专题02 解一元二次不等式（讲义） -吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块2不等式的第2个专题：解一元二次不等式。本专题涵盖一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 解一元二次不等式（讲义） 知识点1：一元二次不等式的概念 (1)定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). (3) 一元二次不等式的解集：使某一个一元二次不等式成立的x值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，记作这个一元二次不等式的解集. 知识点2：一元二次不等式的解法 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 【归纳总结】一元二次不等式解集常用口诀为“大于取两边，小于取中间”该口诀适用于二次项系数为正且方程存在实数根的情形.即一元二次不等式对应的一元二次方程的两根为,则解集分布在两根外侧区间，表示为.同理，一元二次不等式对应的一元二次方程的两根为,则解集分布在两根之间的区间，表示为. 应用前提条件：使用该口诀需严格遵守以下前提 ①标准化形式：将不等式整理为形式，且右侧为0; ②二次项系数为正：若原式二次项系数为负，需先乘以并翻转不等号方向； ③方程有实根：当判别式时，方程有两个不同实根，口诀直接适用，若或,需另行分析 知识点3：一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 考点:解一元二次不等式（重要考点） 【典例精讲1】解下列不等式： （1）； （2）不等式 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）求得方程的解为.根据的图象开口向上，可解得原不等式的解是. (2)将一元二次不等式因式分解，求解即可. 【解析】（1）不等式两边同乘以，原不等式可化为. 方程的解为. 而的图象开口向上，可得原不等式的解是. (2) ，解得或 故选：B 【易错练】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求解不等式，再用区间表示. 【解析】不等式，等价于,因为的两根分别为和， 所以不等式，得 解集用区间表示为. 故选：C 【易错点睛】本题容易选A,主要原因是考生没有注意到不等式中二次项系数为负，这是就需要“变”——把不等式变形为二次项系数大于零且一端为0的形式.然后才可以利用解方程的形式求根，再写出对应的解集（口诀：大于取两边） 【典例精讲2】不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，即可得出结果. 【解析】不等式可以转化为. 等价于，∴， ∴， ∴不等式的解集为. 故选：A 【易错练】求关于的不等式：解集. 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解. 【解析】由得， 其解集等价于， 解得. 故选： 【易错点睛】由分式不等式,其解集的等价形式容易写成：从而导致解题错误，另外还要注意不等式的二次项系数为负，所以解题时要转化为,并且. . 【典例精讲3】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）依题意可得，则，解得即可； （2）依题意可得不等式的解集为，即方程的两个根为和，利用韦达定理计算可得. 【解析】（1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∴方程的两个根为和. ∴且，解得. ∴实数的值为. 【易错练】若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【解析】因为不等式的解集为， 所以，（韦达定理：）所以， 所以不等式可整理为 ， 即， 也即，解得， 故答案为: . 【易错点睛】由，两边约去，容易得到不等式： 错误的原因是认为,实际上由“不等式的解集为”的分析，可知,约去时，不等式要变号. 1. （2025年吉林高职高专院校单独招生统一考试）不等式的解集为（ ） A． B. C. D. 【答案】D 【解析】（解法一：直接法）只需解方程，因为两根分别是则不等式解集为，（大于取两边）.故答案选D (解法二：特殊值法)当时，与矛盾，故，排除A,B 当时，，所以不等式成立，所以排除C. 故答案选D 2.（2023年吉林高职高专院校单独招生统一考试）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方程的两根分别是，所以不等式的解集是(小于取中间)，故答案选C. 3.（2024年四川省普通高等学校高职教育单独招生统一考试）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】方程的两根分别是，所以不等式的解集为 ，故答案选A 4.（2022年四川省普通高等学校高职教育单独招生统一考试）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以不等式，即，解得 故答案选A 5.（2024年河北中等职业学校对口升学考试）若不等式的解集为，则 【答案】 【解析】(解法一)依题意一元二次方程有两个相等的实数根，即 ,故答案为. （解法二）依题意一元二次方程有两个相等的实数根，由图象可知 函数对称轴为，即，解得 ,故答案为. 1. 不等式的解集为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】．C 【分析】将或3代入不等式左侧判断与0的大小关系，即可确定元素与集合的关系. 【解析】由，故， 由，故. 故选：C 2.不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用“三个二次”的关系解二次不等式. 【解析】不等式的解集为或. 故选：A. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 3.不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据一元二次不等式的解法求解． 【解析】：∵，∴，无解 故选：D． 4. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】化简原不等式，结合一元二次不等式解法求结论. 【解析】不等式，可化为， 因为不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：A. 5. 不等式的解集为（    ） A． B． C．，或 D．，或 【答案】B 【分析】对于二次项系数是负数的一元二次不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. 【解析】不等式可化为，解得. 故选：B. 6. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意不等式等价于，再根据一元二次不等式的解法计算可得. 【解析】不等式等价于，解得或， 即不等式的解集为． 故选：D． 7. 不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得. 【解析】由原式得且，解得， 即不等式的解集为. 故选：B 8. 不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将分式不等式化为整式不等式，再求一元二次不等式即可. 【解析】不等式，即，，解得或， 故不等式解集为：. 故选：D. 9. 不等式的解集是（    ） A．全体实数 B．空集 C．正实数 D．负实数 【答案】B 【分析】根据二次函数与一元二次不等式的解的关系确定． 【解析】 所以不等式的解集为空集． 故选：B． 10. 若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对应的方程两根为，只需比较两根大小即可. 【解析】因为，所以，则不等式解集为：． 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块2不等式的第2个专题：解一元二次不等式。本专题涵盖一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 解一元二次不等式（讲义） 知识点1：一元二次不等式的概念 (1)定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； (2)一般形式：，(其中，为常数). (3) 一元二次不等式的解集：使某一个一元二次不等式成立的x值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，记作这个一元二次不等式的解集. 知识点2：一元二次不等式的解法 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 【归纳总结】一元二次不等式解集常用口诀为“大于取两边，小于取中间”该口诀适用于二次项系数为正且方程存在实数根的情形.即一元二次不等式对应的一元二次方程的两根为,则解集分布在两根外侧区间，表示为.同理，一元二次不等式对应的一元二次方程的两根为,则解集分布在两根之间的区间，表示为. 应用前提条件：使用该口诀需严格遵守以下前提 ①标准化形式：将不等式整理为形式，且右侧为0; ②二次项系数为正：若原式二次项系数为负，需先乘以并翻转不等号方向； ③方程有实根：当判别式时，方程有两个不同实根，口诀直接适用，若或,需另行分析 知识点3：一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 考点:解一元二次不等式（重要考点） 【典例精讲1】解下列不等式： （1）； （2）不等式 【易错练】不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【典例精讲2】不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【易错练】求关于的不等式：解集. 【典例精讲3】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【易错练】若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ． 1. （2025年吉林高职高专院校单独招生统一考试）不等式的解集为（ ） A． B. C. D. 2.（2023年吉林高职高专院校单独招生统一考试）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3.（2024年四川省普通高等学校高职教育单独招生统一考试）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4.（2022年四川省普通高等学校高职教育单独招生统一考试）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5.（2024年河北中等职业学校对口升学考试）若不等式的解集为，则 1. 不等式的解集为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2.不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 3.不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 5. 不等式的解集为（    ） A． B． C．，或 D．，或 6. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7. 不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 8. 不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9. 不等式的解集是（    ） A．全体实数 B．空集 C．正实数 D．负实数 10. 若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$