2.3 向量的内积-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

参考答案 变式训练 [例2] [解](1)la+2bl-(a+2b)} 4.解:因为AB|-2lCD,所以 #### AB-2DC.DC-AB# -a+4a·b+4^{} - +4a bcos 60+4$2 连接NC,则NC=AD. 在 -4+4X2×1×+4-23. △BCN中.BC-NC-NB- #a.在△CMN 中.MN-MC+CN-a-b. ($)由la-bl-5得(a-b)^{}-25,即a^}-2a·b+b$}- $ 结合la -3,a·b-1,得3{}-2×1+|b|-25,所以|b 随堂·步步夯实 -3/2. 1.D [由向量的线性运算法则知选D.] 答案:(1)B (2)3/② 2. D [原式-4a-4b-3a-3b-b-a-8b ] 变式训练 3.D [如图,AC-3AB,所以BC-2AB 2.解:'la+b-4.'.a+b?}-4?, B C '.a+2a·b+b-16. ① 4.解析:2a-(a+b)-2a-a-b-a-b .al-2.b-3. 答案:a-b 'a-al-4,b-bl-9. 2.3 向量的内积 代>①式得4+2a·b+9-16,得2a·b-3 课前·预习学案 #,(a-b)?-a}-2a·b+b*-4-3+9-1$$ 必备知识 知识点一 .la-bl-10. 2.同向 反向 垂直 [例3][解](1):e,e为单位向量且夹角为60* 知识点二 lal blcosθ a·b a·b-allblcos6 o 知识点三 '.a·b-(e+e).(e-2e) 1.a·b 2. lallb -lallb a·a 2 思考 lal=(e+2)#}→1+2×寸+1=3 1.[提示] 内积的运算结果是实数,线性运算的结果是 向量。 2.[提示] 不可以,内积是两个向量之间的乘法,在书写 时,一定要严格,必须写成“a·b”的形式。 设a.b的夫角为,则coso-.b la|b 预习自测 ③x③ -. 1.C [显然①②③正确;la·bl三a·b,故④错误;(a·b)} 一(lal· blcosθ)②}-a?·b?cos2θ,其中θ为a,b的央 又.0 0{},180{,..0-120{}.a与b的夹角为120{ 角,故错误。] (2)证明: 2a+bl-a+2b; 2. B [a·b-|all|blcos(a,b)-3x4×cos 30-6③] '.(2a+b)?-(a+2b)?'a?-b? 3.A [因为a·a=4,所以al=a·a-2.] '.(a十b).(a-b)-a?-b-0. 课堂·互动学案 又a与b不共线,a十b0,a-b0. [例1] [解] ①当a/b时,若a与b同向,则它们的夹角 '.(a十b)I(a-b). = ..'a·b-al blcos0{}-3x6x1-18;若a与b反 变式训练 向,则它们的夹角θ-180{}...a·b-abcos180}-3$ 3.解:设a,b的夫角为0, 6(-1)--18;②当alb时,它们的夫角θ-90{},a· .a+3b垂直于7a-5b,a-4b垂直于7a-2b b-0;③当a与b的夫角是60时,有a·b-allblcos60” '.(a十3b).(7a-5b)-0. (a-4b)·(7a-2b)-0. 即7a{+16a·b-15b2-0. ① 变式训练 7a?-30a·b+8b?-0. ② 1.解:(1)a·b-lal lblcos(a,b)-2v2×4×cos45*}-8. 由②-①得23b2-46a·b-0.'2a·b-b}, (2)a·b- a l bcosa,b)-2x5xcos 60*}-5 代入①得a-b,..a-b. ·9. 数学16模决(g上) #1#} 法二:设点D坐标为(x,y),由(1)知,AD-(1,3),又A a.b .cos0- a·bb{2= (-1,-2),所以(x+1,y+2)=(1,3). (r十1-1, 即a与b的夹角为60{。 所以! 所以 -0. '所以点D坐标为(0.1). y+2-3. 1y-1, 随堂·步步夯实 变式训练 1. B[a·b-allblcos(a,b)-3x②×cos45-3] 2.解:PQ=(-2,7)-(3,5)=(-5,2):QP=(3,5)-(-2. 2.C a·b=lal· blcosa,b)-12×cosa,b)=-6,所 7)-(5,-2). 以cos(a,b)-- 随堂·步步夯实 3.B [因为AB·AC-0,所以AB|AC,于是△ABC是直 1.B [a--41+51-(-4,5).] 角三角形.] 2.B[:O(0,0),A(5.-2).OA-(5.-2)-(0,0)=(5 -2).] 3.D [AB-B(3,1)-A(2,3)-(3-2.1-3)-(1.-2).] 答案:0* 4.解析:A0-(0,0)-(-1,4)-(1,-4). 2.4 向量的坐标表示 答案:(1,-4) 2.4.1 向量的坐标表示 2.4.2 向量线性运算的坐标表示 课前·预习学案 课前·预习学案 必备知识 知识点一 必备知识 知识点一 (x,y)(,y) (r+x.+y)(x1-x2,y1-y) 知识点二 知识点二 (x-x1.y2-y) 思考 [提示]不相同,区别为:(1)表示形式不同,向量a x1y2-y1x2-0 思考 [提示] 成立。 一(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有 等号,(2)意义不同. 预习自测 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的 1.B[a+b-(3,5)+(-3,2)-(3-3,5+2)-(0,7).] 位置,向量a一(x,y)的坐标(x,y)即表示向量的大小,也 #[分-36#-(,)-(,-# 2. D 表示向量的方向. (3.+号)-(-1,2).] 预习自测 1.D a--21-3j-(-2,-3)] 3.D[A中-2×6-3×4去0;B 2×2-3×3:0:C $ 2.B[.:A(3,-1)..OA-(3.-1).] $14-(-2)X7-0;D中(-3)X(-4)-2X6-0. 3.解析:因为A-(-3,4),所以OA-(3,一4),从而点A 课堂·互动学案 的坐标为(3,-4). [例1][解](1)a+b-(3,-2)+(-2,1)-[3十(-2). 答案:(3,-4) (-2)+1]-(1,-1). 课堂·互动学案 (2)a-b-(3,-2)-(-2,1)-[3-(-2). [例1] [解]a=-2i+3j=(-2,3);b-3i+j-(3,1);c -2-1]-(5.-3). -2-1-(2,-1). (3)3a-2b-3(3,-2)-2(-2.1 变式训练 -(9.-6)-(-4,2)-(13,-8). 1.解:0-(3,0) 变式训练 OB-(3,1),O-(-2,2).0D-(-1.-2 OE一(2,-2). 1.解:(1)2a+3b-2(-1.2)+3(2.1) =(-2,4)+(6,3)-(4,7). [例2][解](1)因为A(-1,-2),B(3,-1),C(4,2),所 以AB-(3,-1)-(-1,-2)-(4,1). (2)a-3b-(-1,2)-3(2,1) AD-BC-(4.2)-(3.-1)-(1,3). -(-1,2)-(6,3)-(-7,-1). (2)法一:由(1)知,AD=(1,3),又因为OA-(-1.-2) 所以OD-O+AD -(-.1)-()-(-) 一(-1,一2)+(1,3)-(0,1),所以点D的坐标为(0,1) .96.第2章 平面向量 即 随堂·步步夯实 夯基图# 1.下列四个命题; 3.点C在直线AB上,且AC=3AB,则BC ①对于实数入和向量x,y,恒有a(x一y)= 等于 ( ) x-y; ②对于实数入,和向量x,恒有(一)x= A.-2AB B.A -/: ③若ax-y(ER,且0),则x=y C.-A# D.2AB ④若x=x(x0),则入- ( 其中正确命题个数为 ) D.4个 C.3个 A.1个B.2个 4.2a-(a+b)- . 2.4(a-b)-3(a十b)-b等于 ) -温馨提示 A.a-2b B.a 学习至此,请完成配套训练 课时作业6 C.a-6b D.a-8b 2.3 向量的内积 课程标准 素养解读 1. 了解向量内积的物理意义, 1.通过向量内积的学习,主要培养数学抽象核 2.掌握向量的内积的定义, 心素养. 3.会用内积的运算律和性质,解决模长、夹 2.通过内积的运算律、性质的应用,主要提升数 角、投影数量等问题 学运算核心素养. 27 课前·预习学案 落实双 盘点新知 情境/引A 2.特例:(1)当向量a,b 时,(a,b)-0. 物体在力的作用下,沿着力的方向移动了 (2)当向量a,b时,(a,b)-π. 一段距离,就说力对物体做了功,如图所示,在 (3)当(a,b)-时,向量a,b__,记作alb. 拉力F的作用下,小车在水平方向上发生了位 [知识点二 向量内积的定义 移s.设力F与位移s的夹角为0,怎样计算力 条件 F对小车做的功呢? 非零向量a与b,a与b的夹角为。 结论 数量 叫向量a与b的数量积(或内积) 向量a与b的内积记作 记法 即 规定 零向量与任一向量的内积为 ,即o·a-0. [知识点三 向量内积的性质 少备 知识 设a,b是非零向量,它们的夹角是0,则 1.ab→ [知识点一] 两向量的夹角 -0. 2.当a与b同向时,a·b一 B ;当a与b 1.定义:已知两个非零向量a,b,C 反向时,a·b- .特别地,a·a-lal2 是平面上的任意一点,作OA一 或a一 a,OB-b,称射线OA,OB所成的最小正角 3.cos(a,b)- a.b 为向量a与b的夹角,记作(a,b),规定0 ab (a,b)<r. 4. a·b<alb. .19. 数学I6展模决(o上) [知识点四 ] 向量内积的运算律 预习自测 1.a·b-b·a. 1.给出下面的关系式; $. (a) ·b-(a·b) =a·(b). ①·a=0;②a·b-b·a;③^{}={l^$}; 3.(a+b)·c=a·c十b·c. ④la·bl<a·b;(a·b)^{②}=a^{②}·b^},其中 ②熙考1.向量的内积的运算结果与线性运 ( 正确的个数为 ) 算的结果有什么不同? A.1 B.2 C.3 D.4 2.把“a·b”写成“ab”或“axb”可以吗,为 2.若lal-3,lb =4,(a,b)=30o^{},则a·b 什么? _~ B.6③ A.6 C.12 D.12③ 3.若a·a-4,则lal= ) B.-2 A.2 C.4 D.-4 ##去题型 课堂·互动学案 法悟道 题里一平面向量内积的基本运算- [变式训练] 例1 已知lal=3,|bl=6,当①a/b,②a b, 1.(1)已知lal=2v/②,|b|=4,a,b=45^*},求$ a·b的值. ③a与b的夹角是60{时,分别求a·b ($2)已知la-2,b -5,a,b)-60{},求a$ [思路点拨 直接利用向量的内积公式求解 b的值. 题里二向量模的有关计算 例2 (1)已知平面向量a与b的夹角为60^{}, a =2,b -1,则a+2b= ( ) A.③ B.2③ {C.4 D.12 (2)若向量a,b满足al-3,a-bl-5,a· b-1,则b= 通法通性 [思路点拨]利用公式a=lal{}求解。 求平面向量内积的步骤 通法通性 (1)求a与b的夹角θ,0[0,n]; 求向量的模的常见思路及方法 (2)分别求a和b; (1)求模问题一般转化为求模的平方,与向 (3)求内积,即a·b-abcos,要特别 量内积联系,并灵活应用a^{}一al^{},勿 注意书写时a与b之间用实心圆点 忘记开方, “·”连接,而不能用“×”连接,也不能 (2)a·a=a^{②}-la}或lal-a^{},可以实 $ 省去, 实数运算与向量运算的相互转化. .20. 第2章 平面向量 [变式训练] 通法通性 2.已知向量a,b满足al=2,b=3,a +$b$ (1)求向量夹角题应用内积的变形公式cos -4,求a-bl. a·b __ alb,不方便求出的,可寻求两者关 系,转化条件解方程组, (2)非零向量a b→a·b-0是非常重要 的性质,它对于解决向量以及平面几何 图形中有关垂直问题十分有效,应熟练 掌握. [变式训练] 3.已知a,b都是非零向量,a十3b与7a-5b垂 直,a一4b与7a一2b垂直,求a与b的夹角 题里三 向量的夹角与垂直问题 例③ (1)已知单位向量e,e。的夹角为60{* 求向量a=e十e。,b-e。-2e 的夹角. (2)已知向量a、b不共线,且|2a十b=a 2b ,求证:(a十b)I(a-b). [思路点拨 利用公式求解。 (1)cos(a,b)-- a·b a·b (2)a b-a·b-0. 随堂·步步夯实 $.已知lal=3,lbl=/②,a,b=45^{},则a·b 3.在△ABC中,若AB·AC-0,则△ABC是 ( 的值为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.3/2 A.-3 B.3 D.2/3 C.钝角三角形 D.等边三角形 2. 已知a·b=-6,a b-12,则cos$a,b$ 4.若la |=3,|bl=4,a·b-12,则(a,b ( ) C温馨提示 A.-2 D.2 学习至此,请完成配套训练 课时作业7 .21.