2.4.2 向量线性运算的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

世数学拓辰校快（上） > 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.若a=-4i+5j,则向量a的坐标是( 3.若A(2,3),B(3,1),则AB的坐标为( A.(4,5) B.(-4,5) A.(-1,2) B.(3,3) C.(4,-5) D.(-4,-5) C.(1,2) D.(1,-2) 2.若点A的坐标为(5，一2)，则OA的坐标为 4.若A(一1,4)，则AO的坐标为 A.(5,2) B.(5,-2) C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 课时作业8 C.(-5,2) D.(-2,5) 2.4.2 向量线性运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.会用向量的坐标形式进行向量1.通过向量和、差和数乘的坐标表示的应用，主要提升 运算. 数学运算核心素养 2.会利用向量的坐标判定两个向量平2.通过向量坐标解决有关向量共线、垂直等问题，逐步 行或垂直 提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养」 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 预习自测 对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),当a 1.已知a=(3,5),b=(-3,2),则a十b ∥b时，是否可以用坐标表示？如何表示呢？ ( A.(8,-1) B.(0,7) 必备知识 C.(7,0) D.(-1,8) [知识点一] 平面向量的坐标运算 2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向 设向量a=(x1y),b=(x2y2),A∈R,则有： 加法 a+b= 量a-b 减法 a-b= A.(-2,-1) B.(-2,1) 数乘 a=(1x1,入y1),A∈R C.(-1,0) D.(-1,2) [知识点二]平面向量平行的坐标表示 3.下列各组向量中，共线的是 对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),都有 A.a=(-2,3),b=(4,6) a∥b台 B.a=(2,3),b=(3,2) 2思考当b=0时，上述式子还成立吗？ C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4) ·24· 第2章平面向量 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型向量线性运算的坐标表宗 题里“向量线性运算的元荷应用 例1设a=(3,-2),b=(-2,1),求： 例2已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判 (1)a+b;(2)a-b:(3)3a-2b 断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方 [思路点拨]直接利用坐标运算性质求解。 向相同还是相反？ 汇思路点拨]利用向量共线的坐标表示进 行判断. 通法通性 平面向量坐标运算的方法 通法通性 若已知向量的坐标，则直接应用两个向量 (1)利用向量共线定理（几何）或向量共线 和、差和内积的运算法则进行， 坐标的条件（代数）进行两向量是否共 ⊙[变式训练] 线的判断. 1.已知a=(-1,2),b=(2,1),求： (2)利用b=入a中入的正负判新a,b同向 12a+3b:(2)a-3b:(3)2a-b, 还是反向， ⊙[变式训练] 2.已知a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则b-c与 a共线吗？ ·25· 色政学石展模快（马 题型利用向量共线求参数的值 通法通性 例3已知a=(1,2),b=(一3,2)，当k为何 对于根据向量共线的条件求值的问题，一 值时，ka+b与a一3b平行？平行时它们是 般有两种处理思路：一是利用共线向量定 同向还是反向？ 理a=入b(b≠0)列方程组求解；二是利用 [思路点拨]先求出两向量的坐标，再利 向量共线的坐标表达式xy2一x2y1=0直 用向量共线的坐标表示列出k的方程，再 接求解. 求k的值，也可以利用共线向量定理求解. ⊙[变式训练] 3.向量OA=(4,3),OB=(12,k),OC=(k, 10),当k为何值时，A,B,C三点共线？ 》 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a等于 3.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b, 则a十b等于 ( A.(-2,1) B.(2,-1) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(2,0) D.(4,3) C.(3,-1) D.(-3,1) 2.若a=(3,一2)，b=(2,5),则-2a十3b= 4.已知向量a=(2.x十1,4)，b=(2-x,3),若 a∥b,则实数x的值等于 ©温馨提 A.(0,19) B.(6,15) 学习至此，请完成配套训练 课时作业9 C.(3,19) D.(12,11) 2.4.3 向量内积的坐标表示 课程标准 素养解读 1.了解向量坐标的内积运算. 1.通过向量内积运算，主要提升数学运算核心素养. 2.掌握利用向量的内积解决长度、夹2.通过内积求模长、夹角、垂直的坐标表示，主要培养 角、垂直问题。 逻辑推理核心素养 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 必备知识 已知两个向量a=(x1,y1),b=（x2,y2）, [知识点一]向量内积的坐标表示 则a,b分别用坐标怎样表示？ 设平面向量a=(x1y1),b=（x2,y2),则a·b ,即两个向量的内积等于它们对应 坐标的乘积的和. ·26·数学I展快(G)上) t## 法二:设点D坐标为(x,v),由(1)知,AD-(1,3),又A .cosa.6 (-1,-2),所以(x+1,y+2)=(1,3), 即a与b的夹角为60{ '所以点D坐标为(0,1). y+2-3, y-1, 随堂·步步夯实 变式训练 1.B [a·b-allblcos(a,b-3x②×cos45*-3.] 2.解:PQ-(-2,7)-(3,5)-(-5,2);QP-(3,5)-(-2, 2.C a·b=la|· blcos(a,b)=12×cosa,b)=-6,所 7)-(5.-2). 随堂·步步夯实 3.B [因为AB·AC-0,所以AB1AC,于是△ABC是直 1.B a--4i+51-(-4,5)] 角三角形.] 2.B[:O(0,0),A(5,-2),OA=(5,-2)-(0,0)=(5 -2.] 3.D [AB=B(3,1)-A(2,3)=(3-2,1-3)=(1,-2).] 答案:0* 4.解析:A0-(0,0)-(-1,4)=(1,-4). 2.4 向量的坐标表示 答案:(1,一4) 2.4.1 向量的坐标表示 2.4.2 向量线性运算的坐标表示 课前·预习学案 课前·预习学案 必备知识 知识点一 (x,y)(z,y) 必备知识 知识点一 (x+x,+y)(x1-x2,-y2) 知识点二 知识点二 (x2-x1,y2-y1) 思考 [提示]不相同,区别为:(1)表示形式不同:向量a 132-y1x2-0 思考 [提示]成立. 一(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有 等号。(2)意义不同. 预习自测 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的 1.B [a+b-(3,5)+(-3,2)=(3-3,5+2)=(0,7).] 位置,向量a一(x,y)的坐标(x,y)即表示向量的大小,也 #[。-。#-()-(,--# 2. D 表示向量的方向. 预习自测 (1-2.+)-(-1.2). 1.D [a--2i-3j=(-2,-3).] 3.D [A中-2X6-3X4+0;B中2$2-3X3+0;C+1 2.B [:A(3,-1).:OA-(3,-1).] $14-(-2)×70;D中(-3)X(-4)-2$×6-0.] 3.解析:因为A-(-3,4),所以OA-(3,一4),从而点A 课堂·互动学案 的坐标为(3,一4). [例1][解](1)a+b-(3,-2)十(-2,1)=[3十(-2), 答案:(3,-4) (-2)+1]-(1,-1). 课堂·互动学案 (2)a-b=(3,-2)-(-2,1)= 3-(-2) [例1] [解] a=-2i+3j=(-2,3);b-3i+j-(3,1);c -2-1]-(5,-3). -2-1-(2,-1). (3)3a-2b-3(3,-2)-2(-2,1) 变式训练 =(9,-6)-(-4,2)-(13,-8). 1.解:OA-(3,0) OB-(3.1).0C=(-2.2),0D-(-1,-2) 变式训练 OE-(2,-2). 1.解:(1)2a+3b-2(-1,2)+3(2.1) [例2][解](1)因为A(-1,-2),B(3,-1),C(4,2),所 -(-2,4)+(6,3)-(4,7) 以AB-(3,-1)-(-1,-2)=(4,1), (2)a-3b-(-1,2)-3(2,1) A-B-(4.2)-(3.-1)=(1,3). =(-1,2)-(6,3)-(-7,-1). (2)法一:由(1)知,AD-(1,3),又因为OA-(一1,-2) 所以O-O+AD -(-,1)-(,。)-(-,) 一(-1,-2)十(1,3)-(0,1),所以点D的坐标为(0,1). .96. 参考答案 [例2] [解] AB-(0,4)-(2,1)=(-2,3), 3.A :a/b,2x(-2)-1= CD-(5,-3)-(1,3)=(4,-6). '.x=-4,则b-(-4,-2), ·(-2)X(-6)-3×4-0. a+b=(2,1)+(-4,-2)-(-2,-1).] .AB,CD共线 4.解析:由a/b得3(2x十1)-4(2-x),解得x= CD--2AB, 答案 .AB,CD方向相反 综上,AB与CD共线且方向相反。 2.4.3 向量内积的坐标表示 变式训练 课前·预习学案 2.解:.b-c-(3,3), 必备知识 知识点一 ..=(6,6)-2(3,3)-2(b- ) x1x2+y1y2 '.b-c与a共线. 知识点二 [例3] [解] 法一 ha十b-(1,2)十(-3,2) x1x2+y1y2 -(-3,2+2). 2. “#1}:、+} a-3b-(1,2)-3(-3,2)=(10,-4) 预习自测 “(ha+b)/(a-3b). 1.D [a·b-(-3)x5+4x2=-7.] ·-4(-3)-10(2+2)-0'- 2.B [由题意得-2×6+3m-0,所以m=4.] 3.解析:a·b-4×2十(-3)×4 当-一 -8-12--4. #a+b-(-3.26+2)-(-10.4)-(10,-4). 答案:-4 课堂·互动学案 'a十b与a-3b反向. [例1解:(1)a+2b-(4,-3),a-3b-(-1,2),所以(a 法二 同法一得a十b-(一3,2十2). +2b)·(a-3b)-4x(-1)+(-3)x2--10. a-3b-(10,-4) ($2)2a-b-(5,2-b),a·(2a-b)-10+2-b- 当组十b与a一3平行时,存在唯一实数入 .-12. 使ba十b-x(a-3b). 答案:(1)B (2)D 由(-3,2+2)-a(10,-4). 变式训练 解得-一一 1.解:(1)a·b-4×(-1)+(-3)x3--13 12h+2--4. (2)a·b-3×1+(-1)×(-5)-8. (3)a·b-1×2+2x(-4)--6. a+b--1a+b--(a-3b), [例2][解](1)a-(-2)+(-1)-、5 b-V2+(-4)-25, a--1<o.:.a+b与a-3b反向. 所以al- bl=5-25=-5;因为a-b=(-4,3). 变式训练 所以a-bl- (-4)*+^{②-5 3.解:AB-OB-OA-(8,b-3), (2)因为A(1,0),B(0,1),C(2,5),所以|AB1- A--0-(-4,7). (0-1)+(1-0)-2.ACl-(2-1)+(5-0){ 若A,B,C三点共线,则AB与AC共线 -26,所以|2AB|+|AC|-2lAB|+lAC|-22+ :.8$7-(-3)(-4)-0,即 2-7-44-0 26;因为AB=(-1,1),AC-(1,5),则2AB+AC 解得--4或-11. 2(-1,1)+(1,5)=(-1,7).所以|2AB+ACl 故当k的值为一4或11时,A,B,C三点共线 随堂·步步夯实 (-12+72-50-5② 1.B [b-a-(3,1)-(1,2)-(2,-1).] 变式训练 2.A [-2a+3b-[(-2)×3+3x2.(-2)×(-2)+3$ 2.解:lal-42+(-3)2-5; 51-(0,19).1 .a+b-(4,-3)+(1,2)-(5,-1). .97.