． (3)如图3，若，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． ①若，求的长； ②，求的长． 7．如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． (1)线段与线段的数量关系为：______． (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 8．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，两条街道互相垂直． (1)由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？ (2)求这片绿化区的面积． 9．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 10．为了解A，B两款品质相近的智能玩具在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具各10个，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行了整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，69，72，72，72，73，82 B款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，74，72，72，73 两款智能玩具运行最长时间统计表： 类别 A B 平均数 70 70 中位数 70.5 b 众数 a 67 方差 31.2 26.6      (1)上述图表中a＝__________，b＝__________，m＝__________； (2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若某玩具仓库有A款智能玩具200个、B款智能玩具120个，估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的共有多少个？ 11．在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（每位测试员打分不超过10分），各位测试员打分之和作为该款智能机器人运动能力测试成绩．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p (1)填空：　　　，　　　； (2)通过比较方差，判断测试员对　　　（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； (3)按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 12．如图1，直线与轴、轴分别交于点和点，点在轴负半轴，且． (1)求直线的解析式； (2)为线段上一个动点，过点作轴，交直线于点，若，求此时点的坐标； (3)点是的中点，为直线上的一个动点，连接，若，求点的坐标． 13．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点．将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)直接写出直线的表达式； (2)E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G．当时，求点E的坐标； (3)如图②，若M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 14．小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程（米）与各自的步行时间（分）之间的函数图象如图所示． (1)求和的值； (2)求和的值； (3)小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式． 15．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图，若，求； (3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 16．综合与探究 【问题情境】在中，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，其中，，，是边的中点． 【猜想验证】 （1）如图1，若，，垂足分别是，，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，连接，． ①试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和的面积之和． 17．如图，在矩形中，对角线，交于点O，过O作，交边于点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过E作于F，若，，求的值； (3)过A作于G，交边于点H． ①如图3，当点H在点E左侧时，猜想与的数量关系，并证明； ②如图4，当点H在点E右侧时，直接写出，，之间的数量关系． 18．在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是_____，与的位置关系是_____； (2)如图2、3，当点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图3予以证明或说理）． (3)如图4，当点P在线段上，点E在菱形外部时，连接、，若，，求四边形的面积． 19．探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动． 在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． (1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________．证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_______． (2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． (3)结论拓展：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． 20．已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的周长； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，求的长． 参考答案 1．（1）解：原式 ； （2）解： ． 2．（1）解：∵ ∴ ∴， ∴ 2，即1， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴． 3．（1）解：的有理化因式是， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． （4）解：设，， 则， ∵， ∴，即． 4．（1）解：， 根据材料可知，，， ， ， 故答案为：，； （2）解： （3）解： 5．解：（1） 和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ； （2） ， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中， ， 的长为； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示， ， 则， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即D、P、E在同一条直线上， ， 在中， ， 的长为：． 6．（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下：如图，记的交点为， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，过作于，作于， ∵，， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，过作于，交于， 设，而，，， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， 解得：， ∴． 7．（1）证明：是等腰直角三角形，， ∴， ∴ 故答案为：． （2）和都是等腰直角三角形，，， ，，， ， 连接，如图所示： 在和中，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作于，如图所示： ，，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ． 8．（1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走； （2）解：∵，，， ∴， ∴ 是直角三角形，即， ∵，， ， 答：这片绿地的面积是． 9．（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 10．（1）解：A款智能玩具10个一次充满电后运行时间出现次数最多的是72， 故， B款智能玩具出现在合格中的数量为：个， 则， ， ∴ （2）解：款智能玩具运行性能更好． 理由：虽然两款智能玩具运行最长时间的平均数相同，但款智能玩具运行最长时间的中位数高于款智能玩具，而方差小于款智能玩具，所以款智能玩具运行性能更好（答案不唯一）． （3）解：（个）． 答：估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的大约共有172个． 11．（1）解：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴A款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分， ∴， 故答案为：9；8； （2）解：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 故答案为：B； （3）解：∵A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴综合成绩最高的是B款机器人． 12．（1）解：直线与轴、轴分别交于点和点， 当；当，此时， 点，点， ． ， ， ∴点． 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为； （2）解：设点坐标为， ∴点坐标为， ． ， ， ∴ 此时点坐标为； （3）解：如图，当点在点下方时，过点作交直线于，过点作于，过点作直线于，过点作直线于， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点是的中点，点，点， 点． 设点． ， ， ， ∴ ∴点坐标为； 当点在点上方时，构造同样辅助线： 同理， 点是的中点，点，点， 点． 设点． ， ， ， ∴ ∴点坐标为； 综上所述：点或． 13．（1）解：一次函数，令，则，令，则， ∴，即，， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为；； （2）设，则， ∵轴， ∴点G的纵坐标为， 将代入一次函数得：， ∴，即点G的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：①为矩形的边时，如图，分别过点O、M作交直线于N，作交直线于，在分别过点N、作交直线于P，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ∵，点M为线段的中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N为线段的中点， ∵， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， 将代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线得， 解得， ∴； 综上，为矩形的边时，点N的坐标为或； ②为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴轴， ∵四边形为矩形， ∴轴， ∴点N与点C重合， ∴． 综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为或或． 14．（1）解：由题意知：． 小明的步行速度为米/分． ，． ． （2）解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为米/分． 设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟， 则有， ． ，． （3）解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为， 将，代入， 有， 解得：， （）． 15．（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为边上的中点， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， 连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， ， ， ，， ； （3）解：连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形， 为的中点，为的中点， 设， ， ， ， ， ， ． 16．解：（1）四边形是平行四边形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴和都是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①，． 理由如下： 过点作，过点作，垂足分别是，，连接，，如图1所示： ∴，分别是，的中点， ∴，． 由（1）得四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长到点，使得，连接，，，如图2所示： 由①，可得， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． ∵，， ∴． 17．（1）证明：四边形是矩形， ． 又， 是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ； （2）四边形是矩形， ， ，， 在中， 根据勾股定理，得 ， ， ， ， 为中点， ． ， ， ， ； （3）①猜想：． 证明：方法一：如图1，取中点，连接，， 为中点，为中点， 为的中位线， ． ， ， ． 于， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ， ， ； 方法二：如图2，延长交于，延长，交于点． 四边形是矩形， ，． ． 又， ， ， ． ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． ， ，， ， ， ，即， ； 方法三：如图3，取的中点，连接． 四边形是矩形， ， 为中点， 是的中位线， ， ． 四边形是矩形， ，，， ， ， ． ，于， ． ，，， ， ， ． 又， ． ， ， ； 方法四：如图4，延长交于点，过作于， 四边形是矩形， ，． ， 又， ，即． 于， ， 又四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ． 四边形为矩形， ，，， ， ， 于， ， ， ， ，， ， ， ， ； 方法五：如图5，在上取点，使，连接， 四边形是矩形． ， 又， 是中位线． ，． ， 四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， 于， ， ， ， ． 四边形是矩形， ，． ， ，； 方法六：如图6，延长至，使，连接， 四边形是矩形， ，， 是的中位线， ，． 四边形是矩形， ，，， ， ． 于，， ． ，， ． ， ， ， ， ． 方法七：如图7，连接并延长至点，使，过作于． 四边形是矩形， ， 是的中位线， ，． 四边形是矩形， ， ， ， ． 又， ， ． 四边形是矩形． ，，， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ； ②． 解析：如图8，取中点，连接，， 同理可得，． ， ， ， ， ， ． 18．解：（1），； 解析：如图1，连接， 在菱形中，， ，都是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 延长交于， ， ， ，即， 故答案为：，； （2）（1）中的结论成立； 证明：如图3，连接，与交于点， 由已知，为等边三角形， 在和中，，， 又， ， ， ， ，， 设与交于点， 在中， ， ， 即； （3）如图4，由（2）可知，， ， ， 在中，由勾股定理可得： ， 又在中，由勾股定理可得： ， ， 在中， ， ， ， 又， ， 又， ． 19．（1）解：猜想与的数量关系为，     取的中点，连接， 四 边 形是正方形， ，， 为中点，点为的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ． ， ， 在和中， ， ， 故答案为：，； （2）解：成立，理由如下： 如图，在上取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，， ， ，是等腰直角三角形， ， ． 是的外角平分线，， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （3）如图，延长到，使， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的周长为：； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$