2.1 向量的概念-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

参考答案 思考[提示]正确.若p是g的充要条件，则p一g,即p （②=2或-2学分式的值为0，但分式的值 等价于q,故此说法正确 x-2 预习自测 为0→x=一2，故p是g的必要不充分条件： 1.C[x3>1,等价于x>1,即“x>1"是“x3>1”的充要 (3)a>b→a十c>b+c,且a十c>b+c→a>b,故p是q的 条件.] 充要条件 2.BC“x2+y2=0”可化为“x=0且y=0”.] 随堂·步步夯实 3.A[若x=1.则x2-2x十1=0：若x2-2x十1=0，即(x 1.C[两数相乘等于0是“或”不是“且”.] -1)2=0,则x=1.] 2.B[两数相乘，同号为正.] 课堂·互动学案 3.A[r=2能推出|x=2,而x=2不能推出x=2,还可 [例1门解：(1)“如果x=2,那么x2=4”是真命题，其递命 能是=一2，所以是充分不必要条件.] 题“如果x2=4,那么x=2”是假命题，因此“x=2”不是 4.解析：p:(2.x-1)x=0,g:x=0,则p:x=0或x=2,故p “x2=4”的充要条件： 是q的必要不充分条件 (2)因为“如果>b,那么2“>2b”是真命题，其逆命题“如 答案：必要不充分 果2>2，那么a>b”也是真命题，所以“a>b”是“2> 第2章 平面向量 2心”的充要条件. 2.1向量的概念 变式训练 1.解：(1)命题“如果x”-3x十2=0，那么x=1”是假命题， 课前·预习学案 其逆命题“如采x=1,那么x2一3x十2=0”是真命题，所 必备知识知识点一 以“x2一3.x十2=0”"不是“x=1”的充要条件。 1.大小方向2.大小方向 知识点二 (2)命题“如果x是有理数，那么x是实数”是真命题，其 逆命题“如果，x是实数，那么x是有理数”是假命题，因此 1.方向3.AB4.起点 “x是有理数”不是“x是实数”的充要条件. 知识点三 (3)“如果圓心到直线的距离等于圖的半径，那么直线与 有向线段 IABI 圆相切”是真命题，其逆命题“如果直线与圆相切，那么圆 知识点四 心到直线的距离等于园的半径”也是真命题，因此“圆心 01相等相同相同或相反平行 到直线的距离等于圃的半径”是“直线与圆相切”的充要 思考 条件 1.[提示]向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 (4)“如果&>B,那么“sina>sin3是假命题，其逆命题“如 2.[提示]有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不 果sina>sinB,那么a>3”也是假命题，所以“a>B”不是 是向量 “sina>sinB的充要条件. 3.[提示]不一样，向量中的“平行”包括向量所在直线共 [例2]解：(1)p→qq不能推出p, 线和平行，而平面几何中的“平行”指两条直线平行. p是？的充分不必要条件。 预习自测 (2):p→q,g不能推出p, 1.B[向量指具有大小和方向的量，故只有B对，] ∴p是q的充分不必要条件。 2.D[因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对 (3)p不能推出q,9→p, 应向量的模都相等.] .p是g的必要不充分条件 3.D[因为向量a与向量b不相等，它们有可能共线，有可 (4)ab=0时，abl=ab, 能长度相等，有可能都是单位向量但方向不相同，但不能 .“|ab=ab”不能推出“ab>0”, 都是零向量，即选项A,B、C错误，D正确.] 即p不能推出q, 课堂·互动学案 而当ab>0时，有lab=ab,即q→p. [例1门[解]B[零向量模长为0，方向不确定，所以(1) p是g的必要不充分条件 为假命题：单位向量的模都等于1，所以(2)为真命题：对 变式训练 于(3)，如果b=0,就不一定能得到a∥c,所以(3)为假命 2.解：(1)x-3=0→(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0 题：两个相等向量的方向一定相同，所以(4)为真命题，所 户x一3=0，故p是q的充分不必要条件」 以正确答案选B.门 ·91 世数学拓辰模快（上） 变式训练 2.D.[不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B 1.解析： 不正确：向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长 度，与方向无关，故C不正确：向量的模是一个数量，可以 序号 正误 原因 比较大小，D正确.] ① ABI=IBAI=IABI 3.B[根据共线向量的定义，可知AB,BC,AC这三个向量 一定为共线向量，] ②四 平行向量包括方向相同或相反两种情况 4.解析：[△ABC是以B为直角的直角三角形，所以BC1 向量可以用有向线段表示，但不能把二 √22-12=3.] ③ 者等同起来 答案：3 ⊙ + 向量不能比较大小 2.2向量的线性运算 2.2.1 向量的加法运算 共线向量只要求方向相问或相反即可， ⑤ 课前·预习学案 并不要求向量在同一直线上 必备知识知识点一 共线的向量，若起点不同，则终点可以相 ⊙ 1.两个向量和2.a+bACA亡 同，也可以不同 知识点二 答案：① b+aa+(b-+c) [例2][解] 如图中的OA,AB和BC 思考 1.[提示]不是，向量的相加清足三角形法测，而模相加是 数量的加法 2.[提示]相同. 预习自测 1.B [AB+BC+AC=AC+AC=2AC.] 2.D[由向量加法的平行四边形法则知，ABCD是平行四 边形.门 变式训练 3.A[在平行四边形ABCD中，D心-AB,于是BC+DC+ 2.解：(1)作出向量AB,BC,CD,如图 BA=BC+AB+BA=BC.] 所示： 北 课堂·互动学案 (2)由题意得，△BCD是直角三角 [例1][解]1)首先作向量0A。 形，其中∠BDC=90°， 南 =a,然后作向量AB=b,则向量 BC=10√2米，CD=10米，所以BD=10米.△ABD是直 OB=a十b.如图所示. 角三角形，其中∠ABD=90°，AB=5来，BD=10米，所以 (2)法一：三角形法则如图所示，首 AD=√/52+102=55（米），所以AD1=55米 先在平面内任取一点O,作向量OA= [例3][解](1)与a相等的向量有Dò，CB.E a,再作向量AB=b,则得向量OB=a十 (2)a的相反向量有OD,BC,AO,FE b,然后作向量BC=c,则向量O元=(a (3)与a共线的向量有E下，BC.OD.FE.CB.D0.AO +b)+c=a+b+c即为所求. DA.AD. 法二：平行四边形法则如图所示， 首先在平面内任取一点O,作向量C 变式训练 Oi=a,O店=b.O元=c,以0A,0B 3.解析：(1)AB∥CD,且A,B,E三点共线，∴AB与CD BE共线. 为邻边作□OADB连接OD,则OD (2):AB=BE,且AB与BE方向相同，.AB-BE =OA+OB=a+b.再以OD,OC为 (3)向量AB的相反向量有CD.(4):AB=BC=CD=DA 邻边作□ODEC,连接OE,则OE-OD+OC=a十b+e即 为所求 =BE,..ABI=IBCI=ICDI=DAI=BEL. 变式训练 答案：(1)BE,CD(2)BE(3)CD 1.解：(1)延长AC,在延长线上戴 (4)IBEI.|BCI.ICDI.IDAI 取CF=AO,则向量AF为所求. 随堂·步步夯实 1,D[:②③④是既有大小，又有方向的量，.它们是向 (2)在AB上取点G,使AG=号 量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向，∴.不是向量.] AB,则向量BG为所求 ·92·第2章 平面向量 第2章 平面向量 2.1 向量的概念 课程标准 素养解读 1.了解向量的实际背景,理解向量的概念. 1.通过学习向量的有关概念,重点提升数 2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念, 学抽象等核心素养 3.理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等 2.会用有向线段表示向量,重点提升直观 概念. 想象等核心素养 ) 盘点新知 课前·预习学案 情境引A 3.长度:线段AB的长度也叫做有向线段AB 随着我国综合国力的不断增强,我国海军 的长度,记作 装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试 4.三个要素: 、方向、长度. 航,如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰 [知识点三] 向量的表示方法 从A点沿东北方向航行100nmile到达 B 用 AB表示向量,有向线段 点,如果S舰沿其他方向航行100nmile,能不 几何 的长度 能到达B点呢? 表示 表示向量的大小,有 向线段的方向表示向量的方向 北 通常在印刷时,用黑体小写字母a,b 字母 c....表示向量,书写时,可写成带箭 表示 头的小写字母a,b,c,... [知识点四] 与向量有关的概念 名称 定义 记法 向量a 的大小 向量a的大小 必备知识 la [知识点一]向量与数量 (或称模) 零向量 ,又有 的量叫 长度为 的向量 1.向量:既有 , 做向量. 模为 单位向量 的向量 没有 2.数量:只有 的量称为 数量. 模 且方 [知识点二]有向线段 相等向量 向 a-b 的向量 1.定义:具有确定 的线段叫做有向 线段. 与非零向量的模相等 2.表示方法:以A为起点、B为终点的有向线 相反向量 方向相反的向量 段记作AB. 。7. 数学16展模决(s上) 名称 定义 预习自测 记法 方向 的非 1. 下列选项中是向量的是 a/b 零向量 A.温度 B.速度 平行向量 C.密度 规定:①零向量的相 D.湿度 (或共线 反向量仍是零向量, 0/a 向量) 2.正”边形有”条边,它们对应的向量依次为 ②零向量与任何一个 a,a,a,...,a,则这n个向量 ( 向量 ) A.都相等 B.都共线 ②思考1.向量可以比较大小吗? C.都不共线 D.模都相等 2.有向线段就是向量吗? 3.向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一 3.若向量a与向量b不相等,则a与b一定 样吗? ( ) A.不共线 B.长度不相等 C.不都是单位向量 D.不都是零向量 > 课堂·互动学案 直击题型 一通法悟道 向量的有关概念 题到二.-量的.几何示 例1 下列四个命题中,真命题的个数是 例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的 (/ 边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量; (1)零向量没有方向;(2)单位向量的模一定 相等;(3)若a/b,b/c,则a/c;(4)若a b,则a/b. C.3个 A.1个 B.2个 D.4个 [思路点拨 本题考查向量的概念及单位 向量、零向量、向量的模(长度)等知识点,解 决此类问题的关键是弄清向量的有关概念, (1)OA,使OA=4/2,点A在点O北偏东 通法通性 45方向; 对向量的有关概念的理解要全面、准确,要 (2)AB,使AB|=4,点B在点A正东 注意相等向量与共线向量(或平行向量)之 方向; 间的区别和联系;零向量的长度为零,方向 (3)BC,使|BC=6,点C在点B北偏东30。 不确定,解题时一定要注意这一特殊向量, 方向. [变式训练] [思路点拨 先选定起点和方向,再按要 1.有下列说法: 求作图. ①向量AB和向量BA长度相等; ②方向不同的两个向量一定不平行; ③向量BC是有向线段; ④向量AB大于向量CD; 若向量AB与CD是共线向量,则A,B,C. D必在同一直线上; 共线的向量,若起点不同,则终点一定不同 其中,正确的说法是 (只填序号). .8. 第2章 平面向量 通法通性 题里三 相等向量,相反向量与共线向量 用有向线段表示向量的方法 例3 如图所示,O是正六边 (1)画图思路 形ABCDEF的中心,且OA 在画图时,向量是用有向线段来表示 一a,在每两点所确定的向 的,用有向线段的长度表示向量的大 量中: 小,用箭头所指的方向表示向量的 (1)与a相等的向量有哪些? 方向. (2)向量a的相反向量有哪些? (2)具体步骤 (3)与a共线的向量有哪些? [思路点拨 根据相等向量和共线向量的 先确定向量的起点 概念寻找. 再确定向量的方向 最后根据向量的长度确定向量的终点 ◇[变式训练] 2.某人从A点出发向东走了5米到达B点 然后改变方向沿东北方向走了10/②米到达 C点,到达C点后又改变方向向西走了10 通法通性 米到达D点: 共线向量与相等向量的判断 (1)作出向量AB,BC.CD; (1)如果两个向量所在的直线平行或重合, 那么这两个向量是共线向量, (2)求AD的模 (2)共线向量不一定是相等向量,但相等向 量一定是共线向量 (3)非零向量的共线具有传递性,即向量 a,b,c为非零向量,若a/b,b//c,则可 推出a/c. [变式训练] 3.如图,四边形ABCD为正方形,八BCE为等 腰直角三角形. D. (1)图中所标出的向量与AB共线的 (2)图中所标出的向量与AB相等的 (3)图中标出的向量是AB的相反向量的有 (4)图中所标出的向量与AB模相等的 甫 9. 数学16展模决(o上) ##即# 随堂·步步夯实 夯基图 ②速度 ③力 ④加 1.下列物理量:①质量 3.已知向量AB与向量BC共线,下列关于向量 速度 路程 密度 功.其中不是向 AC的说法中,正确的为 ( ) 量的有 C ) A.向量AC与向量AB一定同向 C.3个 A.1个 B.2个 D.4个 B.向量AC,向量AB,向量BC一定共线 2.下列说法中正确的是 C.向量AC与向量BC一定相等 A.数量可以比较大小,向量也可以比较 D.以上说法都不正确 大小 4. 已知|AB =1,|ACl=2,若 ABC=90$$ B.方向不同的向量不能比较大小,但同向 则BC- 的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 -温提示 学习至此,请完成配套训练 课时作业3 D.向量的模可以比较大小 2.2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法运算 课程标准 素养解读 1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义 1.通过向量加法的定义,三角形法则 2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会 平行四边形法则的应用,培养直观 进行向量的加法运算 想象核心素养. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行 2.通过向量加法的运算提升数学运算 计算. 核心素养. 课前·预习学案 落实双 情境引入 心备知识 [知识点一] 成都(C) 家住昆明的小张打算自 向量的加法 驾去成都旅游,出发前查看交 1.向量加法的定义 重庆( 定义:求 通情况发现成昆之间的高速 的运算,叫做向量的 加法. 公路严重拥堵,只好改变出行 2.向量求和的法则 路线,先驾车到重庆,再从重 庆到成都,小张自驾旅程中的 已知非零向量a,b,在平面内任 位移情况如图所示,其中,点A、B、C分别代表 取一点A,作AB-a,BC一b,向 昆明、重庆和成都三地, 量AC叫做向量a与向量b的 试问,小张从点A经过点B到达点C接 三角形 和,记 ,即a+b-AB+ 法则 BC- 连两次位移AB、BC的结果,与原计划从点A 直接到达点C的位移AC有什么关系? C .10.