2.2.1 向量的加法运算-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

世数学拓辰模快（上） 变式训练 2.D.[不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B 1,解析： 不正确：向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长 度，与方向无关，故C不正确：向量的模是一个数量，可以 序号 正误 原因 比较大小，D正确.] ① ABI=IBAI=IABI 3.B[根据共线向量的定义，可知AB,BC,AC这三个向量 一定为共线向量，] ② 平行向量包括方向相同或相反两种情况 4.解析：[△ABC是以B为直角的直角三角形，所以BC1 向量可以用有向线段表示，但不能把二 √22-12=3.] ③ 者等同起来 答案：3 ⑦ + 向量不能比较大小 2.2向量的线性运算 2.2.1 向量的加法运算 共线向量只要求方向相问或相反即可， ⑤ 课前·预习学案 并不要求向量在同一直线上 必备知识知识点一 共线的向量，若起，点不同，则终点可以相 1.两个向量和2.a+bACA亡 同，也可以不同 知识点二 答案：① b+aa+(b+c) [例2][解] 如图中的OA,AB和BC 思考 1.[提示]不是，向量的相加满足三角形法测，而模相加是 数量的加法， 2.[提示]相同. 预习自测 1.B [AB+BC+AC=AC+AC=2AC.] 2.D[由向量加法的平行四边形法则知，ABCD是平行四 边形.门 变式训练 3.A[在平行四边形ABCD中，DC-AB,于是BC+DC+ 2.解：(1)作出向量AB,BC,CD,如图 BA=BC+AB+BA=BC.] 所示： 课堂·互动学案 北 (2)由题意得，△BCD是直角三角 [例1][解](1)首先作向量0A。 形，其中∠BDC=90°， 南 =a,然后作向量AB=b,则向量 BC=10√2米，CD=10米，所以BD=10米.△ABD是直 OB=a十b.如图所示， 角三角形，其中∠ABD=90°，AB=5来，BD=10米，所以 (2)法一：三角形法则如图所示，首 AD=√/52+102=55（米），所以AD1=55米 先在平面内任取一点O,作向量OA= [例3][解](1)与a相等的向量有D0,CB.EF a,再作向量AB=b,则得向量OB=a十 (2)a的相反向量有OD,BC,AO,FE b,然后作向量BC=c,则向量OC=(a (3)与a共线的向量有EF,BC.OD.FE.CB.D0.AO +b)+c=a+b+c即为所求. DA.AD. 法二：平行四边形法则如图所示， 首先在平面内任取一点O,作向量C 变式训练 OA=a.0B=b.oc=e.OA.OB 3.解析：(1)AB∥CD,且A,B,E三点共线，∴AB与CD BE共线. 为邻边作□OADB连接OD,则OD (2):AB=BE,且AB与BE方向相同，.AB=BE =OA+OB=a+b.再以OD,OC为 (3)向量AB的相反向量有CD.(4),AB=BC=CD=DA 邻边作□ODEC,连接OE,则OE-OD+OC=a十b+e即 为所求。 =BE,..ABI=IBCI=ICDI=DAI=BEL. 变式训练 答案：(1)BE,CD(2)BE(3)CD 1.解：(1)延长AC,在延长线上戴 (4)IBEI.|BCI.ICDI,IDAI 取CF=AO,则向量AF为所求. 随堂·步步夯实 1,D[:②③④是既有大小，又有方向的量，.它们是向 (2)在AB上取点G,使AG=号 量：而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向，∴.不是向量.] AB,则向量BG为所求 ·92· 参考答案 [例2][解]如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形， 预习自测 由向量加法的运算法则可知： 1.A[AC-AD=DC,在口ABCD中，D元=AB.] (1)AB+DF-AB+BC-AC. 2.A [AC-BC-AC+CB-AB. (2)AD+FC-AD+DB=AB. (3)AD+BC+FC=AD+DF+FC=AC. 3.C [BD=AD-AB=b-a.] [答案]：(1)AC(2)AB(3)AC 课堂·互动学案 变式训练 [例1][解](1)在正方形ABCD中，a-b= 2解：根据向量加法的三角形法则得 AB-BC=AB-AD=DB.连接BD,箭头指 (1)AB+BC-AC; 向B,即可作出a一b. (2)AB+BD-AD: (2)过B作BF∥AC,交DC的延长线于F,连 (3)AB+BC+CA=AC+CA=0. 接AF,则四边形ABFC为平行四边形， [例3][解]如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可 ∴a+c=AB+AC=AF.在△ADF中.DF=AF-AD 知，表示向量V风地的有向线段AD是□ABDC的对角线. a十c-b=a-b十c,.DF即为所求. D 变式训练 C 1.解析：方法一：如图1所示，在平面内任取一点O,作OA B a,AB=b,O=c,作OB.CB,则CB=Oi-OC=a+b-c. :AC1=4m/s.∠ACD=30°，1AD|=2m/s∴∠ADC= 90°.在R△ADC中，DCl=AClcos30°=23(mrs). [答]风的实际方向是吹向正北方向，汽车速度的大小 为2√3mis 0 变式训练 图1 图2 3.解：如图所示，OA=a=“向东走 方法二：a十b-c=a+b十（一c).如图2所示，在平面内任 3km”,AB=b=“向北走3km”OB 取-点0，作0A=a,A店=b,BC--c,则0元-a+b十(-c) =0A+AB=a+b,|OB1=√32+32 =a+b-c. =3√2(km).又OA与OB的夹角是 [例2][解](1)原式=AB+M店+Bò+OM 45°，所以a十b表示“向东北方向走 =(AB+BO)+(OM+MB) 3√2km". -AO+OB-AB. 随堂·步步夯实 (2)法一：原式=DB-DC=CB. 1.A[依向量加法的规则知AB+BC=AC.] 法二：原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB. 2.A[a∥b,且a>b>0,∴.当a,b同向时，a+b的方向 变式训练 与a相同，当a,b反向时，：a>b,.a+b的方向仍与a 2.解：1)OM-ON+M币-Ni: 相同.] =NM+MP-Ni=Np-Ni=A护】 3.A[AB+BC1=AC1=2.] (2)(AD-BM)+(BC-MC)=AD+MB+BC+CM= 4.解析：由向量加法平行四边形法则易知， 答案：a十b AD+(MB+BC+CM)=AD+0=AD. 2.2.2向量的减法运算 [例3][解]四边形ABCD是平行四边形，证明如下· 0A+0元=0B+0i 课前·预习学案 必备知识知识点 .OA-Oi=Oi-O元，即BA=Ci 1.相反向量3.终点终点 ∴.BA=CD且BA∥CD, 思考 ,∴.四边形ABCD是平行四边形. 1[提示]不对，相反向量要从“模长”与“方向”两个方面 变式训练 去理解，不仅是方向相反，还必须长度相等， 3.解：(1)由运算法则可得AC=AB+AD=a十b,BD=AD 2.[提示]含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的 -AB=b-a. 两边都加上或诚去同一个向量仍得到询量等式，移项法 (2)因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以要使AB 则对向量等式也是适用的. CD是矩形，应满足AC=BD1,即a十b=b-a. ·93·数学16展模决(o上) ##即 随堂·步步夯实 夯基图 ②速度 ③力 ④加 1.下列物理量;①质量 3.已知向量AB与向量BC共线,下列关于向量 速度 路程 密度 功.其中不是向 AC的说法中,正确的为 ( ) 量的有 C ) A.向量AC与向量AB一定同向 C.3个 A.1个 B.2个 D.4个 B.向量AC,向量AB,向量BC一定共线 2.下列说法中正确的是 C C.向量AC与向量BC一定相等 A.数量可以比较大小,向量也可以比较 D.以上说法都不正确 大小 4. 已知 ABl=1,|AC|=2,若 ABC=90$$ B.方向不同的向量不能比较大小,但同向 则BC- 的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 -温馨提示 学习至此,请完成配套训练 课时作业3 D.向量的模可以比较大小 2.2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法运算 课程标准 素养解读 1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义 1.通过向量加法的定义,三角形法则 2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会 平行四边形法则的应用,培养直观 进行向量的加法运算 想象核心素养. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行 2.通过向量加法的运算提升数学运算 计算. 核心素养. 课前·预习学案 落实双 情境引入 心备知识 [知识点一] 成都(C) 家住昆明的小张打算自 向量的加法 驾去成都旅游,出发前查看交 1.向量加法的定义 重庆( 定义:求 通情况发现成昆之间的高速 的运算,叫做向量的 加法. 公路严重拥堵,只好改变出行 2.向量求和的法则 路线,先驾车到重庆,再从重 ( 庆到成都,小张自驾旅程中的 已知非零向量a,b,在平面内任 位移情况如图所示,其中,点A、B、C分别代表 取一点A,作AB-a,BC-b,向 昆明、重庆和成都三地, 量AC叫做向量a与向量b的 试问,小张从点A经过点B到达点C接 三角形 和,记 ,即a+b-AB+ 法则 BC- 连两次位移AB、BC的结果,与原计划从点A 直接到达点C的位移AC有什么关系? C .10. 第2章 平面向量 续表 ②思考1.两个向量相加就是两个向量的模 相加吗? 规定 a+0=0+a=a a+(-a)= 2.向量加法的运算律与实数加法的运算律相 同吗? 已知两个不共线向量a,b,作AB -a,AD-b,以AB,AD为邻边 平行四 预习白测 作二ABCD,则对角线上的向量 1.AB+BC+AC 边形 A.AC -AB+AD-a+b. # B.2AC C.0 D.0 法则 2.在四边形ABCD中,若AC-AB十AD,则 ( ) A.ABCD是矩形 B. ABCD是菱形 C.ABCD是正方形 [知识点二] 向量加法的运算律 D.ABCD是平行四边形 交换律 a十b- 3.在平行四边形ABCD中,BC+DC+BA- 结合律 (a十b)十c一 A.BC B.DA C.AB D.AC 直去题型 课堂·互动学案 通法悟道 题里一,平面向量的加法及其几何意义 通法通性 例1 (1)如图甲所示,求作向量和a十b; (2)如图乙所示,求作向量和a十b十c. (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”,即第一个 向量的终点与第二个向量的起点重合; 甲 乙 ②以第一个向量的起点为起点,并以第 [思路点拨 根据三角形法则或平行四边 形法则作图 二个向量的终点为终点的向量,即为两 个向量的和. (2)应用平行四边形法则求向量和的基本 步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点。 ②以这两个已知向量为邻边作平行四 边形; ③平行四边形中,与两向量共起点的对 角线表示的向量为两个向量的和. .11. 数学16极快(g上) [变式训练] [变式训练] 1.已知 ABCD,O是两条对角 2.如图所示,在△ABC ### 线的交点,E是CD的一个三 中,D是边BC的中 等分点(靠近D点),求作: 点.求: (1)AO+AC;(2)DE+BA. (1)AB+BC; (2)AB+BD; R (3)AB+BC+CA ”向量加法的实际应用 题里二..平面向量的加法运算 例3 一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上 例2 如图,在△ABC中,D, 装着风速计和风向标,测得风吹向西偏北 E分别是AB,AC上的点, 30^{*},风速为4m/s.这时气象台报告实际风 F为线段DE延长线上一 速为2m/s,试求风的实际方向和汽车速度 点,DE//BC,AB//CF,连 大小. 接CD,那么(在横线上只填一个向量); [思路点拨 依据物理知识,有三个相对 (1)AB+DF- 速度,汽车对地的速度为v,风对车的速 (2)AD+FC- 度为v军,风对地的速度为v风.风对地的 (3)AD+BC+FC- 速度可以看成车对地与风对车的速度的合 速度,即风地一风车十· [思路点拨 熟练应用向量加法法则是解 题关键。 通法通性 用三角形法则或平行四边形法则求两个向 量的和时,应注意:(1)利用三角形法则时, 向量需“首尾相接”;(2)利用平行四边形法 则时,这两个向量需具有共同起点,以它们为 邻边构造平行四边形,其结果是与这两个向 量具有共同起点的对角线所表示的向量 .12. 第2章 平面向量 通法通性 [变式训练] 3.某人先向东走3km(用向量a表示),再向 解决与向量有关的实际应用题,应本着如 北走3km(用向量b表示),求a十b 下步骤:弄清实际问题→转化为数学问题 →正确画出示意图→用向量表示实际量→ 向量运算→回扣实际问题→作出解答, 随堂·步步夯实 夯基因 1.AB+BC- 3.正方形ABCD的边长为1,则AB+BC|= C.BA A.AC B.CA D.CB ( ) A./2 B.2/2 C.3/2 D.4/2 2.已知向量a/b,且a>b>0,则向量a 4.平行四边形ABCD中,若AB=a,AD=b. b的方向 ( ) 则AC A.与向量a方向相同 D B. 与向量a方向相反 C. 与向量方向相同 -温攀提示 学习至此,请完成配套训练 课时作业4 D.与向量方向相反 2.2.2 向量的减法运算 课程标准 素养解读 1.理解相反向量的概念 1.通过向量减法的定义,三角形法则、平行四边 2.理解向量减法的意义,掌握向量减法的运 形法则的应用,培养直观想象核心素养 算法则及其几何意义 2.通过向量减法的运算提升数学运算核心 3.能运用向量的加法与减法解决相关问题 素养, 课前·预习学案 落实双 情境引入 3.几何意义:如果把两个向量a、b的起点放在 我们知道,实数工减去实数v相当于加上 一起,则a一b可以表示为从向量b的 y的相反数,即x-y一x十(一y),向量的减法 指向向量a的 的向量. 如何定义呢? ②思考1.有人说:相反向量即方向相反的向 量,定义中“长度相等”是多余的,对吗? 必备知识 2.代数运算中的移项法则,在向量中是否仍 [知识点] 向量的减法 然成立? 1.定义;求两个向量差的运算叫做向量的减 法,a一b=a十(一b),即减去一个向量相当 于加上这个向量的 2.作法:已知向量a,b,在平 面内任取一点Q,作OA a,OB-b,则BA-a-b,如 图所示. .13.