2.2.3 向量的数乘运算-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

世数学拓辰模快（上） 2.2.3 向量的数乘运算 课程标准 素养解读 1.理解向量数乘的定义及几何意义. 1.通过向量数乘的定义、几何意义的学 2.掌握向量数乘的运算律，能够用已知向量表示未 习，主要培养直观想象核心素养」 知向量. 2.通过向量的线性运算，主要提升数学 3.掌握共线向量定理，会判断或证明两个向量共线， 运算核心素养 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 2.(+)a= 在2004年奥运会上，刘翔以12.91s的成绩 3.入(a+b)= 获得男子110m跨栏比赛冠军，成为第一个获 特别地，我们有（一λ）a=一(a)=入（一a), 得径赛直道项目冠军的亚洲人.男子110m跨 A(a-b)=Aa-Ab. 栏，从第1栏到第9栏，每相邻两栏之间间隔 [知识点三]向量的线性运算 9.14m.记第1栏到第2栏的位移为s1,第1 1.定义：向量的 向量以 栏到第3栏的位移为52，…，从第1栏到第9 及它们的混合运算统称为向量的线性运算. 栏的位移为，如图所示.试问，位移51，S2, 2.运算结果：向量线性运算的结果仍 …,58,具有怎样的关系？ 是 3.运算律：对于任何向量a,b,以及任意实数 起点 4444444444$ 入12，恒有A(以a士2b)= [知识点四]共线向量定理 ①当6与。方向相同时，记X=治则 必备知识 有b=a, [知识点一] 数乘运算 ②当b与a方向相反时，记入=一 定义 个数入与向量a的乘法运算 则 b 有b=a, 记法 Aa 因此向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存 长度 Aal=lallal 在唯一一个实数入，使 λ>0 Aa的方向与a的方向 ?思考1.实数与向量可以加减吗？ 方向 A<0 a的方向与a的方向 2.向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么 λ=0 a=0,其方向是任意的 关系？ a中的实数入是向量a的系数 3.共线向量定理中把“a≠0”去掉可以吗？ 几何 a可以看作是把向量a沿着a的 λ>0 意义 方向伸长或缩短 倍得到 a可以看作是把向量a沿着一a λ<0 方向伸长或缩短入倍得到 [知识点二] 向量的数乘运算法则 设入，以为实数，则 1.入(a)= =4(a）: ·16· 第2章平面向量 预习自测 2.若t=0,则a= ( 1.-2a与a的方向 A.0 B.0 C.a D.-a 3.已知入=3，a=4,则|a= A.相同 B.相反 A.3 B.4 C.相同或相反 D.不确定 C.12 D.以上都不对 五去题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型二 向量的线性运算 题型】 向量共线问题 例1 a化简号引4a-)+0a-小： 例2判断下列向量是否共线。 (1)a=5e1,b=-10e1: (2)(x+y)(a+b)-(x-y)(2a+b): (3)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求 (2)a= 2e,-3eb=3e,-2e; 3a-b-(a-号b+(2b-a. (3)a=e1+e2,b=3e1-3e2. 汇思路点拨]依据条件找出a与b存在倍 [思路点拨]此类问题只需利用向量数 数关系，然后利用共线向量基本定理求解. 乘、加法、减法的运算律化简即得结果. 通法通性 向量的线性运算类似于实数的运算，其化 通法通性 简的方法与代数式的化简类似，可以进行 判定向量共线的方法 加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进 向量共线的判定一般是用其判定定理，即 行去括号、移项、合并同类项等变形手段. a是一个非零向量，若存在实数入，使b= ⊙[变式训练] a,则向量b与向量a共线.解题过程中， 1.化简下列各式. 可以把两个向量用共同的已知向量来表 (1)2(a+3b)-4(a-b): 示，进而互相表示，由此判定共线， (2)-3[6(a-3b)+3a]-5b, ⊙[变式训练] 2.已知：AB=a+b,BC=a-b,EF=3a. 求证：AC与EF共线！ ·17· 世数学拓尼膜快(0上日 题型 三点共线问题 题型四用己知向量表示未知向量 例3 已知非零向量e,e2不共线. 例4 如图所示，口ABCD的两条对角线交于 (1)如果AB=e,+e,BC=2e+8e,CD=3(e 点M,且AB=a,AD=b,用a,b表示MA, -e2） MB.MC和MD 求证：A、B、D三点共线； (2)欲使ke,十e2和e1+e2共线，试确定实 数k的值 [思路点拨]要求证三点共线，只需证明 有公共点的两向量平行即可 [思路点拨]将MA,MB,MC,MD放在三 角形中，然后利用平行四边形法则，三角形 法则进行求解， 通法通性 三点共线的证明问题及求解思路 通法通性 (1)证明三点共线，通常转化为证明由这三 用已知向量表示未知向量的方法 点构成的两个向量共线，向量共线定理 (1)用已知向量表示平面向量，要充分利用 是解决向量共线问题的依据. 向量加法、减法的三角形法则或平行四 边形法则结合数乘定义，解题时要注意 (2)若A,B,C三点共线，则向量AB,AC 解题途径的优化与组合 BC在同一直线上，因此必定存在实数， (2)将向量c用a,b表示，常采用待定系数 使得其中两个向量之间存在线性关系， 法，其基本思路是设c=0十b,其中 而向量共线定理是实现线性关系的 x,y∈R,然后得到关于x,y的方程组 依据。 求解. ◇[变式训练] ⊙[变式训练] 3.已知两个非零向量e1,e2不共线，如果AB 4.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AB 2e,+3e,BC=6e,+23e2,CD=4e,-8e. ∥CD,AB1=21CD1,M,N分别是DC, 求证：A,B,D三点共线 AB的中点，已知AB=a,AD=b,试用a,b 表示DC,BC和MN. ·18· 第2章平面向量 巩固即学 随堂·步步夯实 奔基固本 1.下列四个命题： 3.点C在直线AB上，且AC=3AB,则BC ①对于实数λ和向量x,y,恒有1(x-y)= 等于 x-λy; ②对于实数入，以和向量，恒有（入一：）x= A.-2AB x一： &号A店 ③若x=y(a∈R,且A≠0)，则x=y; ④若x=x(x≠0)，则入=以 C-号A店 D.2AB 其中正确命题个数为 ( A.1个B.2个 C.3个 D.4个 4.2a-(a+b)= 2.4(a-b)-3(a+b)-b等于 C温攀提 A.a-2b B.a 学习至此，请完成配套训练 课时作业6 C.a-6b D.a-8b 2.3 向量的内积 课程标准 素养解读 1.了解向量内积的物理意义。 1,通过向量内积的学习，主要培养数学抽象核 2.掌握向量的内积的定义 心素养 3.会用内积的运算律和性质，解决模长、夹2.通过内积的运算律、性质的应用，主要提升数 角、投影数量等问题， 学运算核心素养. 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 2.特例：(1)当向量a,b 时，(a,b〉=0. 物体在力的作用下，沿着力的方向移动了 (2)当向量a,b 时，〈a,b)=π 一段距离，就说力对物体做了功.如图所示，在 ,记作a⊥b. 拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位 (3)当a.b=时，向量a,b 移s.设力F与位移s的夹角为0，怎样计算力 [知识点二] 向量内积的定义 F对小车做的功呢？ 条件 非零向量a与b,a与b的夹角为0 结论 数量 叫向量a与b的数量积（或内积）. 向量a与b的内积记作 记法 ⑧ 规定 零向量与任一向量的内积为 ,即0·a=0. [知识点三]向量内积的性质 必备知识 设a,b是非零向量，它们的夹角是0，则 [知识点一]两向量的夹角 1.a⊥b台 =0. 1.定义：已知两个非零向量a,b,O 2.当a与b同向时，a·b ;当a与b 是平面上的任意一点，作OA= 反向时，a·b= 特别地，a·a=a2 或|a= a,OB=b,称射线OA,OB所成的最小正角 a·b 为向量a与b的夹角，记作(a,b),规定0≤ 3.cos(a,b)-a (a,b)≤π 4.|a·b≤albl. ·19·世数学拓辰模快（上） (3)因为邻边相等的平行四边形是菱形，所以要使ABCD (3)原式=a-b-a+号+2b- 是菱形，应满足AB=AD1,即|al=b. 随堂·步步夯实 =(信-1-1+(-1+号+2 1.C[若|a>b,则a-b与a同向，若a<|b,则a-b 与b同向，若a=|b1,则a一b=0,方向任意，且与任意 -+ 向量共线.故A、BD皆错.] 号(3i+2j)+9(2i-) 2.C[:AB=DC,.AB-DC=0,A正确：：AD-BA= AD+AB=AC,B正确：：AB-AD=AB+DA=DB.C =(5+)+(号-号月 错误：AD=BC,AD=-CB,.AD+CB=0,D 正确.] 3.A[因为AC+Ci-BD=AD-BD=AD+Di=AB,所 变式训练 1.解：(1)原式=2a+6b-4a十4b=-2a+10b. 以①正确，排除C,D:因为OB-OA=AB,所以④正确，排 除B.] (2)原式=-号(9a-18b)-5b=-3a+6. 4.解析：原式=CB+BC=CB-CB=0 [例2][解](1)因为b=-2a,所以a与b共线. 答案：0 (2)国为a=名6：所以a与b共线。 2.2.3向量的数乘运算 (3)设a=b,则e1+e2=A(3e1-3e2),所以(1-3)e1 课前·预习学案 一(1十3x)e2.因为e1与e2是两个不共线向量，所以 必备知识知识点一 (1-3A=0, 相同相反入 这样的入不存在，因此a与b不共线. 1+3x=0. 知识点二 变式训练 1.()a2.a+m3.a+b 2.证明：AC-AB+BC=a+b+a-b=2a,而EF=3a, 知识点三 1.加法减法数乘2.向量3.41a士入2b A心-号序，故AC与E乎共线 知识点四 [例3][解](1)证明：因为A店=e1十e2,B币=BC+C市 b=a =2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5AB.所以AB,Bd 思考 共线，且有公共点B所以A,B,D三点共线 1[提示]不可以. (2)因为e1+e2与e1十be2共线. 2.[提示]两种运算律类似，(2)(3)式是向量因式不同的 所以存在实数A,使ke1十e2=入(e1十e2),则(k一A)e1= 分配律 -1D0,由于6与：不共战，只能有-0，所以 ak-1=0, 3.[提示]定理中a≠0不能漏掉.若a=b=0,则实数入可 k=士1 以是任意实数：若a=0,b≠0，则不存在实数入，使得b 变式训练 =a. 3.证明：因为AD=AB+BC+CD=(2e+3e2)+(6e1+ 预习自测 1.B[:λ=-2<0，∴.两向量方向相反.] 23e2)+(4e1-8e2)=12e1+18e2=6(2e1+3ee),又AB= 2.B[0a=0.] 2e1十3C2,所以AD=6AB.所以AD与AB共线.又因为 3.C[13a=3a=3×4=12.] AB,AD有公共点A,所以A,B,D三点共线. 课堂·互动学案 [例4][解]在□ABCD中，：AC=AB+AD=a十b: DB=AB-AD=a-b. [例1][解]1)原式=子(a-3b+号b-2a+子b ÷Mi=-2A-2(a+b)=-2a-2b, =号[(-2)+(3+号+)] M诚-成-a-6)-2a-2 号(3a-)=号a-b (2)原式=[(x+y)-2(x-y)]a+[(x+y)-(x-y]b =(3y-x)a+2b. ·94· 参考答案 变式训练 [例2][解](1)1a+2b1=√(a+2b)2 4.解：因为|AB1=2CD1,所以 =√a2+4a·b+4b Ai=2D心.D心=号A店=a. =√/1a2+4a1bcos60°+4b2 连接NC,则NC=AD.在 A △BCN中，BC=N元-NB=b 4+4×2X1X2+4=25 2a.在△CMN中.M=M心+C=a-b, (2)由a-b|=5得(a-b)2=25,即a2-2a·b+b2=25, 结合a=3,a·b=1,得32-2×1+1b2=25,所以b 随堂·步步夯实 =3√2. 1.D[由向量的线性运算法则知选D.] 答案：(1)B(2)32 2.D[原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.] 变式训练 3.D[如图，AC=3A店，所以BC-2A店.] 2.解：a十b=4.∴.1a+b12-42, AB .a2+2a·b+b2=16. ① 4,解析：2a-(a十b)=2a-a-b=a-b. la=2,lb=3. 答案：a-b .a2=a2=4,b2=b12=9. 2.3向量的内积 代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3. 课前·预习学案 又，(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10, 必备知识知识点一 ∴.la-b=10. 2.同向反向垂直 [例3][解](1)：e1e2为单位向量且夹角为60°， 知识点二 lallblcos0a·ba·b=allblcos00 i064=1X1Xms60=2 知识点三 :a·b=(e1+ee）·(e2-2e1) 1.a·b2.ab1 -lallbl√a·a =-2-e·+1=-2-2+1=- 2 思考 1,[提示]内积的运算结果是实数，线性运算的结果是 lal-/a-/e+o-1+2xj+1-5. 向量. 2.[提示]不可以，内积是两个向量之间的乘法，在书写 b1=VB=e-2e+4-4x- 时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式. 设ab的夫角为8，则m0=日治=一音×后文万 预习自测 1.C[显然①②③正确：a·b|≥a·b,故④错误：(a·b)2 1 =(a·|bcos0)2=a2·bcos20,其中0为a,b的夹 又：0∈[0°，180]，.0=120°.∴a与b的夹角为120 角，故⑤错误.] (2)证明：|2a+b=a+2b1, 2.B[a·b=a1b1cosa,b)=3×4×cos30°=6√3.] .(2a+b)2=(a+2b)2..a2=b 3.A[因为a·a=4,所以a=a·a=2.] ∴.(a+b)·(a-b)=a2-b2-0. 课堂·互动学案 又a与b不共线，a十b≠0，a一b≠0， [例1门[解]①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角 ∴.(a+b)⊥(a-b). 0=0°，.a·b=a1bcos0°-3×6X1=18:若a与b反 变式训练 向，则它们的夹角0=180°.∴.a·b=allblcos180°=3× 3.解：设a,b的夹角为0， 6×(-1)=-18:②当a⊥b时，它们的夹角0=90°，∴.a· :a十3b垂直于7a-5b,a-4b垂直于7a-2b, b=0:③当a与b的夹角是60°时，有a·b=allblcos60 .(a十3b)·(7a-5b)=0, =3X6x号=9， (a-4b)·(7a-2b)=0, 即7a2+16a·b-15b2=0, ① 变式训练 7a2-30a·b+8b2=0, ② 1.解：(1)a·b=allblcos(a,b)=2√2×4×cos45°=8. 由②-①得23b2-46a·b=0,∴.2a·b=b2, (2)a·b=|alblcos(a,b)=2×5×cos60°=5. 代入①得a2=b2,∴a=b. ·95·