2.4.1 向量的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

世数学拓辰模快（上） 2.4向量的坐标表示 2.4.1 向量的坐标表示 课程标准 素养解读 1.了解平面向量的正交分解。 通过平面向量的坐标运算，主要提升数学 2.掌握向量的坐标表示. 运算核心素养」 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a, 我们知道，数轴上的，点与实数是一一对应 都存在着一对有序实数(x,y)使得a=i十 的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对 yj.我们把有序实数对(x,y)称为向量a的坐 (x,y)是一一对应的，(x,y)是点P的坐标.那 标.方便起见，常把向量a用它的坐标 么平面直角坐标系中所有以原，点(0,0)为起 表示，即a=.其中0=(0,0)，i=(1. 点、以点P(x,y)为终点的向量与有序实数对 0),j=(0,1). (x,y)是否也是一一对应的？如图所示， [知识点二]已知起点和终点的向量的坐标 表示 P.y) 以点A为起点的向量AB,记点A与点B的坐 标分别为(x1y)和(x2y2),则有 AB=OB-OA=(x2i+y2j)-(xi+yj) =(x2-x1)i+(y2-y1)j. 即AB 必备知识 ②思考向量坐标与点的坐标相同吗？其区别 [知识点一]平面向量的坐标表示 是什么？ 在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴正 方向上的单位向量i、j,以原点O为起点作向 量OP,点P的坐标为(x,y), P(x.y) 预习白测 1.若a=一2i-3j,则向量a的坐标是( A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) ②思考过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足 2.若点A的坐标为(3，一1)，则OA的坐标为 分别为M、N.由于向量OM与i共线，并且 ( OM的模等于|x|,故OM=i;同理可得，ON A.(3,1) B.(3,-1) =y.根据向量加法的平行四边形法则，有 C.(-3,1) D.(-1,3) OP=OM+ON=xi+yj. 3.若A0=(-3,4),则A的坐标为 ·22· 第2章平面向量 课堂·互动学案 《 直去题型 通法悟道 题型一 平面向量的坐标表示 题型二平面向量坐标运算的应用 例1如图所示，在平面直角坐标系中，用x 例2已知平行四边形ABCD 轴与y轴上的单位向量i,j表示向量a,b, 的三个顶点A(一1，一2)， c,并求它们的坐标. B(3,-1),C(4,2),而且 3 A,B,C,D四点按逆时针 2 方向排列. (1)求向量AB,AD的坐标： 1 (2)求点D的坐标 、7 3 4 汇思路点拨]向量的坐标公式：起点为A -1 (m1y),终点为B(x2y2)的向量A序的坐 -2 标为AB=(x2一1y一y) [思路点拨]i,j是与x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量，原点O是图中所有向量的 起点，利用向量坐标的定义将问题解决 通法通性 通法通性 求点、向量坐标的常用方法 在平面几何问题中，可以借助平行四边形 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先 求出该点相对应坐标原点的位置向量 对边平行且相等，也可利用平行四边形法 的坐标，该坐标就等于相应点的坐标. 则求解， (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量 ⊙[变式训练] 的始点、终点坐标，再运用终点坐标减 去始点坐标即得该向量的坐标。 2.已知点P(3,5),Q(-2,7),求向量PQ和QP ◇[变式训练] 的坐标 1.(如图)写出向量OA,O,O心，OD,O正对应 的坐标 ·23· 世数学拓辰校快（上） > 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.若a=-4i+5j,则向量a的坐标是( 3.若A(2,3),B(3,1),则AB的坐标为( A.(4,5) B.(-4,5) A.(-1,2) B.(3,3) C.(4,-5) D.(-4,-5) C.(1,2) D.(1,-2) 2.若点A的坐标为(5，一2)，则OA的坐标为 4.若A(一1,4)，则AO的坐标为 A.(5,2) B.(5,-2) C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 课时作业8 C.(-5,2) D.(-2,5) 2.4.2 向量线性运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.会用向量的坐标形式进行向量1.通过向量和、差和数乘的坐标表示的应用，主要提升 运算. 数学运算核心素养 2.会利用向量的坐标判定两个向量平2.通过向量坐标解决有关向量共线、垂直等问题，逐步 行或垂直 提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养」 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 预习自测 对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),当a 1.已知a=(3,5),b=(-3,2),则a十b ∥b时，是否可以用坐标表示？如何表示呢？ ( A.(8,-1) B.(0,7) 必备知识 C.(7,0) D.(-1,8) [知识点一] 平面向量的坐标运算 2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向 设向量a=(x1y),b=(x2y2),A∈R,则有： 加法 a+b= 量a-b 减法 a-b= A.(-2,-1) B.(-2,1) 数乘 a=(1x1,入y1),A∈R C.(-1,0) D.(-1,2) [知识点二]平面向量平行的坐标表示 3.下列各组向量中，共线的是 对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),都有 A.a=(-2,3),b=(4,6) a∥b台 B.a=(2,3),b=(3,2) 2思考当b=0时，上述式子还成立吗？ C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4) ·24·世数学拓辰模快（上） 法二：设点D坐标为(x,y),由(1)知，AD=(1,3),又A a.b 1 六os0=1a1:166=20=60 (-1,-2),所以(x+1,y+2)=(1,3), 即a与b的夹角为60. x+1=1, (x=0, 所以 所以 所以，点D坐标为(0,1). 随堂·步步夯实 y+2=3. y=1, 1.B[a·b=|a|bcos(a,b>=3×√2Xcos45=3.] 变式训练 2.C[a·b=la·|blcos(a,b)=12Xcos(a,b)=-6,所 2.解：PQ=(-2,7)-(3,5)=(-5,2):QP-(3,5)-(-2, 7)=(5,-2). 以cosa,b)=-] 随堂·步步夯实 3.B[因为AB·AC=0,所以AB⊥AC,于是△ABC是直 1.B[a=-4i+5j=(-4,5).] 角三角形.] 2.B[0(0,0),A(5,-2),.0A=(5,-2)-(0,0)=(5, 4解析：周为0sab=日治-是-1，所以a,b=0 -2).] 3.D[AB-B(3.1)-A(2,3)=(3-2.1-3)=(1.-2).] 答案：0° 4.解析：A0=(0,0)-(-1,4)=(1,-4). 2.4向量的坐标表示 答案：(1，一4) 2.4.1向量的坐标表示 2.4.2向量线性运算的坐标表示 课前·预习学案 课前·预习学案 必备知识知识点一 必备知识知识点一 (x,y)(x,y) 知识点二 (x1+x2y1+y2)(x1-xgy1-y2） 知识点二 (x2-x1y2-y1） 思考[提示]不相同.区别为：(1)表示形式不同.向量a x1y2一y1x2=0 =(x,y)中间用等号洼接，而点的坐标A(x,y)中间没有 思考[提示]成立， 等号.(2)意义不同. 预习自测 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的 1.B[a+b=(3,5)+(-3,2)=(3-3,5+2)=(0,7).] 位置，向量a=(x,y)的坐标(r,y)即表示向量的大小，也 2.D [是a-受。=（位）-（受-2） 表示向量的方向。 预习自测 (侵-+2)=(-12. 1.D[a=-2i-3j=(-2,-3).] 3.D[A中-2×6-3×4≠0：B中2×2-3×3≠0：C中1 2.B[A(3,-1)∴.OA=(3,-1).] ×14-(-2)×7≠0：D中(-3)×(-4)-2×6=0.] 3.解析：国为A0=(一3,4)，所以OA=(3,一4)，从而点A 课堂·互动学案 的坐标为(3，一). [例1][解](1)a+b=(3,-2)+(-2,1)=[3+(-2), 答案：(3，一4) (-2)+1]=(1,-1). 课堂·互动学案 (2)a-b=(3,-2)-(-2,1)=[3-(-2), [例1门[解]a=-2i+3j=(-2,3):b=3i+j=(3,1):c -2-1]=(5,-3). =2i-j=(2,-1). (3)3a-2b=3(3,-2)-2(-2,1) 变式训练 =(9,-6)-(-4,2)=(13,-8). 1.解：O才=(3,0) 变式训练 Oi=(3,1),0C=(-2,2),0市=(-1，-2) 0i=(2,-2). 1.解：(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1) =(-2,4)+(6,3)=(4,7) [例2][解](1)因为A(-1,-2),B(3,-1),C(4,2),所 以AB=(3,-1)-(-1,-2)=(4,1), (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1) AD=BC=(4,2)-(3,-1)=(1,3). =(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). (2)法一：由(1)知，Ad=(1,3),又因为0A=(-1,-2), 3)20-b=-12)-81D 所以O市-O才+A市 =(-1,一2)十(1,3)=(0.1)，所以点D的坐标为(0,1). =(）(导)=() ·96·