2.4.3 向量内积的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

色政学石展模快（马 题型利用向量共线求参数的值 通法通性 例3已知a=(1,2),b=(一3,2)，当k为何 对于根据向量共线的条件求值的问题，一 值时，ka+b与a一3b平行？平行时它们是 般有两种处理思路：一是利用共线向量定 同向还是反向？ 理a=入b(b≠0)列方程组求解；二是利用 [思路点拨]先求出两向量的坐标，再利 向量共线的坐标表达式xy2一x2y1=0直 用向量共线的坐标表示列出k的方程，再 接求解. 求k的值，也可以利用共线向量定理求解. ⊙[变式训练] 3.向量OA=(4,3),OB=(12,k),OC=(k, 10),当k为何值时，A,B,C三点共线？ 》 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a等于 3.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b, 则a十b等于 ( A.(-2,1) B.(2,-1) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(2,0) D.(4,3) C.(3,-1) D.(-3,1) 2.若a=(3,一2)，b=(2,5),则-2a十3b= 4.已知向量a=(2.x十1,4)，b=(2-x,3),若 a∥b,则实数x的值等于 ©温馨提 A.(0,19) B.(6,15) 学习至此，请完成配套训练 课时作业9 C.(3,19) D.(12,11) 2.4.3 向量内积的坐标表示 课程标准 素养解读 1.了解向量坐标的内积运算. 1.通过向量内积运算，主要提升数学运算核心素养. 2.掌握利用向量的内积解决长度、夹2.通过内积求模长、夹角、垂直的坐标表示，主要培养 角、垂直问题。 逻辑推理核心素养 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 必备知识 已知两个向量a=(x1,y1),b=（x2,y2）, [知识点一]向量内积的坐标表示 则a,b分别用坐标怎样表示？ 设平面向量a=(x1y1),b=（x2,y2),则a·b ,即两个向量的内积等于它们对应 坐标的乘积的和. ·26· 第2章平面向量 [知识点二]向量内积的坐标表示的相关结论 预习自测 设平面向量a=(x1,y1),b=(x2y2) 1.已知a=(一3,4)，b=(5,2),则a·b的值是 L.la=√a·a=,+y; A.23 B.7 C.-23 D.-7 2.若a=(-2,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= 2.cos(a,b)-TalTbl a·b A.-4B.4 C.3 D.-3 3.a⊥b=a·b=0台x1x2十y1y2=0. 3.若a=(4,-3),b=(2,4),则a·b= 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一“平面问量内积的坐标运算 题型利用坐标运算解决向量模长问题】 例1(1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a 例2(1)已知向量a=(一2，一1)，b=(2,一4). +2b)·(a-3b)= ( 求a-|b,a-bl: A.10B.-10 C.3 D.-3 (2)已知A(1,0),B(0,1),C(2,5).求2AB (2)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a· +ACI,12 AB+ACI. (2a-b)=0,则k= ( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 [思路点拨](1)利用公式|a=√x2+y [思路点拔]依据内积的坐标运算公式直接 求解， 求解 (2)利用公式|AB1=√(x2-)+(2一M) 通法通性 求解。 平面向量内积坐标运算的两条途径 进行向量的内积坐标运算的前提是牢记有 关的运算法则和运算性质.解题时通常有 两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直 接进行内积运算；二是先利用内积的运算 律将原式展开，再依据已知计算 ⊙[变式训练] 1.求下列各组向量的内积 (1)a=(4,-3),b=(-1,3): (2)a=(3,-1),b=(1,-5): (3)a=(1,2),b=(2,-4). 通法通性 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a2=a2,将向量的模的运算转化 向量与向量的数量积的问题。 (2)坐标表示下的运算 若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2 +y2,于是a=√x+y. 27· 世数学拓辰校快（上） ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 2.已知a=(4,-3),b=(1,2),求|a1, 3.已知向量a=(3,4),b=(-2,1),求a·b、a、 la+bl,a-2b1. |bl、cos(a,b). 题型利用苹面向量的坐标解决夹角问题 题型四 向量垂直的坐标表 例3已知向量a=(1,-3),b=(2,一6)求a·b, 例4已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka十b al,bl.cos(a,b),(a,b). 与a一3b垂直，求k的值， 「思路点拨]利用公式逐一求解 汇思路点拨]本题需要利用垂直条件a· b=0台a⊥b台x1x2十y1y2=0. 通法通性 两向量a=(x1y),b=(x2y2)垂直的充 要条件为1x十yy2=0,注意构造方程. ⊙[变式训练] 4.判断下列各组向量是否垂直： 通法通性 (1)a=(2,-3),b=(-6,-4):(2)a=(0, 因为两个非零向量a,b的夹角0满足0°≤ -1),b=(-1,2). 0180,所以用m0=日治未判新，可 将0分五种情况：c0s0=1,0=0°：c0s0 0,0=90°：cos0=-1,0=180°：cos0<0,且 cos0≠-1,0为钝角；cos0>0,且cos0≠ 1,0为锐角 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.已知向量a=(2,一3)，b=(一1,5)，则a·b 3.若a=(7,-2),b=(4,2),则a-b= ( ( A.5 B.6 C.7 D.8 A.13 B.7 C.-17 D.17 4.已知向量a=(12,一5)，向量b=(4,3),则 2.已知a=(x,4),b=(4,一1)，a⊥b,则x= cos(a,b〉= ( C温攀提 A.2 B.-2 C.1 D.-1 学习至此，请完成配套训练 课时作业10 ·28·参考答案 [例2][解]AB=(0,4)-(2,1D=(-2,3), 3.A[,a∥b,.2×(-2)-1×x=0. CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6). ∴x=-4,则b=(一4，-2)， ,(-2)×(-6)-3×4=0, a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).] AB,CD共线. 4.解析：由a∥b得3(2x十1)=4(2-x),解得x=之 又CD=-2AB, .AB,CD方向相反. 答案：日 综上，AB与CD共线且方向相反. 2.4.3 向量内积的坐标表示 变式训练 课前·预习学案 2.解：b-c=(3,3), 必备知识知识点一 ,.a=(6,6)=2(3,3)=2(b-c). x1x2十y1y2 .b一c与a共线. 知识点二 [例3][解]法一a+b=k(1,2)+(一3,2) x1x2十y1y2 =(k-3.2k十2)， a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 2+四+ 预习自测 :(ka+b)∥(a-3b), 1.D[a·b=(-3)×5+4×2=-7.] ÷-4k-3)-10(2k+2)=0.k=-3 2.B[由题意得一2×6+3m=0,所以m=4.] 3.解析：a·b=4×2+(-3)×4 当=一时， =8-12=-4. m+b=(k-3,2k+2)= 答案：一4 课堂·互动学案 .a十b与a-3b反向. [例1]解：(1)a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a 法二同法一得ka十b=(k-3,2k+2), +2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10. a-3b=(10.-4) (2)2a-b=(5,2-k),a·(2a-b)=10+2-k=0, 当k0十b与a一3b平行时，存在唯一实数入， k=12. 使ka+b=A(a-3b. 答案：(1)B(2)D 由(k-3,2k+2)=1(10.一4)， 变式训练 (k-3=10x, 1.解：(1)a·b=4×(-1)+(-3)×3=-13. 2k+2=-4入. 解得长=入=一子 (2)a·b=3×1+(-1)×(-5)=8. 当k=一吉时，血十b与a一3动平行，这时 (3)a·b=1×2+2×(-4)=-6. a+b=-a+b=-号 3(a-3b), [例2][解](1)a=√/(-2)2+(-1)2=√5， 1b1=√22+(-4)2=2N5, a=-号<0a+b与0-3b反向。 所以|a-|b=5-25=-√5：因为a-b=(-4,3). 变式训练 所以|a-b=√(-4)2+32=5. 3.解：AB=OB-OA=(8,k-3), (2)图为A(1,0),B(0,1),C(2,5),所以1AB|= AC=OC-OA=(-4.7). √0-1)2+(1-0-2.4C=√(2-1)2+(5-0 若A,B,C三点共线，则AB与AC共线 =√26，所以12AB1+1AC1=21AB+1AC1=22+ ∴.8×7-(k-3)(k-4)=0,即k2-7k-44=0. 解得k=一4或k=11, √26：因为AB-(-1,1),AC-(1,5),则2A店+AC 故当k的值为一4或11时，A,B,C三点共线. 2(-1,1)+(1,5)=(-1,7).所以|2AB+AC1 随堂·步步夯实 √(-1)2+7z=√50=52. 1.B[b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).] 变式训练 2.A[-2a+3b=[(-2)×3+3×2,(-2)×(-2)+3× 2.解：a=√42+(-3)2=5： 5]=(0,19).] a十b=(4,-3)+(1,2)=(5,-1), ·97· 世数学佑辰模快（上） ∴.a+b=√52+(-1)2=√/26： 预习自测 ,a-2b=(4,-3)-2(1,2)=(2,-7) 1.C[椭圈方程的特点是x2和y2的系数不相等.] .a-2b1=√22+(-7)z=√/53. 2.C[由题意知c=8,2a=20.∴a=10,∴.b2=a2-c2=36, [例3][解]a·b=1×2+(-3)×(-6)=20. 北精属的方程为品十需-1山】 1a=/12+(-3)2=√/10. 3.B[a2=25,b2=9,c2=25-9=16,焦点在x轴上.] 1b1=√22+(-6)2=2√/10. 课堂·互动学案 .20 cos a.b)-ab-10x21 (a6)-0. [例门[解]由题高知A,B在搭周写+若-1上，故有 变式训练 |AF1I+|AF2|=2a=10,|BF1|+1BF2|-2a=10. 3.解：a·b=3×(-2)+4×1=-2. IAF2|+|BF2|=|AB.所以△AFB的周长为|AF:+ |a|=√a·a=√x+y=√32+4=5.同理，|b| BF+1ABI=1AF1+1BF+AF2+1BF21= -后maw-i治成-2 (AF1+|AF21)+(BF1|+|BF21)=2a+2a=20. 变式训练 [例4][解]如+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), 1.D[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a一2 a-3b=(12)-3(-3,2)=(10,-4).又ka+b与a-3b =2×5-2=8.] 垂直，故(ka+b)·(a-3b)=0.即(k-3)×10+(2k十2) [例2][解](1)由题意，16>9，.a2=16,b2=9,c2=a2 ×(-4)=0,得k=19. 一b2=16一9=7，c=√7.∴.焦点在x轴上，焦点坐标为 变式训练 F(-7,0),F2(7,0),焦距F1F2=27. 4.解：(1)a·b=2×(-6)+(-3)×(-4)=0,所以a⊥b. (2)a·b=0×(-1)+(一1)×2=一2≠0，所以a与b不 (2花2r+=8化为标准方程为号+管-1.：8>4， 垂直 ∴a2=8,b2=4,c2=a2-b2=8-4=4,.c=2.∴.辅圆的 随堂·步步夯实 焦点在y轴上，焦点坐标为F1(0,一2)，F2(0,2),焦距 1.C[a·b=2×(-1)+(-3)×5=-17.] |FF2=4 2.C[由题意得4x十4×（一1）=0.故x=1.] 变式训练 3.A[由题意得a-b=(7-4,-2-2)=(3,一4). 2.解：(1)图为25>16，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a2= 所以a-b1=√32+(-4)2=5.] 25,b=16,则c2=a2-b2=25-16=9,可求出a=5,b= 4.解析：a=122+(-5)2=13. 4,c=3. 1b=√/42+32-5. (2)因为100>64，所以椭圆的焦，点在y轴上，并且a2= ab-12x4+（-5X3=3.oa,b=0 100,b2=64,则c2=a2-b=100-64=36,可求出a=10, b=8,c=6. 3333 13×565 [例3][解](1)：椭圆的焦点在x轴上，设它的标准 答案需 方程为导+若-1o>b>0.72a=10i0=5,又：c 第3章圆锥曲线 4,.2=a2一2=52一42=9.∴.所求椭圆的标准方程为 3.1椭圆 云+号-1 3.1.1椭圆的标准方程 (2)精圆的焦点在y轴上“设它的标准方程为号+ a2十 课前·预习学案 =1(a>b>0).·辅圆经过点(0,2)和(1,0)，. 必备知识知识点一 焦点 +-1 a2=4 思考 ，→ 1.[提示]点的轨凌是线段FF2 a2=12=1' 01 故所求精圆的标准方程为上+ 2.[提示]当距离之和小于F:F2时，动点的轨透不存在. x2=1. ·98·