2.2.2 向量的减法运算-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

参考答案 [例2][解]如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形， 预习自测 由向量加法的运算法则可知： 1.A[AC-Ad=DC,在口ABCD中，DC-AB.] (1)AB+DF-AB+BC-AC. 2.A [AC-BC-AC+CB-AB.] (2)AD+FC-AD+DB=AB. (3)AD+BC+FC=AD+DF+FC=AC. 3.C [BD=AD-AB=b-a.] [答案]：(1)AC(2)AB(3)AC 课堂·互动学案 变式训练 [例1][解](1)在正方形ABCD中，a-b= 2解：根据向量加法的三角形法则得 AB-BC=AB-AD=DB.连接BD,箭头指 (1)AB+BC-AC; 向B,即可作出a一b. (2)AB+BD-AD: (2)过B作BF∥AC,交DC的延长线于F,连 (3)AB+BC+CA=AC+CA=0. 接AF,则四边形ABFC为平行四边形， [例3)[解]如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可 :a+c=AB+AC=A正.在△ADF中.DF=AF-AD 知，表示向量v风地的有向线段AD是□ABDC的对角线. a十c-b=a-b十c,∴.DF即为所求. D 变式训练 C 1.解析：方法一：如图1所示，在平面内任取一点O,作OA B a.AB=b.O元=c,作Oi.CB,则CB=Oi-OC=a十b-c. AC1=4m/s.∠ACD=30°，|AD1=2m/s∴∠ADC= 90°.在R△ADC中，DC=AClcos30°=23(ms). [答]风的实际方向是吹向正北方向，汽车速度的大小 为2√3mfs 0 变式训练 图1 图2 3.解：如图所示，OA=a=“向东走 方法二：a十b-c=a+b+(一c).如图2所示，在平面内任 3km”,AB=b=“向北走3km”OB 取-点0，作0A=a,A店=b,BC--c,则0-a+b十(-c) =0A+AB=a+b,OBI=32+3 =a+b-c. =3√2(km).又OA与OB的夹角是 [例2][解](1)原式=AB+M店+Bò+OM 45°，所以a十b表示“向东北方向走 =(AB+BO)+(OM+MB) 3√2km". -AO+OB-AB. 随堂·步步夯实 (2)法-：原式=DB-DC=CB. 1.A[依向量加法的规则知AB+B=AC.] 法二：原式=AB-(AD+D)=AB-A花=CB. 2.A[a∥b,且a>b>0.∴.当a,b同向时，a+b的方向 变式训练 与a相同，当a,b反向时，：|a>b,,a+b的方向仍与a 2.解：1)OM-O示+M币-N4: 相同.] -NM+MP-NA-NP-NA-AP. 3.A [IAB+BCI=IACI=2.] (2)(AD-BM)+(BC-MC)=AD+MB+BC+CM= 4.解析：由向量加法平行四边形法则易知， 答案：a十b AD+(MB+BC+CM)=AD+0=AD. 2.2.2向量的减法运算 [例3][解]四边形ABCD是平行四边形，证明如下 :0A+O元-=0B+00 课前·预习学案 必备知识知识点 OA-Oi=Oi-O元，即BA=CD 1.相反向量3.终点终点 ∴.BA=CD且BA∥CD, 思考 ∴.四边形ABCD是平行四边形. 1.[提示]不对，相反向量要从“模长”与“方向”两个方面 变式训练 去理解，不仅是方向相反，还必须长度相等. 3.解：(1)由运算法则可得AC=AB+AD=a+b,BD=AD 2[提示]含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的 -AB=b-a. 两边都加上或诚去同一个向量仍得到向量等式，移项法 (2)因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以要使AB 则对向量等式也是适用的. CD是矩形，应满足AC=BD,即a十b=b-a. ·93· 世数学拓辰模快（上） (3)因为邻边相等的平行四边形是菱形，所以要使ABCD (3)原式=a-b-a+号+2b- 是菱形，应满足AB=AD1,即|al=b. 随堂·步步夯实 =(信-1-1+(-1+号+2 1.C[若|a>b,则a-b与a同向，若a<|b,则a-b 与b同向，若a=|b1,则a一b=0,方向任意，且与任意 -+ 向量共线.故A、BD皆错.] 号(3i+2j)+9(2i-) 2.C[:AB=DC,.AB-DC=0,A正确：：AD-BA= AD+AB=AC,B正确：：AB-AD=AB+DA=DB.C =(5+)+(号-号月 错误：AD=BC,AD=-CB,.AD+CB=0,D 正确.] 3.A[因为AC+Ci-BD=AD-BD=AD+Di=AB,所 变式训练 1.解：(1)原式=2a+6b-4a十4b=-2a+10b. 以①正确，排除C,D:因为OB-OA=AB,所以④正确，排 除B.] (2)原式=-号(9a-18b)-5b=-3a+6. 4.解析：原式=CB+BC=CB-CB=0 [例2][解](1)因为b=-2a,所以a与b共线. 答案：0 (2)国为a=名6：所以a与b共线。 2.2.3向量的数乘运算 (3)设a=b,则e1+e2=A(3e1-3e2),所以(1-3)e1 课前·预习学案 一(1十3x)e2.因为e1与e2是两个不共线向量，所以 必备知识知识点一 (1-3A=0, 相同相反入 这样的入不存在，因此a与b不共线. 1+3x=0. 知识点二 变式训练 1.()a2.a+m3.a+b 2.证明：AC-AB+BC=a+b+a-b=2a,而EF=3a, 知识点三 1.加法减法数乘2.向量3.41a士入2b A心-号序，故AC与E乎共线 知识点四 [例3][解](1)证明：因为A店=e1十e2,B币=BC+C市 b=a =2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5AB.所以AB,Bd 思考 共线，且有公共点B所以A,B,D三点共线 1[提示]不可以. (2)因为e1+e2与e1十be2共线. 2.[提示]两种运算律类似，(2)(3)式是向量因式不同的 所以存在实数A,使ke1十e2=入(e1十e2),则(k一A)e1= 分配律 -1D0,由于6与：不共战，只能有-0，所以 ak-1=0, 3.[提示]定理中a≠0不能漏掉.若a=b=0,则实数入可 k=士1 以是任意实数：若a=0,b≠0，则不存在实数入，使得b 变式训练 =a. 3.证明：因为AD=AB+BC+CD=(2e+3e2)+(6e1+ 预习自测 1.B[:λ=-2<0，∴.两向量方向相反.] 23e2)+(4e1-8e2)=12e1+18e2=6(2e1+3ee),又AB= 2.B[0a=0.] 2e1十3C2,所以AD=6AB.所以AD与AB共线.又因为 3.C[13a=3a=3×4=12.] AB,AD有公共点A,所以A,B,D三点共线. 课堂·互动学案 [例4][解]在□ABCD中，：AC=AB+AD=a十b: DB=AB-AD=a-b. [例1][解]1)原式=子(a-3b+号b-2a+子b ÷Mi=-2A-2(a+b)=-2a-2b, =号[(-2)+(3+号+)] M诚-成-a-6)-2a-2 号(3a-)=号a-b (2)原式=[(x+y)-2(x-y)]a+[(x+y)-(x-y]b =(3y-x)a+2b. ·94·第2章平面向量 通法通性 ⊙[变式训练] 解决与向量有关的实际应用题，应本着如 3.某人先向东走3km(用向量a表示)，再向 北走3km(用向量b表示)，求a十b. 下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题 →正确画出示意图→用向量表示实际量→ 向量运算→回扣实际问题→作出解答 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.AB+BC= ( 3.正方形ABCD的边长为1，则1AB+BC= A.AC B.CA C.BA D.CB ( 2.已知向量a∥b,且|a>|b>0,则向量a+ A.2 B.2√2 C.32 D.42 4.平行四边形ABCD中，若AB=a,AD=b, b的方向 则AC A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反 C.与向量b方向相同 @温馨提西 学习至此，请完成配套训练 课时作业4 D.与向量b方向相反 2.2.2 向量的减法运算 课程标准 素养解读 1.理解相反向量的概念 1.通过向量减法的定义，三角形法则、平行四边 2.理解向量减法的意义，掌握向量减法的运 形法则的应用，培养直观想象核心素养 算法则及其几何意义。 2.通过向量减法的运算提升数学运算核心 3.能运用向量的加法与减法解决相关问题， 素养 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 3.几何意义：如果把两个向量a、b的起点放在 我们知道，实数x减去实数y相当于加上 起，则a一b可以表示为从向量b的 y的相反数，即x一y=x十（一y),向量的减法 指向向量a的 的向量。 如何定义呢？ 2思考1.有人说：相反向量即方向相反的向 量，定义中“长度相等”是多余的，对吗？ 必备知识 2.代数运算中的移项法则，在向量中是否仍 [知识点]向量的减法 然成立？ 1.定义：求两个向量差的运算叫做向量的减 法.a一b=a十（一b),即减去一个向量相当 于加上这个向量的 2.作法：已知向量a,b,在平 面内任取一点O,作OA a,OB=b,则BA=a一b,如 图所示 ·13· 世数学拓辰模快（上 预习自测 3.如图所示，在平行四边形ABCD中，与BD 1.在口ABCD中，AC-AD等于 相等的是 ( A.AB B.BA C.CD D.DB 2.AC-BC= A.a+b B.a-b A.AB B.BA C.0 D.0 C.b-a D.-a-b 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一向量的减法及其几荷意艾 题型二】 向量的减法运算 例1如图，已知正方形ABCD 例2 化简下列各式： 的边长等于1，AB=a,BC=b, (1)(AB+MB)+(-OB-MO): AC=c,试作向量： (2)AB-AD-DC. (1)a-b:(2)a-b+c. 汇思路点拨] 依据向量加减法的运算法则 [思路点拨]依据向量加减法的几何意义 化简或求值， 作图. 通法通性 向量减法运算的常用方法 通法通性 求作两个向量差向量的2种思路 常 可以通过相反向量，把向量减法的 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两 用方 运算转化为加法运算 向量的起点重合，则差的向量为连接两 运用向量减法的三角形法则，此时 个向量的终点，指向被减向量的终点的 法 要注意两个向量要有共同的起点 向量」 (2)转化为向量的加法来进行，如a一b,可 ⊙[变式训练] 以先作一b,然后作a十(-b)即可， 2.化简下列向量表达式： ◇[变式训练] (1)OM-ON+MP-NA: 1.(如图)求作a十b一c. (2)(AD-BM)+(BC-MC). ·14· 第2章平面向量 题型向量加减法的综合应用 ⊙[变式训练] 例3已知O为四边形ABCD所在平面外 3.如图，ABCD是平行四边 点，且OA+O元=OB+OD.试判断四边形 形，设AB=a,AD=b. ABCD的形状，并证明， (1)试用a,b表示AC,BD: [思路点拨]向量的加法运算和减法运算 (2)当向量a,b满足什么条件时，ABCD是 是辩证统一的，它们可以相互转化，本题如 矩形？ 果不把加法运算转化为减法运算，证明将 (3)当向量a,b满足什么条件时，ABCD是 是比较困难的 菱形？ 通法通性 要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见 图形中，各边对应向量以及对角线对应向 量之间的关系，能够运用向量的加法与减 法进行正确的表示，同时还要熟悉常见平 面图形的几何性质，能够从向量的角度，运 用向量语言进行表示. 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.已知非零向量a与b同向，则a一b( 3.下列四个式子中可以化简为AB的是( A.必定与a同向 ①AC+CD-BD:②AC-CB;③OA+OB: B.必定与b同向 C.必定与a是平行向量 ④OB-OA D.与b不可能是平行向量 A.①④B.①② C.②③ D.③④ 2.在平行四边形ABCD中，下列结论错误 的是 4.化简：AB-AC+BC ( A.AB-DC=0 B.AD-BA=AC C温馨提 C.AB-AD=BD 学习至此，请完成配套训练 课时作业5 D.AD+CB=0 ·15·