专题3.1函数的概念及表示（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

原卷编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第三章函数的第1个专题：函数的概念及表示.本专题涵盖函数的基本概念、定义域和值域的求法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3.1 函数的概念及表示（讲义） 知识点1 函数的基本概念 1.函数的定义：一般地，设D是非空数集，对于D中的每一个x，按照某一个确定的对应法则f，都有唯一确定的值y与它对应，那么就称y为x的函数，记作. 注意：在判断一个图像是否为函数图像的时候，就根据定义来判断，x和y的值如果是一对一，多对一，那么就是函数图像；如果一对多，那图像就不是函数图像. 2.函数的定义域和值域 在函数中 x称为自变量，x的取值范围D称为函数的定义域；与x的值相对应的y值称为函数值，函数值的集合称为函数的值域. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则.判断两个函数是否为同一函数，这两个函数要同时满足定义域和对应法则完全相同. 3.函数的表示 （1）解析法：常用的方法有换元法（括号里是函数式），待定系数法（已知函数类型）. （2）列表法 （3）图像法：步骤是①列表；②描点；③连线. 4.分段函数 （1）定义：若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. （2）定义域：各段函数的定义域的并集. （3）值域：各段函数的值域的并集. 注意：①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. ②在画分段函数图像的时候，需分别画出各区间的函数解析式的图像，要注意各段端点值能否取到，如果两段端点值相同，那么图像就是连续的. ②在分段函数中,已知函数值求自变量x 的值,可以用图像法或者分类讨论法. 1．（2023湖南对口升学）已知函数若，则 ． 2．（2022吉林对口升学）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2023河北对口升学）下列各组函数是同一函数的是（   ）. A． B． C． D． 4．（2024陕西模拟）设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024河北对口升学）设函数，则 ． 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各图中，可表示函数图像的是（    ） A．   B．   C． D．   3．已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．5 D． 4．已知函数，且，则a的值为（   ）． A．5 B．4 C．3 D．2 5．设，且，则常数（    ） A． B． C． D． 6．设函数，则函数的解析式是（  ） A． B． C． D． 7．若点关于轴的对称点在一次函数的图像上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 8．设函数是一次函数，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则函数的定义域是 ，值域是 . 10．已知函数则 11．已知的最小值为，函数图像关于直线对称，且过点，则 ． 12．若，则 . 13．已知函数. (1)求函数的定义域（写成集合的形式）； (2)求的值. 14．已知函数（且）恒过定点. (1)求实数； (2)若函数，求函数的解析式. 15．已知函数满足. (1)求函数的表达式. (2)当时，求函数的最大值与最小值. 知识点2 函数的定义域和值域的求法 1.常见函数定义域的求法 类型 x满足的条件 （偶次根式） （被开方数大于等于0） （分式和0次幂） （分母和底数不为0） （对数函数） （真数大于0） 整式 R 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 2.函数值域的求法 方法 示例 值域 配方法 性质法 单调性法 换元法 1．（2025·广西职教高考）函数的定义域为（   ） A． B． C．R D． 2．（2023河北对口升学）已知的图像如图所示，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（2024安徽模拟）已知函数，，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（2025全国对口升学）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（2024江苏对口升学）若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则其值域为（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，值域为 的是（    ） A． B． C． D． 5．函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数定义域为，则函数定义域为（     ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，集合，则有（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （用区间表示）. 10．若函数的图像如图所示，则： （1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． （本题结果要求用区间表示） 11．使得式子有意义的x的取值范围为 ．（用区间表示） 12．已知分段函数的图像与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 13．求函数的值域. 14．已知集合，集合是函数的定义域. (1)写出集合和集合； (2)求和. 15．已知二次函数满足，且的最小值为2. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第三章函数的第1个专题：函数的概念及表示.本专题涵盖函数的基本概念、定义域和值域的求法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3.1 函数的概念及表示（讲义） 知识点1 函数的基本概念 1.函数的定义：一般地，设D是非空数集，对于D中的每一个x，按照某一个确定的对应法则f，都有唯一确定的值y与它对应，那么就称y为x的函数，记作. 注意：在判断一个图像是否为函数图像的时候，就根据定义来判断，x和y的值如果是一对一，多对一，那么就是函数图像；如果一对多，那图像就不是函数图像. 2.函数的定义域和值域 在函数中 x称为自变量，x的取值范围D称为函数的定义域；与x的值相对应的y值称为函数值，函数值的集合称为函数的值域. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则.判断两个函数是否为同一函数，这两个函数要同时满足定义域和对应法则完全相同. 3.函数的表示 （1）解析法：常用的方法有换元法（括号里是函数式），待定系数法（已知函数类型）. （2）列表法 （3）图像法：步骤是①列表；②描点；③连线. 4.分段函数 （1）定义：若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. （2）定义域：各段函数的定义域的并集. （3）值域：各段函数的值域的并集. 注意：①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. ②在画分段函数图像的时候，需分别画出各区间的函数解析式的图像，要注意各段端点值能否取到，如果两段端点值相同，那么图像就是连续的. ②在分段函数中,已知函数值求自变量x 的值,可以用图像法或者分类讨论法. 1．（2023湖南对口升学）已知函数若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数性质计算. 【详解】若时，，，不符合题意. 故时，，解得为或4 而此时，故a为. 故答案为：. 2．（2022吉林对口升学）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式，进而得到函数值即可. 【详解】令，则. 所以. 所以. 故选：D. 3．（2023河北对口升学）下列各组函数是同一函数的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的概念及函数的三要素，即可判断求解. 【详解】因为与的对应法则不同，故不是同一函数，故选项A不符合题意； 因为与的定义域都是，且对应法则相同，故是同一函数， 故选项B符合题意； 因为的定义域是实数集R，的定义域是，且对应法则不同，故不是同一函数， 故选项C不符合题意； 因为的定义域是实数集R，的定义域是，故不是同一函数， 故选项D不符合题意； 故选：B. 4．（2024陕西模拟）设函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】运用分段函数知识，分别计算和的值即可求得结果. 【详解】根据题意，函数， 则， ， 则. 故选：B 5．（2024河北对口升学）设函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数的解析式，由内到外代入求值即可. 【详解】函数，则， 所以， 故答案为：1． 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据同一函数的概念即可求解. 【详解】对A，与，定义域均为，对应法则相同，所以表示同一函数，故A正确. 对B，定义域为，定义域为，不表示同一函数，故B错误. 对C，定义域为，定义域为，不表示同一函数，故C错误. 对D，定义域为，定义域为，不表示同一函数，故D错误. 故选：A. 2．下列各图中，可表示函数图像的是（    ） A．   B．   C． D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义求解即可. 【详解】根据函数的定义可知一个值只能对应一个值， 选项A，由图像知，存在一个值对应两个值，该选项错误， 选项B，由图像知，一个值对应一个值，该选项正确， 选项C，由图像知，存在一个值对应两个值，该选项错误， 选项D，由图像知，存在一个值对应两个值，该选项正确. 故选：B. 3．已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 因为，所以， 故选：A. 4．已知函数，且，则a的值为（   ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据列出方程即可得解. 【详解】函数，且，解得， 故选：. 5．设，且，则常数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的概念，代入即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 解得. 故选：C. 6．设函数，则函数的解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意根据函数的定义求出解析式即可. 【详解】因为，， 则， 解得. 故选：D. 7．若点关于轴的对称点在一次函数的图像上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】首先确定点关于轴的对称点，再将点代入解析式中列方程求解即可. 【详解】已知点关于轴的对称点坐标的规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变， 可得点关于轴的对称点为， 将点代入一次函数， 即为，可得：， 故选：A． 8．设函数是一次函数，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设一次函数为，根据已知条件代入解析式求解即可. 【详解】设一次函数解析式为， 由得： ，即，解得. 所以函数解析式为. 故选：D. 9．已知函数，则函数的定义域是 ，值域是 . 【答案】 【分析】根据函数解析式求定义域，根据指数函数性质与一次函数性质求值域即可. 【详解】因为函数； 由，，可得，即定义域为； 指数函数为增函数，值域为， 因为，则，即值域为； 一次函数，因为，所以，； 即，值域为； 综上值域为； 故答案为：，. 10．已知函数则 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域以及指数函数的计算，即可求解. 【详解】由题意知函数， 则. 故答案为：. 11．已知的最小值为，函数图像关于直线对称，且过点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，可设函数，将已知点代入，即可求得a的值，继而求得函数解析式. 【详解】因为的最小值为，函数图像关于直线对称， 所以可设，又函数的图像过点， 所以，解得， 所以． 故答案为：. 12．若，则 . 【答案】6 【分析】将代入解析式，再依此代入求解即可. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：6. 13．已知函数. (1)求函数的定义域（写成集合的形式）； (2)求的值. 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域. （2）直接把代入到函数解析式中即可. 【详解】（1）要使函数有意义， 必须有，解得且， 所以函数的定义域为且. （2）已知函数， 则 14．已知函数（且）恒过定点. (1)求实数； (2)若函数，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分析函数恒过定点坐标，再结合题目已知条件，即可求解. （2）由（1）可知函数解析式，结合题意，即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）， 令，即时，， 所以函数恒过定点， 又题目已知函数恒过定点，即. （2）由（1）可知，即， 则， 即得到. 15．已知函数满足. (1)求函数的表达式. (2)当时，求函数的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值为5，最小值为−4 【分析】（1）利用换元法，进行变换，即可求解. （2）根据二次函数的图像与性质，即可求解. 【详解】（1）由题意知函数满足， 所以令，即， 代入， 可得：， 即， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知， 因为对称轴，， 所以， 即函数是定义域为，值域为，且开口向上的二次函数， 因为， 所以当时，， 当时，， 综上，函数在时的最大值为5，最小值为. 知识点2 函数的定义域和值域的求法 1.常见函数定义域的求法 类型 x满足的条件 （偶次根式） （被开方数大于等于0） （分式和0次幂） （分母和底数不为0） （对数函数） （真数大于0） 整式 R 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 2.函数值域的求法 方法 示例 值域 配方法 性质法 单调性法 换元法 1．（2025·广西职教高考）函数的定义域为（   ） A． B． C．R D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合分式、根式有意义的条件，即可求解. 【详解】因为， 所以，解得且， 即函数的定义域是. 故选：D. 2．（2023河北对口升学）已知的图像如图所示，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图像即可确定函数的值域. 【详解】由图像可知，函数的最大值为，最小值为， 所以函数的值域为， 故选：A. 3．（2024安徽模拟）已知函数，，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数以及二次函数的开口方向即可求解. 【详解】，该二次函数的对称轴为． 因为，所以，， 所以当时，函数的值域为． 故选：C． 4．（2025全国对口升学）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合根式、分式有意义的条件，即可求解. 【详解】要使函数有意义，须， 解得且， 所以函数的定义域为． 故选：D. 5．（2024江苏对口升学）若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为是的最小值，所以函数需递减，可得；同时，在恒成立，根据基本不等式，可得，从而求解. 【详解】因为是的最小值，且， 故函数在需单调递减. 所以. 同时在恒成立， 由于，当且仅当时取等号. 所以，解得， 综上：a的取值范围为. 故选：D 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式可求解. 【详解】要使函数有意义，则需满足， 所以函数的定义域为. 故选：A 2．已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义域求一次函数值域即可. 【详解】因为，且一次函数为单调减函数， ，， 则值域为； 故选：C. 3．已知函数的定义域为，则其值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在定义域内，计算出所有函数值即可得解. 【详解】因为函数的定义域是， 所以对应的函数值分别为，，， 即其值域为. 故选：C 4．下列函数中，值域为 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次求得基本初等函数的值域即可得解. 【详解】A：，所以函数的值域是，故错误； B：，所以函数的值域是，故错误； C：，因为，所以，所以函数的值域是，故错误； D：，因为，所以，所以函数的值域是，故正确. 故选：D. 5．函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像和性质，利用配方法，即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的值域是， 所以的值域为. 故选：A. 6．已知函数定义域为，则函数定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】因为函数定义域为， 所以，解得， 所以函数定义域为. 故选：C. 7．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质以及函数定义域的概念解题即可. 【详解】由题意得，在上恒成立， 即， ∴. 故选：D. 8．已知集合，集合，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的值域和集合的包含关系即可求解. 【详解】因为，，所以， 故. 故选：C 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （用区间表示）. 【答案】 【分析】根据函数的定义域的概念即可解得. 【详解】由题，函数的定义域为， 则时，， 即的定义域为， 故函数中有， 解得，即函数的定义域为. 故答案为： 10．若函数的图像如图所示，则： （1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． （本题结果要求用区间表示） 【答案】 【分析】观察图像，结合定义域和值域的概念，即可得到答案. 【详解】（1）由图可知，函数的定义域为从到以及到，不包括的所有实数，即. （2）由图可知，函数的值域为从到，不包括的所有实数，即. 故答案为：； 11．使得式子有意义的x的取值范围为 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】由偶次根式的被开方数为非负数得一元二次不等式，解此不等式可求解. 【详解】使有意义，则，不等式可化为解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 12．已知分段函数的图像与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数分为和两部分，分别研究它们的值域和单调性，直线与两部分图像的交点情况需满足总共两个不同交点，通过分析不同区间内方程解的个数，确定的取值范围即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，值域为， 当时，方程有唯一解，此时； 当时，，开口向上， 顶点在（不在范围内），在时单调递增，值域为； 所以当时，方程有唯一解（舍去负根）； 所以当时，部分有解，部分有解，共有两个交点； 当时（属于部分）和（属于部分），均为有效解； 当或时，总交点数不足两个； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 13．求函数的值域. 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式，确定对称轴，进而确定单调性，然后根据定义域，求得值域. 【详解】由题意得：函数的图像开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 所以函数，在处取得最小值， 最小值为. 又，， 所以函数的值域为. 14．已知集合，集合是函数的定义域. (1)写出集合和集合； (2)求和. 【答案】(1)集合或，集合. (2)，或. 【分析】（）解含绝对值的不等式，利用指数函数的性质解不等式化简集合即可得解. （）根据交集，并集的定义即可得解. 【详解】（1）或，解得或， 所以集合或. 函数，所以 ， 因为函数，底数，所以为减函数， 解得，所以集合， 综上所述集合或，集合. （2）集合或，集合， 所以，或. 15．已知二次函数满足，且的最小值为2. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的对称性，可得对称轴为，结合函数的最值，可设函数为，由，即可求出a的值，继而求解； （2）根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】（1） ，二次函数的对称轴.       又二次函数的最小值为2，可设， 由得， ，      ； （2）由（1）知 函数对称轴为，又， 当时，函数取得最小值，即， 当时，；当时，； 所以函数的最大值为18， 函数的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$