课时作业23 直线与平面所成的角-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂课时作业（高教版2021）

第4章立体几何 课时作业 课时作业23 直线与平面所成的角 [基础过关] 5.如图，设平面a∩B=EF,AB⊥a,CD⊥a, 纠错空间 1.直线a⊥平面a,b∥a,则a与b的关 垂足分别为B,D,且AB≠CD.如果增 系为 加一个条件就能推出BD⊥EF,给出四 A.a⊥b,且a与b相交 个条件： B.a⊥b,且a与b不相交 C.a⊥b D.a与b不一定垂直 2.垂直于以AB为直径的圆所在的平面， C为圆上异于A,B两点的任一点，则下 40444044444444++4+ 列关系不正确的是 () ①AC⊥3：②AC⊥EF; A.PA⊥BC ③AC与BD在B内的正投影在同一条 B.BC⊥平面PAC 直线上： C.AC⊥PB ①AC与BD在平面3内的正投影所在 D.PC⊥BC 的直线交于一点。 3.已知如图，六棱锥P 那么这个条件不可能是 ( ABCDEF的底面是正 六边形，PA⊥平面 A.①②B.②③C.③D.④ 方法总结 ABC.则下列结论不 6.如图，若平面的斜线段长 正确的是 为4cm,它的射影长为 A.CD∥平面PAF 2√3cm,这条直线和这个平面所成的角 B.DF⊥平面PAF 为0，则0的大小是 C.CF∥平面PAB 7.如图，若正四棱柱ABCD-A,B,C,D1底 D.CF⊥平面PAD 面边长为2，高为4，则异面直线BD,与 4.如图，在正方体ABCD-A,B,CD中， AD所成角的正弦值是 M,N分别为AC,AB的中点，则下列 D 说法不正确的是 () A 8.如图，已知PA⊥a, A.MN∥平面ADD,A, AB为PB在平面a B.MN⊥AB 内的射影，BC在平面 C.直线MN与平面ABCD所成的角 a内，且∠PBC=60°， 为45 △ABC为直角三角形，∠ACB=90°， D.异面直线MN与DD,所成的角 ∠ABC=45°，则PB与平面a所成的角 为60 的大小为 ·155· 上数学所展候块C 9.在正方体ABCD A,B,CD1中，E是棱 13.在正方体ABCD-A,BC,D,中，直线 空 DD1的中点，求直线BE与平面 BD与平面AAD,D所成角的正切 间 ABB,A,所成的角的正弦值. 值为 纠错空间 14.在正方体ABCDA,B,CD中，直线AB, 与平面ABCD所成的角等于 15.如图，AB是圆O的直P 径，PA垂直于圆O所在 的平面，M是圆周上任 意一点，AN⊥PM,垂足A 为N. 4444+444+444 求证：∠ABN是直线AB与平面 PBM所成的角. 44444 [能力提升] 10.如图，已知PM⊥平面 ABC,BD⊥AC,则下列 方法总结 关系不成立的是( A.PD⊥AC B.AC⊥PB C.MD⊥PB D.PM⊥AC 11.如图，在三棱锥P-ABCF 中，PA⊥平面ABC AB⊥BC,PA=AB,D 为PB的中点，则下列判 断不正确的是 A.BC⊥平面PAB 4044+44+444444 B.AD⊥PC C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC 12.已知P为△ABC所在平面外一点，O 为点P在ABC上的射影，若PA⊥ BC,PB⊥AC,则点P为△ABC的 ( 14448414+544 A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 ·156·世数学拓宸候快（© 2.B[如图所示，在直线m上任取 13.解析：BB,到平面AA,DD的距离即为点B到平面 一点A,过A作直线'∥1，则∩ AA,D,D的距离，也就是BA的长度，因为BA=10,故 m=A,.直线和直线m确定一 答案为10. 个平面.a⊥l,∥l,a⊥1. 答案：10 又a⊥m,'∩m=A,l二a,n二a,a⊥a,同理可证b⊥a, 14,解析：连接AQ,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD, .a∥b.] 又因为PQ⊥QD,PA∩PQ=P,所以QD⊥平面PAQ 3.A[在图①中.SG1⊥G1E,SG1⊥GF,.SG⊥GE,SG 所以AQ⊥QD,即∠AQD最大为90°时，此时Q为BC ⊥GF,.SG⊥平面EFG.] 的中点，只有一个，故BC=2AB=2. 4,A[直线AA,到平面BC的距离就是，点A到平面BC 答案：2 的距离，即AB的长，因为AB=5.] 15.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC,BC二平而ABC,所 5.A[如图所示，因为PC⊥平而 以PA⊥BC.因为AB是圆O的直径，C为圆上一点.所 ABC,所以PC⊥CM,则△PCM 以BC⊥AC.又因为PA∩AC=A,AC,PA三平面PAC, 所以BC⊥平面PAC, 是直角三角形，故PM=PC十 (2)如图，过，点A作AD⊥PC于点P CM,所以当CM⊥AB时，CM最 D,因为BC⊥平面PAC,AD三平面 小，此时PM也最小.由条件知 PAC,所以BC⊥AD, AC=4,BC=4√3， 又PC∩BC=C,PCG平面PBC,BC D C 故CM的最小值为2W5,又PC 三平面PBC,所以AD⊥平面PBC, 4,则PM的最小值为√4+(23)-2√7.] 所以AD即为点A到平面PBC的距A 离.所以依题意知∠PBA=45°，所以 0 6.解析：由线面垂直的定义可知，L平面a,1垂直于平面a 内所有直线，故⊥m PA=AB=2,AC=1,可得PC=5.国 答案：⊥ 为AD·PC=PA·AC,所以AD=2X1_25,即点A到 5 7.解析：图为AF⊥平面ABCD,DEL平面ABCD,所以AF 5 ∥DE.因为AF=DE,所以四边形ADEF是平行四边 形，所以EF=AD=6. 羊面PC的距高为 答案：6 课时作业23直线与平面所成的角 8.解析：由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个 1.C[:b∥a∴b平行于a内的某一条直线，设为b,:@ 时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的条件，故由 ⊥平面a,且二平面a,∴a⊥b,∴a⊥b,但a与b可能 ②④可推出m⊥只.即②④是mL月的充分条件，故当m 相交，也可能异面.门 ⊥3时，应满足的条件是②④. 2.C[由PA⊥平面ACB→PA⊥BC,故A不符合题意：由 BC⊥PA,BC⊥AC,PA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC, 答案：②④ 所以BC⊥PC,故B,D不符合题意；无法判断AC⊥PB, 9.证明：因为EA⊥a,a∩3=l, 故C符合题意.] 即l三a,所以l⊥EA.同理l⊥EB. 3.D[A中，因为CD∥AF,AFC平面PAF,CD丈平面 又EA∩EB=E,所以I⊥平面EAB.因为EB⊥B,aA, PAF,所以CD∥平面PAF成立：B中，因为ABCDEF 所以EBLa,又a⊥AB,EB∩AB=B.所以a⊥平面 为正六边形，所以DF⊥AF.又因为PA⊥平面ABC EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥L. DEF,所以PA⊥DF,又因为PA∩AF=A,所以DF⊥平 10.D[若a二B,b⊥平面A,可证得aLb:若a∥B,过a作 面PAF成立：C中，因为CF∥AB,ABC平面PAB,CF 平面a,a∩3=c,b⊥平面B,c二3，则b⊥c,a∥c,于是b⊥ 生平面PAB,所以CF∥平面PAB:而D中CF与AD不 a.故答案为D.] 垂直.] 11.D[依题意知AA⊥平面ABCD,∠B,AB=60°，A,C∥ 4.D[如图，连接BD,A,D,由M. 平面ABCD,所以A1A即为AC到底面ABCD的距离. N分别为AC,A,B的中点知MN 在Rt△ABB,中，∠B,AB=60°，BB,⊥AB,AB=1,所以 ∥A,D.因为A,D二平面B AA=BB=V3.] ADD1A,MN车平面ADD1A,所 12.B[因为VA=VB,AD=BD.所以VD⊥AB.因为VO 以MN∥平面ADD,A1,故A正 确：易知AB⊥平面ADD,A1,AD A,2 D ⊥平面ABC,AB二平面ABC,所以VO⊥AB.又VO∩ VD=V,VO二平面VCD,VD二平面VCD,所以AB⊥ 三平面ADD,A1,所以AB⊥AD.又 平而VCD,又CD三平面VCD,VC二平面CD,所以 MN∥AD,所以AB⊥MN,故B正 AB⊥VC,AB⊥CD.又AD=BD,所以AC=BC(线段 确：易知直线MN与平面ABCD所成的角即为直线 垂直平分线的性质).因为VO⊥平面ABC,所以V, A,D与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确；易知 MN与DD1所成的角即为AD与DD,所成的角，为 =子Se·0,因为AB⊥平面VCD,所以V-m 45°，故D错误.] a-m+V,-m=号Sam·BD+3Sam·AD=号 5.D[根据线面垂直的判断知，条件①②③都能够判断 BD⊥EF垂直，只有④不能够判断.] Sam·(BD+AD)=号Sam·AB,所以号Sa 6.解析：设斜线段所在的直线与平面所成的角为0，则cos0 0=号Sm·AB,脚Sm·AB=Sar·V0.综上 -兴--要所以=吾 知，A、C、D正确.] 答案：日 ·182. 参考答案 课时作亚乡 7.解析：连接D,C,,AD∥BC,∴∠D,BC(或其补角)即为 13.解析：连接AD,因为AB⊥平面AAD,D,所以直线 异面直线BD,与AD所成的角，在 D BD1与平面AAD1D所成的角为∠AD,B.设正方体的 △DBC中， B ,正四棱柱ABCD一AB,C,D,的底 校长为1，剥AD,=E,所以an∠AD,B=- 22 面边长为2，高为4，∴.DB=26,BC =2,D,C=25,D,B=BC+D,C, 答案竖 ∠D,CB=9o∴sin∠D,BC=DS 14,解析：如图所示，因为正方体 D DB ABCDA1B,CD,中，B,B⊥平 2√6 ，故并面直线BD,与 -25-30 面ABCD,所以AB即为AB,在 平面ABCD中的射影，∠B,AB AD所成角正孩位是丽。 即为直线AB,与平面ABCD所 D 成的角.由题意知，∠B,AB= 答案： 45°，故所求角为45°. 答案：45 8.解析：因为PA⊥a,AB为PB在平面a内的射影，所以 15.证明：设围O所在的平面为a,因为PA⊥a,且BM车a, PB与平面a所成的角为∠PBA.设AC=a,在R1△ABC 所以PA⊥BM.又图为AB为⊙O的直径，点M为圖周 中，∠ABC=45°，所以AC=BC=a,AB=2a.又因为PA 上一点，所以AM⊥BM.由于直线PA∩AM=A,所以 ⊥a,BC二平面a,所以PA⊥BC,又AC⊥BC,PA∩AC=A, BM⊥平面PAM,而AN车平面PAM.所以BM⊥AN, 所以BC⊥平面PAC,又PCC平面PAC,所以PC⊥BC 又因为AN⊥PM,所以AN与PM,BM两条相交直线 在R1△PBC中，∠PBC=60°，BC=a,所以PB=2a,在 都垂直.故AN⊥平面PBM.即∠ABN是直线AB与 R△PAB中，∠PBA=铝-要-号所以∠PBA 平面PBM所成的角. 课时作业24两平面平行 L.A[直线a可能与B平行，也可能在B内，故A不正确； 三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面， 答案： 那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确； 依据平面与平面平行的性质定理可知，B,D两个命题也 9.解：取AA,的中点M,连接EM D. 正确.] BM.因为E是DD的中点，四边形 G 2.C[平面a∥平面B.直线l∥a.则lB或l二] ADDA为正方形，所以EM∥AD.B, M E 3.C[因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED,BF, 又在正方体ABCD-A1B,CD 所以ED,∥BF,同理D,F∥EB,所以四边形D,EBF是 中，AD⊥平面ABB,A,所以EM 平行四边形.] ⊥平面ABB,A1,从而BM为直线 4.B[因为平面A,B,C1∥平面ABC,平面AB,ED∩平 BE在平面ABB,A1内的射影，B 面AB,C=AB·平面ABED∩平面ABC=DE.所 ∠EBM即为直线BE与平面 以AB,∥DE又图为A,B,∥AB,所以DE∥AB.] ABB1A:所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD 5.D[A中，a,b可能平行也可能相交：B中可能b∥a,b川 2,BE=√2+2+1F=3.于是在R1△BEM中， B,也可能b二a或b二B:C中若加上一条件a∩b=A,则a sin∠EBM= =号，即直线5E与平面ABB,A所成 ∥3：由面面平行的性质知D正确.] BE 6.解析：b,c二3，a二a,a∥b∥c,若a∥3，满足要求：若a与3 的角的正孩值为号 相交，交线为l,b∥c∥l,a∥1，满足要求，故答案为相交 或平行 10.C[因为PM⊥平面ABC,AC二平面ABC,所以PM 答案：相交或平行 ⊥AC,D正确：又因为BD⊥AC,PM∩BD=M,所以 AC⊥平面PBD,又PDC平而PBD,所以AC⊥PD,A 7.解析：：a二a,a∥3，.a∥B,a与9 D 无公共点，④正确；如图，在正方体 正确：同理，AC⊥PB,B正确.] 11.D[因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又：AB⊥ 中，令线段B,C所在的直线为a,显A BC,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,故A正确：由 然a与B内无数条直线平行，故②正 D BCL平面PAB,得BC⊥AD,图为PA=AB,D为PB 确：又AB⊥B,C,,故在3内存在直 B A 的中点，所以AD⊥PB,PB∩BC=B,从而AD⊥平面 线与a垂直，故①③错误. PBC,故C正确：因为PC三平面PBC,所以AD⊥PC 答案：②④ 故B正确：在平面PBC中，PB⊥BC,所以PB与CD不 8.解析：由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的 垂直，所以PB不垂直于平面ADC,故D不正确.] 交线是平行的. 12.A[如图，因为P为△ABC所在平面 答案：平行 外一点，O为点P在平面ABC上的射 9.证明：E,E分别为AC,AC中点，AELE,C. 影，所以POL平面ABC,又因为BC□ 四边形AE,CE为平行四边形.AE∥EC,EC□ 平面ABC,所以BC⊥PO,因为PA 平面BEC,AE,生平面BEC.AE∥平面BEC.同理 BC,PA∩PO=P,所以BC⊥平面A B,E∥平面BEC.又AE∩BE,=E,∴.平面AB,E PAO,因为AO平面PAO,所以AO ∥平面BEC. ⊥BC,同理可得BO⊥AC,从而O是 10.D[由于a∥B,a二a,M车3，过M有且只有一条直线与 △ABC的垂心.] a平行，故D项正确.] ·183