1.2 充要条件-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

世数学拓辰校快（上） 巩固即学 随堂·步步夯实 参基固本 1.下列是命题的是 ( 3.“x,y均为奇数”是“x十y为偶数”的( A.二次函数图像真好看！ A.充分条件但不是必要条件 B.get out(出去)！ B.必要条件但不是充分条件 C.我是高中生 C.既充分又必要条件 D.我是来学习的吗？ D.既不充分也不必要条件 2.“a>b”是“a>|b”的 4.已知a,b都是实数，那么“|a|>|b”是“a A.充分条件但不是必要条件 >6”的 条件（填“充分”或 B.必要条件但不是充分条件 “必要”) C.既充分也必要条件 ©温蓉提 学习至此，请完成配套训练 课时作业1 D.既不充分也不必要条件 1.2充要条件 课程标准 素养解读 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经 通过对典型数学命题的梳理，理 历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推 解充要条件的意义，理解数学定 理素养与数学抽象素养】 义与充要条件的关系。 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 2.如果pPq且 ,则称p是q的必要 姚明大家都认识.他说过 不充分条件 很多很经典的话。其中有一句 3.如果p→q且 ,则称p是g的充分 给我留下了很深刻的印象？他 必要条件（简称为充要条件），记作p台q,此 说：“努力不一定成功.但放弃 时，也读作“p与g等价”“p当且仅当g”. 一定失败”。话语中有两组关 4.如果p→q且q户p,则称p是g的既不充分 键词：“努力”和“成功”：“放弃” 也不必要条件 和“失败”，每组中的两个词之间有什么样的逻 辑关系？ ?思考若p是g的充要条件，则命题p和g 是两个相互等价的命题.这种说法对吗？ 必备知识 [知识点一]充要条件 般地，若命题“如果p,那么q”是真命 预习自测 题，其逆命题“如果q,那么p”也是真命题，即 p→q且p二q,则称p是g的充分且必要条件， 1.设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的 简称 ,也称p与g等价，记为 A.充分不必要条件 [知识点二]四类条件 B.必要不充分条件 1.一般地，如果p→g且 ,则称p是q C.充要条件 的充分不必要条件. D.既不充分也不必要条件 第1章充要条件 2.“xy=0”是“x2+y2=0”的 () 3.“x=1”是“x2-2x十1=0”的 A.充分不必要条件 A.充要条件 B.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 直击题型 课堂·互动学秦 通法悟道 题型一 充要条件的判断 ⊙[变式训练] 例1 判断下列命题中的条件是否为结论的 1.判断下列命题中的条件是否为结论的充要 充要条件 条件。 (1)如果x=2,那么x2=4: (1)如果x2-3.x+2=0,那么x=1: (2)如果a>b,那么2>2. (2)如果x是有理数，那么x是实数： [思路点拨了判断原命题和逆命题的真假。 (3)如果圆心到直线的距离等于圆的半径， 那么直线与圆相切： (4)如果a>3,那么sina>sinB. 通法通性 判断p与q的逻辑关系时，不但要通过原 命题的真假判断p是不是q的充分条件， 还要通过其逆命题的真假判断p是不是q 的必要条件， ·5 世数学拓辰模快（上） 题型充分、必要、充要条件的判断 ⊙[变式训练] 例2指出下列各组命题中，p是g的什么条 2.指出下列各题中p是9的什么条件（在‘充 件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要 分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条 条件，既不充分也不必要条件) 件”既不充分也不必要条件”中选一个 (1)p:数a能被6整除；q:数a能被3整除； 作答) (2)p:x>1,g:x2>1; (1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0: (3)p:△ABC有两个角相等，g:△ABC是 (2)p:x=2或-2，g:分式的值为0： 正三角形； (3)p:a>b;q:a+c>b+c. (4)p:ab=ab,q:ab0. [思路点拨]依据条件和结论的推出关系 逐一判断. 通法通性 判断充分条件、必要条件及充要条件的三 种方法 (1)定义法：直接判断“若p,则g以及“若 g,则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p一q与q台p的等价关 系，对于条件和结论是否定形式的命 题，一般运用等价法。 巩固即学 随堂·步步夯实 奔基固本 1.(x一3)(x+1)=0的充要条件是 ( 3.“x=2”是“|x=2”的 A.x=3 A.充分不必要条件 B.x=-1 B.必要不充分条件 C.x=-1或x=3 D.x=-1且x=3 C.既充分又必要条件 2.ab>0的充要条件是 ( D,既不充分也不必要务件 A.a<0且b<0 4.“(2x一1)x=0”是“x=0”的 条件 B.a>0且b>0或a<0且b<0 C温馨提污 C.a>0或b>0 学习至此，请完成配套训练 课时作业2 D.a>0且b>0 ·6世数学佑辰模快（上） 参考答案 第1章充要条件 [例2][解](1)因为“如果x十y为偶数，那么x、y都是 1.1充分条件和必要条件 偶敏”的逆命题“如果xy都是偶数，那么x十y为偶数” 是真命题，所以“x十y为偶数”是“x,y都是偶数”的必要 课前·预习学案情境引入 条件 [提示](1)一定亮. (2)不一定，还可能是C开关闭合. (2)图为“如果a=吾，那么sina=号”的逆争题“知采 必备知识知识点一 1.真命题假命题2.条件结论 si如a=,那么a=晋”是假命题，所以“a=吾”不是“sn0 知识点二 =”的必要条件 2 1.p户gp→g2.p≠q (3)因为“如果a=b,那么a=|b川”的逆命题“如果a= 思考[提示]“菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四 |b,那么a=b”是假命题，所以“a=”不是“a=b”的 边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对 必要条件 角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件， 变式训练 预习自测 2.解：(1)若x=|yl,则x=y或x=一y,国此pg,所以 1.A[x=2能推出x2-2x=0,而x2-2x=0不能推出x q不是p的必要条件。 =2,因为还可能x=0,所以是充分不必要条件，] (2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此p中q,所以q 2.B[x+4=0→x2-16=0,但由x2-16=0不能推出x 不是力的必要条件 十4=0，所以是充分不必要条件，] (3)当x=1时，x-1=√x-1=0, 3.B[△ABC是等腰三角形不能推出△ABC是等腰直角 所以p→g,所以q是p的必要条件. 三角形，而△ABC是等腰直角三角形能推出△ABC是等 (4)设A=[-2,5],B=[-1,5],则BA, 腰三角形，所以是必要不充分条件.] 所以pPq,所以g不是p的必要条件. 课堂·互动学案 (5)0是自然数，但是0不是正整数，所以p办q,所以q不 [例1][解](1)由于QR,所以此命题是真命题，p→， 是p的必要条件 所以p是q的充分条件. (6)三角形是等边三角形能推出三角形是等腰三角形，所 (②)由于a<6:当0时，分>1：当6>0时，号<1.所以 以g是p的必要条件 此命题是假命题，p中q,所以p不是q的充分条件 随堂·步步夯实 (3)由x>1可以推出x>1.因此p→q,所以p是g的充 1.C[根据命题的概念可知，A、B为感叹句，故不是命题： 分条件 C是可以判断真假的陈述句，是命题：D为疑问句，故不是 命题.] (4)设A={a(a-2)(a-3)=0}.B={3,则B至A.所以 此命题是假命题，pPg,所以力不是q的充分条件 2.B[由a>b→a>b,而由a>b不能推出a>b.∴.a> (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B,则BC> b"是“a>b"的必要条件但不是充分条件，] 3.A[由x,y均为奇数，可以推出x十y为偶数：但x十y AC.所以此命题是真命题，p一q,所以p是q的充分 条件， 为偶数，如x-2,y=4,推不出xy均为奇数，故“x,y均 变式训练 为奇数”是“x十y为偶数”的充分条件但不是必要条件.] 1.解：(1)若x2=y2,则x=y或x=一y,因此pg所以p 4.解析：ai可得a>b≥0可以推出la>bl,但a>b不 不是9的充分条件. 可以推出a>石 (2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0， 答案：必要 即2-4ac≥0，所以p→q,所以p是q的充分条件。 1.2充要条件 (3)若整数a能被4整除，则a是偶数， 课前·预习学案 所以a的个位数字为偶数， 必备知识知识点一 所以p→q,所以p是q的充分条件. 充要条件一q (4)因为(x-1)2+(y-2)2=0→x=1且y=2→(x-1) 知识点二 (y一2)=0，所以p→g,所以p是q的充分条件. 1.qPp2.q→p3.q→p ·90· 参考答案 思考[提示]正确.若p是g的充要条件，则p一g,即p （②=2或-2学分式的值为0，但分式的值 等价于q,故此说法正确 x-2 预习自测 为0→x=一2，故p是g的必要不充分条件： 1.C[x3>1,等价于x>1,即“x>1"是“x3>1”的充要 (3)a>b→a十c>b+c,且a十c>b+c→a>b,故p是q的 条件.] 充要条件 2.BC“x2+y2=0”可化为“x=0且y=0”.] 随堂·步步夯实 3.A[若x=1.则x2-2x十1=0：若x2-2x十1=0，即(x 1.C[两数相乘等于0是“或”不是“且”.] -1)2=0,则x=1.] 2.B[两数相乘，同号为正.] 课堂·互动学案 3.A[r=2能推出|x=2,而x=2不能推出x=2,还可 [例1门解：(1)“如果x=2,那么x2=4”是真命题，其递命 能是=一2，所以是充分不必要条件.] 题“如果x2=4,那么x=2”是假命题，因此“x=2”不是 4.解析：p:(2.x-1)x=0,g:x=0,则p:x=0或x=2,故p “x2=4”的充要条件： 是q的必要不充分条件 (2)因为“如果>b,那么2“>2b”是真命题，其逆命题“如 答案：必要不充分 果2>2，那么a>b”也是真命题，所以“a>b”是“2> 第2章 平面向量 2心”的充要条件. 2.1向量的概念 变式训练 1.解：(1)命题“如果x”-3x十2=0，那么x=1”是假命题， 课前·预习学案 其逆命题“如采x=1,那么x2一3x十2=0”是真命题，所 必备知识知识点一 以“x2一3.x十2=0”"不是“x=1”的充要条件。 1.大小方向2.大小方向 知识点二 (2)命题“如果x是有理数，那么x是实数”是真命题，其 逆命题“如果，x是实数，那么x是有理数”是假命题，因此 1.方向3.AB4.起点 “x是有理数”不是“x是实数”的充要条件. 知识点三 (3)“如果圓心到直线的距离等于圖的半径，那么直线与 有向线段 IABI 圆相切”是真命题，其逆命题“如果直线与圆相切，那么圆 知识点四 心到直线的距离等于园的半径”也是真命题，因此“圆心 01相等相同相同或相反平行 到直线的距离等于圃的半径”是“直线与圆相切”的充要 思考 条件 1.[提示]向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 (4)“如果&>B,那么“sina>sin3是假命题，其逆命题“如 2.[提示]有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不 果sina>sinB,那么a>3”也是假命题，所以“a>B”不是 是向量 “sina>sinB的充要条件. 3.[提示]不一样，向量中的“平行”包括向量所在直线共 [例2]解：(1)p→qq不能推出p, 线和平行，而平面几何中的“平行”指两条直线平行. p是？的充分不必要条件。 预习自测 (2):p→q,g不能推出p, 1.B[向量指具有大小和方向的量，故只有B对，] ∴p是q的充分不必要条件。 2.D[因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对 (3)p不能推出q,9→p, 应向量的模都相等.] .p是g的必要不充分条件 3.D[因为向量a与向量b不相等，它们有可能共线，有可 (4)ab=0时，abl=ab, 能长度相等，有可能都是单位向量但方向不相同，但不能 .“|ab=ab”不能推出“ab>0”, 都是零向量，即选项A,B、C错误，D正确.] 即p不能推出q, 课堂·互动学案 而当ab>0时，有lab=ab,即q→p. [例1门[解]B[零向量模长为0，方向不确定，所以(1) p是g的必要不充分条件 为假命题：单位向量的模都等于1，所以(2)为真命题：对 变式训练 于(3)，如果b=0,就不一定能得到a∥c,所以(3)为假命 2.解：(1)x-3=0→(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0 题：两个相等向量的方向一定相同，所以(4)为真命题，所 户x一3=0，故p是q的充分不必要条件」 以正确答案选B.门 ·91