专题1.1 反比例函数（高效培优讲义）数学湘教版九年级上册

专题1.1 反比例函数 教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 教学重难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 知识点01 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的 是一个 ，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成 的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即学即练】 1．把化为的形式： ，其中 ； 2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 3．若是反比例函数，则a的值为 ． 知识点02 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用 求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【即学即练】 1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为 ． 2．已知y与x成反比例，且当时，． (1)求函数的关系式； (2)当时，y的值是多少？ 3．已知与成反比例，当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 题型01 用反比例函数描述数量关系 【典例1】下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【变式1】下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【变式2】下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．圆的面积和半径 D．平行四边的面积一定，它的底和高 【变式3】下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 题型02 根据定义判断是否是反比例函数 【典例1】．下列表达式中，y是x的反比例函数的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【变式3】下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型03 根据反比例函数的定义求参数 【典例1】若是反比例函数，那么m的值是 ． 【变式1】已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 【变式2】若函数是反比例函数，则的值是 ． 【变式3】已知是关于的反比例函数，则 ． 题型04 求反比例函数的值 【典例1】已知反比例函数的图象经过点，则 ． 【变式1】已知函数．当时， ；当时， ． 【变式2】若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【变式3】已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 题型05 由反比例函数值求自变量 【典例1】若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【变式2】若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【变式3】已知y与成反比例，且当时，，那么当时， ． 题型06 求反比例函数的解析式 【典例1】若y与x成反比例关系，且时，，求y与x的函数表达式． 【变式1】一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的值． 【变式2】函数（为常数）的图象过点． (1)求的值； (2)小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 【变式3】已知，其中与成反比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)当时，求的值 1．从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对 2．已知点在双曲线上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 3．已知点在双曲线上，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 4．下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 5．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，则的值是（　　） A．0 B． C．1 D．3 6．双曲线经过点，则 . 7．若点与点都在反比例函数的图象上，则 ． 8．若函数是反比例函数，则 ． 9．某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为 分钟． 10．双曲线如图所示，边长为2的正方形顶点A横坐标为2，轴．将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是 ． 11．下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 12．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 13．面积是30的梯形，其上底长是下底长的，已知上底长为x，高为y． (1)y与x的函数表达式为______，y是x的______函数； (2)在这个实际问题中自变量x的取值范围是______． 14．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若，求x的值． 15．已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 16．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 17．已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是，A是的中点，点C在坐标轴上，将绕点B顺时针旋转得到． (1)线段的长度是________； (2)若反比例函数的图象经过点，求这个反比例函数的表达式． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 反比例函数 教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 教学重难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 知识点01 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即学即练】 1．把化为的形式： ，其中 ； 【答案】 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据反比例函数的形式变形即可． 【详解】解：由得，所以， 故答案为：，． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 【答案】②⑤/⑤② 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：是的反比例函数的有，． 故答案为：②⑤ 3．若是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 故答案为：． 知识点02 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【即学即练】 1．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为 ． 【答案】12 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意将点代入解析式，即可进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； 故答案为：． 2．已知y与x成反比例，且当时，． (1)求函数的关系式； (2)当时，y的值是多少？ 【答案】(1) (2)8 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题考查的是反比例的含义，求解反比例函数解析式； （1）设解析式，然后把一组对应值代入求出k即可； （2）把x的值代入（1）中解析式即可得到对应的函数值． 【详解】（1）解：设解析式为：， 把，代入得， 所以函数解析式为； （2）当时，． 3．已知与成反比例，当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的关系式． （1）根据与成反比例关系，且当时，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式； （2）把代入求出x的值即可 【详解】（1）解：∵与成反比例关系， ∴， ∵当时，，即， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：∵由（1）知y与x的关系式为， ∴当时，， 解得：． 题型01 用反比例函数描述数量关系 【典例1】下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【知识点】 反比例的意义及辨识、用反比例函数描述数量关系 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误； B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误； C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确； D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误. 故选：C 【变式2】下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．圆的面积和半径 D．平行四边的面积一定，它的底和高 【答案】D 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例的意义，掌握“两个相关联的量对应的乘积一定，则这两个量成反比例关系”知识点是解题的关键．根据成反比例的意义，对选项逐一分析判定即可． 【详解】解：读一本书，已读的页数未读的页数总页数（一定），和一定，不满足成反比例的关系，故A选项错误； 长方形的周长一定，则长方形的长与宽之和一定，不满足成反比例的关系，故B选项错误； 圆的面积和半径满足公式，显然不满足成反比例的关系，故C选项错误； 平行四边的面积一定，则它的底和高的乘积一定，满足成反比例的关系，故D选项正确． 故选：D． 【变式3】下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键 根据成反比例的定义解答即可． 【详解】A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意； B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意； C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意； D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：B． 题型02 根据定义判断是否是反比例函数 【典例1】．下列表达式中，y是x的反比例函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、识别一次函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义特点，反比例函数解析式的一般形式为：（其中k是常数，且），找到可整理为（其中k是常数，且）的式子即可． 【详解】解：A．是正比例函数，故不符合题意； B．整理为是正比例函数，故不符合题意； C．是一次例函数，故不符合题意； D．整理为是反比例函数，故符合题意； 故选：D． 【变式1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数解析式的一般式为常数），据此依次判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，故此选项不符合题意； B．符合反比例函数的定义，故此选项符合题意； C．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意； D．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（   ） A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥ 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：由得，，故反比例函数有：①③⑥； 故选：B． 【变式3】下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如或或，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，，，能表示是的反比例函数，共3个； 故选B． 题型03 根据反比例函数的定义求参数 【典例1】若是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， ， 故答案为：． 【变式1】已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 【答案】B 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 故选：B ． 【变式2】若函数是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，则即可求解，解题关键是将一般形式转化为的形式． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型04 求反比例函数的值 【典例1】已知反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】3 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将代入函数表达式解方程即可得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得， 故答案为：3 ． 【变式1】已知函数．当时， ；当时， ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，直接把和分别代入中，求出对应的y的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，； 当时，； 故答案为：1；． 【变式2】若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 把代入得：， 故答案为：． 【变式3】已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案． 【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型05 由反比例函数值求自变量 【典例1】若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为： 【变式1】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：0． 【变式2】若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．先将代入，求得该函数的解析式，再求得时，的值即可得到答案． 【详解】解：的图象经过点和， ， 该函数的解析式为， 当时，，即 故答案为：2． 【变式3】已知y与成反比例，且当时，，那么当时， ． 【答案】/ 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例关系，设，根据时，，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：． 题型06 求反比例函数的解析式 【典例1】若y与x成反比例关系，且时，，求y与x的函数表达式． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据题意，设反比例函数的解析式为，把，，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得：， ∴， ∴． 【变式1】一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法． （1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得 ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得 ． 【变式2】函数（为常数）的图象过点． (1)求的值； (2)小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不赞同，理由见解析 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． （1）将代入求解即可． （2）取特殊值判断即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入， 则， 解得：，． （2）解：不赞同 根据（1）可得，该函数图象上的任意一点，则， 当时，则有， 故小明说法不正确． 【变式3】已知，其中与成反比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)当时，求的值 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程，求函数值，熟悉正比例函数的定义，根据题意列出方程组是解本题的关键． （1）设，，则，根据题意列出二元一次方程组，求出，即可得出答案； （2）把代入（1）所求函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：与成反比例， 设 与成正比例， 设 ， 当时，，当时，． ，解得 与x的函数表达式为； （2）解：当时，． 1．从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例关系概念，根据乘积一定的两个相关联的量成反比例关系进行求解，即可解题． 【详解】解：在数量关系路程速度时间中，当路程一定时，速度和时间成反比例关系， 时间与速度成反比例关系， 故选：C． 2．已知点在双曲线上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数的性质．将点代入，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：A． 3．已知点在双曲线上，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；将点坐标代入函数解析式即可求得k的值 【详解】解：将点代入双曲线得： ， 解得：， 故选：C． 4．下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数定义：两个变量之间的关系为的形式，由反比例函数定义逐项判断即可得到答案，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：①（为常数），是反比例函数； ②，是正比例函数； ③，是反比例函数； ④，是反比例函数； ⑤，是正比例函数； ⑥由得到，是反比例函数； 综上所述，反比例函数有：①③④⑥，共4个， 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，则的值是（　　） A．0 B． C．1 D．3 【答案】A 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．将两点代入得到，则，即可判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， 故选：A． 6．双曲线经过点，则 . 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴． 故答案为：． 7．若点与点都在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】4 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 将点与代入反比例函数可得一个关于k的一元一次方程求解即可． 【详解】解；将点与代入反比例函数可得： ，解得：． 故答案为：4． 8．若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，， 解得． 故答案为： 9．某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为 分钟． 【答案】5 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查求反比例函数的函数值，将代入计算即可． 【详解】解：当时，（分钟）， 故答案为：5． 10．双曲线如图所示，边长为2的正方形顶点A横坐标为2，轴．将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是正方形的性质，平移的性质，反比例函数的应用；先判断落在双曲线上，设平移后，则，再进一步求解即可． 【详解】解：∵将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上， ∴落在双曲线上， ∵边长为2的正方形顶点A横坐标为2， ∴设平移后，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 11．下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)是， (3)不是 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）易得，不是反比例函数； （2）易得，是反比例函数，， （3）易得，不是反比例函数． 【详解】（1）解：不是； ∵， ∴，不是反比例函数； （2）是； ∵， ∴ ∴； （3）不是； ∵， ∴，不是反比例函数； 12．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 (3) 【知识点】用反比例函数描述数量关系、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查列函数关系式，判断是否是反比例函数，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每天的数量乘以天数等于总量，列出函数关系式，进行判断即可； （2）根据菱形的面积公式，列出函数关系式，进行判断即可； （3）根据路程等于速度乘以时间，列出函数关系式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，是反比例函数； （2）由题意，得：； ∴，是反比例函数； （3）由题意，得：；不是反比例函数． 13．面积是30的梯形，其上底长是下底长的，已知上底长为x，高为y． (1)y与x的函数表达式为______，y是x的______函数； (2)在这个实际问题中自变量x的取值范围是______． 【答案】(1)，反比例 (2)大于0的一切实数 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）根据梯形的面积公式，进行求解即可； （2）根据自变量的实际意义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， 故y是x的反比例函数； 故答案为：，反比例； （2）解：∵梯形的上底长为x， ∴为大于0的一切实数； 故答案为：大于0的一切实数． 14．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】（1）根据反比例函数定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入函数表达式计算即可． 本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，设．把，代入，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）把代入， 解得． 15．已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的图象及其性质以及用待定系数法求函数图象． （1）用待定系数法求出的值即可； （2）分别求出对应的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个函数的解析式为：， （2）解：∵当时，， 当时，， ∴当时，则的取值范围是． 16．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【知识点】由反比例函数值求自变量、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 17．已知，与x成正比例，与成反比例，且当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)5 【知识点】求自变量的值或函数值、求反比例函数解析式、正比例函数的定义 【分析】考查了待定系数法的应用． （1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可； （2）将代入（1）中求值即可． 【详解】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是，A是的中点，点C在坐标轴上，将绕点B顺时针旋转得到． (1)线段的长度是________； (2)若反比例函数的图象经过点，求这个反比例函数的表达式． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】求反比例函数解析式、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据线段中点的意义即可得到，由旋转的性质可得轴，则； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标是，A是的中点， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴轴， ∴； （2）解：由（1）得，将代入， 则， 反比例函数的表达式为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$