衔接点01 因数与倍数（培优讲义）-2025年小升初数学无忧衔接（沪教版五四制2024）

衔接点01 因数与倍数 小学阶段 初中阶段 能够在乘除法应用关系中，找到谁是因数、积，通过除法关系确定倍数. 知道因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数；知道 2、3、5 的倍数的特征；了解自然数、整数、奇数、偶数、质数（素数）和合数的概念. 衔接指引 小学阶段要求学生了解相关概念和特征。预初阶段（六年级）则是在小学基础上进一步深化理解，为后续中学数学学习打基础。 思维导图+考点 1．整数的认识 整数的概念是指数学中的一种数值类型，它包括正整数、负整数和零．整数就是没有小数部分的数字．整数是指在数轴上，以0为中心，向左右两侧延伸的一系列数，包括正整数、负整数和零． 2．数的整除 若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”． 3．因数 如果整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，称b是a的因数．在小学数学里，两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数，或称为约数． 4．倍数 一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数． 考点一：整数的概念 1．最小的自然数是 　 　． 1.概念牢记:明确自然数是用以计量事物件数或表示事物次序的数，包括0和正整数。像求最小自然数这类题，只要牢记概念，就能直接得出答案是0。 2.对比思考:在判断最小奇数等问题时，将奇数、偶数在自然数范围内对比记忆，最小偶数是0最小奇数是1 1．　 　，0，　 　统称整数． 2．最小的奇数是1． 　 　（判断对错） 考点二：整除的意义 1.（2024•普陀区校级期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．16和32 B．20和50 C．4和0.2 D．28和7 判断第一个数能否被第二个数整除的2种方法 1.检查数的类型:确认被除数和除数都为整数，且除数不为0，若有小数等非整数情况，直接判定不能整除。 2.计算商:进行除法运算，看所得商是否为整数。若商是整数且余数为0，则第一个数能被第二个数整除;若商不是整数或者有余数，则不能整除。 1.（2024•闵行区校级期中）下列各数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．17和3 B．4和16 C．5和2.5 D．10和5 2．（2024•浦东新区校级期中）下列各选项中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．3和6 B．2和 C．1.4和0.7 D．42和3 3．（2024•青浦区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．10和7 B．5和2.5 C．21和6 D．91和13 4．（2024•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．15和5 B．17和34 C．20和6 D．9和1.5 5．（2024•青浦区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．10和7 B．5和2.5 C．21和6 D．51和17 6．（2023•杨浦区期末）下列算式中，表示整除的算式是　　 A． B． C． D． 7．（2023•宝山区期末）下列各算式中，被除数与除数具有整除关系的是　　 A． B． C． D． 考点三：2、3、5倍数特征 1．（2024•闵行区校级期中）从5、0、1、3四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，能同时被2、3、5整除的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2,3,5倍数特征 1.2的倍数特征： 个位数字是 0、2、4、6、8 的整数 ，这些数均为偶数。例如 10、12、14 等。 2.3的倍数特征： 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。比如 12，1+2=3，3 是3的倍数，所以12是3的倍数;243，2+4+3=9，9是3的倍数，243就是3的倍数 3.5的倍数特征： 个位数字是0或5的整数是5的倍数。像10、15、20等都满足。 4.同时是 2、3、5 倍数的特征 个位数字是0，满足是2和5的倍数特征。各个数位上的数字之和是3的倍数，满足3的倍数特征。例如30，个位是0，3+0=3是3的倍数;60，个位是0，6+0=6是3的倍数。 1.（2024•虹口区校级月考）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．5和10 B．3.6和1.2 C．21和7 D．11和3 2．（2024•宝山区期中）下面四个数中，能同时被3、5整除的是　　 A．123 B．230 C．135 D．235 3．（2023•金山区期末）在数6、11、45、52、203中，能被2整除的数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024•闵行区校级期中）将217至少加上 　 　，才能同时被2，5整除． 5．（2024•静安区校级期中）在数30、24、35、12、55、430中，既能被2整除，又能被5整除的数有 　 　． 6．（2024•浦东新区校级月考）用0，1，2三个数字组成一个三位数，在这些三位数中，所有能同时被2、5整除的三位数有 　 　个． 考点四：整除的最值问题 1．（2024•松江区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是 　 　． 求最值的方法 1.明确整除特征:牢记2、3、5等数整除时，对应数的个位数字特点、各位数字和的特点等 2.确定个位数字:同时被2和5整除，个位是0 3.确定其他数位:求最小数，其他位尽量小(首位非0);求最大数，其他位尽量大。涉及被3整除，再调整使数字和满足条件 1．（2024•静安区校级期中）能同时被2、3、5整除的最大两位数是 　 　． 2．能同时被2和5整除的最小两位数是 　 　． 3．若四位数□36□能同时被2和5整除，则这个四位数最大是 　 　． 考点五：因数的应用 1．（2024•浦东新区校级期中），有 　 　个因数． 1．（2024•崇明区期中）18的因数有 　 　． 2．（2024•嘉定区校级月考）18的因数有 　 　，18的素因数有 　 　． 3．（2023•普陀区期中）若，，则和共有的素因数有 　 　． 4．28的因数有 　 　． 考点六五：倍数的应用 1.（2024•闵行区校级期中）下列说法正确的是　　 A．12是倍数，3是因数 B．能被2除尽的数都是偶数 C．2是6的因数 D．偶数除以2的商一定是奇数 1．（2024•长宁区期中）四位数2024至少加上 　 　可变成2、3、5的公倍数． 2．（2024•奉贤区期中）在22，30，45这3个数中，　 　既是2的倍数，又是5的倍数． 3．（2024•宝山区期中）15的最小倍数是 　 　． 1．（2024•虹口区期中）如果能整除18，那么一定是　　 A．18 B．1 C．18的倍数 D．18的因数 2．（2024•虹口区校级期中）回文数是指按数字从前往后和从后往前读都相同的正整数，则最小的能被99整除的五位回文数是　 　． 3．（2024•杨浦区期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是 　 　． 4．（2024•黄浦区校级期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 　 　． 5．（2024•虹口区校级期中）有超过60000个不同的正约数，其中奇数与偶数的比为　 　．规定21！． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点01 因数与倍数 小学阶段 初中阶段 能够在乘除法应用关系中，找到谁是因数、积，通过除法关系确定倍数. 知道因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数；知道 2、3、5 的倍数的特征；了解自然数、整数、奇数、偶数、质数（素数）和合数的概念. 衔接指引 小学阶段要求学生了解相关概念和特征。预初阶段（六年级）则是在小学基础上进一步深化理解，为后续中学数学学习打基础。 思维导图+考点 1．整数的认识 整数的概念是指数学中的一种数值类型，它包括正整数、负整数和零．整数就是没有小数部分的数字．整数是指在数轴上，以0为中心，向左右两侧延伸的一系列数，包括正整数、负整数和零． 2．数的整除 若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”． 3．因数 如果整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，称b是a的因数．在小学数学里，两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数，或称为约数． 4．倍数 一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数． 考点一：整数的概念 1．最小的自然数是 　 　． 【答案】0． 【分析】根据自然数的意义（包括0和正整数），求出即可． 【解答】解：自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数， 最小的自然数是0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了对自然数的理解，自然数包括：0和正整数，根据正数都大于0，即可得出答案． 1.概念牢记:明确自然数是用以计量事物件数或表示事物次序的数，包括0和正整数。像求最小自然数这类题，只要牢记概念，就能直接得出答案是0。 2.对比思考:在判断最小奇数等问题时，将奇数、偶数在自然数范围内对比记忆，最小偶数是0最小奇数是1 1．　 　，0，　 　统称整数． 【答案】正整数，负整数． 【分析】按照有理数的分类填写即可． 【解答】解：正整数，0，负整数统称整数． 故答案为：正整数，负整数． 【点评】本题主要考查整数的认识，必须熟练掌握． 2．最小的奇数是1． 　 　（判断对错） 【答案】正确． 【分析】根据在自然数的范围内，最小的偶数是0，最小的奇数是1解答． 【解答】解：最小的奇数是1． 故答案为：正确． 【点评】本题考查的是整数的认识，熟知在自然数的范围内，最小的偶数是0，最小的奇数是1是解题的关键． 考点二：整除的意义 1.（2024•普陀区校级期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．16和32 B．20和50 C．4和0.2 D．28和7 【答案】 【分析】运用整除知识对各选项进行逐一计算、辨别． 【解答】解：， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； 不是整数， 选项不符合题意； ， 选项符合题意， 故选：． 【点评】此题考查了整除的辨别能力，关键是能准确理解并运用该知识． 判断第一个数能否被第二个数整除的2种方法 1.检查数的类型:确认被除数和除数都为整数，且除数不为0，若有小数等非整数情况，直接判定不能整除。 2.计算商:进行除法运算，看所得商是否为整数。若商是整数且余数为0，则第一个数能被第二个数整除;若商不是整数或者有余数，则不能整除。 1.（2024•闵行区校级期中）下列各数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．17和3 B．4和16 C．5和2.5 D．10和5 【答案】 【分析】根据题意，第一个数能被第二个数整除指第二个数能整除第一个数，就是指第一个数是第二个数的整数倍．据此解答． 【解答】解：，不能整除； ，不能整除； ，不能整除， ，能整除． 故选：． 【点评】本题考查了数的整除，解决本题的关键是知道整除的意义． 2．（2024•浦东新区校级期中）下列各选项中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．3和6 B．2和 C．1.4和0.7 D．42和3 【答案】 【分析】利用整除的定义判断即可． 【解答】解：、3不能被6整除，选项不符合题意； 、2不能被整除，选项不符合题意； 、1.4不能被0.7整除，选项不符合题意； 、42能被3整除，选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了数的整除，解题的关键是掌握整除的定义以及有理数除法的运算法则． 3．（2024•青浦区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．10和7 B．5和2.5 C．21和6 D．91和13 【答案】 【分析】根据题意，整除是指整数除以自然数除得的商正好是整数而余数是零．第一个数能被第二个数整除，就是指第一个数是第二个数的倍数，据此解答． 【解答】解：对于，，商不是整数，故不符合题意； 对于，，不是整除，故不符合题意； 对于，，商不是整数，故不符合题意； 对于，，商是整数，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了数的整除，解决本题的关键是整除的定义． 4．（2024•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．15和5 B．17和34 C．20和6 D．9和1.5 【答案】 【分析】对应整数、和非零整数，若除以，商为整数，且余数为零，我们就说能被整除，或说能整除，据此求解即可． 【解答】解：根据整除的定义得， 、，故15能被5整除，此选项正确，符合题意； 、，故17不能被34整除，此选项错误，不符合题意； 、20除以6不能除尽，故20不能被6整除，此选项错误，不符合题意； 、1.5不是整数，故9不能被1.5整除，此选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了数的整除，关键是整除定义的熟练掌握． 5．（2024•青浦区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．10和7 B．5和2.5 C．21和6 D．51和17 【答案】 【分析】整除是指一个整数除以另一个不是0的整数，得到的商是整数，而没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除，第二个整数能整除第一个整数；根据整除的意义，逐项进行分析后再选择． 【解答】解：、，因为商为小数，所以不能说第一个数能被第二个数整除； 、2.5是小数，不符合整除的意义，所以不能说第一个数能被第二个数整除； 、，因为3.5是小数，不符合整除的意义，所以不能说第一个数能被第二个数整除； 、，因为被除数、除数（不是和商都是整数，而且又没有余数，所以能说第一个数能被第二个数整除． 故选：． 【点评】此题考查数的整除，解决本题的关键是：整除必须是整数除以一个不为0的整数，商是整数，而没有余数． 6．（2023•杨浦区期末）下列算式中，表示整除的算式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据整除的定义，被除数，除数，商均为整数，且没有余数，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，除数不是整数，故不符合题意； 、，商有余数，故不符合题意； 、，商不是整数，故不符合题意； 、，属于整除，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了小数的运算，数的整除，掌握整除的定义是解题的关键． 7．（2023•宝山区期末）下列各算式中，被除数与除数具有整除关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据数的整除的定义，分析4个选项是否符合定义即可． 【解答】解：的商不是整数，故选项错误； ，符合整除的定义，故选项正确； ，其中2.5不是整数，故选项错误； 的商不是整数，故选项错误； 故选：． 【点评】本题考查的是数的整除，关键在于掌握数的整除的定义：若整数“”除以大于0的整数“”，商为整数，且余数为零．我们就说能被整除（或说能整除，记作，读作“整除”或“能被整除”． 考点三：2、3、5倍数特征 1．（2024•闵行区校级期中）从5、0、1、3四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，能同时被2、3、5整除的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据能被2、3、5整除的数的特征进行解答即可． 【解答】解：组成的三位数能同时被2、5整除，因此这个三位数的个位数字一定是0， 由于这个三位数能被3整除，因此十位数字、个位数字的和能被3整除，所以十位数字和个位数字只能选5和1， 所以这个三位数可能为510或150，共2个， 故选：． 【点评】本题考查数的整除，掌握能被2、3、5整除的数的特征是正确解答的关键． 2,3,5倍数特征 1.2的倍数特征： 个位数字是 0、2、4、6、8 的整数 ，这些数均为偶数。例如 10、12、14 等。 2.3的倍数特征： 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。比如 12，1+2=3，3 是3的倍数，所以12是3的倍数;243，2+4+3=9，9是3的倍数，243就是3的倍数 3.5的倍数特征： 个位数字是0或5的整数是5的倍数。像10、15、20等都满足。 4.同时是 2、3、5 倍数的特征 个位数字是0，满足是2和5的倍数特征。各个数位上的数字之和是3的倍数，满足3的倍数特征。例如30，个位是0，3+0=3是3的倍数;60，个位是0，6+0=6是3的倍数。 1.（2024•虹口区校级月考）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．5和10 B．3.6和1.2 C．21和7 D．11和3 【答案】 【分析】根据整除的定义，逐一判断选项即可． 【解答】解：．选项中第一个数不能被第二个数整除，不符合题意； ．选项中的两个数都不是整数，不符合题意； ．选项中第一个数能被第二个数整除，符合题意； ．选项中第一个数不能被第二个数整除，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查数的整除，掌握整除的概念是关键． 2．（2024•宝山区期中）下面四个数中，能同时被3、5整除的是　　 A．123 B．230 C．135 D．235 【答案】 【分析】能同时被3和5整除的数的特征是：个位上的数是0或5且各个数位上数的和是3的倍数；据此分析即可得解． 【解答】解：．123的个位上的数不是0或5，不能被5整除，不符合题意； ．230中各个数位上数的和不是3的倍数，不能被3整除，不符合题意； ．135能同时被3、5整除，符合题意； ．235中各个数位上数的和不是3的倍数，不能被3整除，不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了整除的性质及应用，解决此题关键是明确同时被3和5整除的数的特征，进而分别从个位上的数是0或5分析，即可得出百位上的数得解． 3．（2023•金山区期末）在数6、11、45、52、203中，能被2整除的数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】个位数字是偶数的数能被2整除，由此即可判断． 【解答】解：6、11、45、52、203中，能被2整除的数有6，52， 能被2整除的数有2个． 故选：． 【点评】本题考查数的整除，关键是掌握能被2整除的数的特征． 4．（2024•闵行区校级期中）将217至少加上 　 　，才能同时被2，5整除． 【答案】3． 【分析】根据题意，能同时被2，5整除的数个位上是0或5，最接近217且能被2、5整除的数是220，所以217至少加上，才能被2，5整除． 【解答】解：能同时被2，5整除的数个位上是0或5， 所以最接近217且能被2、5整除的数是220， 所以217至少加上，才能同时被2，5整除． 故答案为：3． 【点评】本题考查了数的整除，解决本题的关键是知道能被2、5整除的数的特征． 5．（2024•静安区校级期中）在数30、24、35、12、55、430中，既能被2整除，又能被5整除的数有 　 　． 【答案】30，430． 【分析】根据能被2整除的数，个位数是偶数．能被5整除的数，个位数是0和5．既能被2整除，又能被5整除的数，个位数是0，进行解答即可． 【解答】解：根据题意可知，既能被2整除，又能被5整除的数有30、430． 故答案为：30，430． 【点评】本题主要考查了数的整除，掌握数的整除的定义是关键． 6．（2024•浦东新区校级月考）用0，1，2三个数字组成一个三位数，在这些三位数中，所有能同时被2、5整除的三位数有 　 　个． 【答案】2． 【分析】能同时被2和5整除的数的个位数字一定要为0，据此求解即可． 【解答】解：能同时被2和5整除的数的个位数字一定要为0，则满足题意的三位数有120，210，共2个， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了数的整除，关键是会求一个数公倍数． 考点四：整除的最值问题 1．（2024•松江区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是 　 　． 【分析】根据能被2，5整除的数的特征，可以得到：最小正整数的个位不能是5，只能是0，因为是最小的正整数，所以十位上的数字是1，则可解答． 【解答】解：根据能被2，5整除的数的特征可知，既能被2整数，又能被5整除的最小正整数是：10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查整除的性质及应用，解答的关键是明确能被2、5整除的数的特征． 求最值的方法 1.明确整除特征:牢记2、3、5等数整除时，对应数的个位数字特点、各位数字和的特点等 2.确定个位数字:同时被2和5整除，个位是0 3.确定其他数位:求最小数，其他位尽量小(首位非0);求最大数，其他位尽量大。涉及被3整除，再调整使数字和满足条件 1．（2024•静安区校级期中）能同时被2、3、5整除的最大两位数是 　 　． 【分析】能被5整除的数的尾数是5或0，能被2整除的数的尾数是0，2，4，6，8，被3整除的数的位数之和能被3整除，结合题目条件求值即可． 【解答】解：能被5整除的数的个位数字是5或0，能被2整除的数的尾数是0，2，4，6，8， 所以这个三位数的个位数为0， 因为数90中，，18是3的倍数， 所以最大三位数是90， 故答案为：90． 【点评】本题考查了整除的性质及应用，解题的关键是掌握能被5整除的数的个位数字是5或0，能被2整除的个位数字是偶数，能被3整除的数的各位数字之和是3的倍数． 2．能同时被2和5整除的最小两位数是 　 　． 【答案】10． 【分析】掌握能被2和5整除的数的特征，再结合满足题意条件，解答即可． 【解答】解：能被2整除的整数的尾数可为0，2，4，6，8； 能被5整除的整数的尾数可为0，5； 能同时被2和5整除的最小的两位数是10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了整除的性质及应用，解答此题应根据能同时被2和5整除的数的特征，进行解答． 3．若四位数□36□能同时被2和5整除，则这个四位数最大是 　 　． 【答案】9360． 【分析】同时被2和5整除，则这个数的个位上只能是0，而最高位上是9时最大．据此解答即可． 【解答】解：若四位数□36□能同时被2和5整除， 这个数的个位上只能是0， 则这个四位数最大是：9360． 故答案为：9360． 【点评】此题考查了2、5的倍数特征，解决本题的关键是明确同时被2和5整除的数的个位上只能是0． 考点五：因数的应用 1．（2024•浦东新区校级期中），有 　 　个因数． 【答案】9． 【分析】求出再根据因数的定义求解即可． 【解答】解：， 它的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共有9个因数． 故答案为：9． 【点评】本题考查求一个数的因数，正确记忆相关知识点是解题关键． 1．（2024•崇明区期中）18的因数有 　 　． 【分析】先写出18的因数：，，因此18的因数有1，2，3，6，9，18解答即可． 【解答】解：根据因数的定义，可得18的因数有：1、2、3、6、9、18． 故答案为：1、2、3、6、9、18． 【点评】本题考查了因数，掌握找一个数因数的方法是解题的关键． 2．（2024•嘉定区校级月考）18的因数有 　 　，18的素因数有 　 　． 【答案】1、2、3、6、9、18；2、3、3． 【分析】所有能整除18的数是18的因数，素因数就是质因数，素数的定义是：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数，合数都可以写成几个素因数相乘的形式，据此进行解答即可． 【解答】解：18的因数有1、2、3、6、9、18；又因为，故18的素因数为2、3、3． 故答案为：1、2、3、6、9、18；2、3、3． 【点评】此题考查了因数和素因数，解题的关键是掌握因数和素因数的定义：①整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数），因数和倍数是相互依存的；②每个合数都可以写成几个素数（质数）相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 3．（2023•普陀区期中）若，，则和共有的素因数有 　 　． 【答案】2、2、3． 【分析】根据素因数的定义进行解题即可． 【解答】解：素因数也叫质因数或质因子，是指能整除给定正整数的质数． 由题意知，， 则和共有的素因数有2、2、3． 故答案为：2、2、3． 【点评】本题考查素因数的定义，熟练掌握素因数的定义是解题的关键． 4．28的因数有 　 　． 【分析】根据因数的定义解答即可． 【解答】解：根据因数的定义，可得28的因数有1，2，4，7，14，28． 故答案为：1，2，4，7，14，28． 【点评】本题主要考查了因数的定义，熟记定义是解答本题的关键． 考点六五：倍数的应用 1.（2024•闵行区校级期中）下列说法正确的是　　 A．12是倍数，3是因数 B．能被2除尽的数都是偶数 C．2是6的因数 D．偶数除以2的商一定是奇数 【答案】 【分析】根据因数和倍数的定义逐一判断即可． 【解答】解：是3的倍数，3是12的因数，故本选项不符合题意； ．能被2除尽的数可能是小数，故本选项不符合题意； 是6的因数，故本选项符合题意； ．偶数除以2的商可能是奇数也可能是偶数，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查倍数和因数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．（2024•长宁区期中）四位数2024至少加上 　 　可变成2、3、5的公倍数． 【分析】先求出2、3、5的最小公倍数是30，然后再求出30的倍数，进行计算，即可得到结果． 【解答】解：， 、3、5的最小公倍数是30， ，且，， ， 四位数2024至少加上16可变成2、3、5的公倍数． 故答案为：16． 【点评】本题考查了公倍数概念的应用，关键是要找到2、3、5的最小公倍数． 2．（2024•奉贤区期中）在22，30，45这3个数中，　 　既是2的倍数，又是5的倍数． 【答案】30． 【分析】根据倍数的定义解答即可． 【解答】解：22是2的倍数，但不是5的倍数； 30既是2的倍数，又是5的倍数； 45是5的倍数，但不是2的倍数． 故答案为：30． 【点评】本题考查了倍数，掌握倍数的定义是解答本题的关键． 3．（2024•宝山区期中）15的最小倍数是 　 　． 【答案】15． 【分析】根据除0以外的整数的最小倍数是它本身解答即可． 【解答】解：15的最小倍数是15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了倍数，掌握倍数的定义是解答本题的关键． 1．（2024•虹口区期中）如果能整除18，那么一定是　　 A．18 B．1 C．18的倍数 D．18的因数 【答案】 【分析】整除是指整数除以自然数，除得的商正好是整数而余数是零．我们就说能被整除（或说能整除，据此解答即可． 【解答】解：能整除18，那么是18的因数． 故选：． 【点评】本题考查了数的整除、因数、倍数，解决本题的关键是知道“整除”的意义． 2．（2024•虹口区校级期中）回文数是指按数字从前往后和从后往前读都相同的正整数，则最小的能被99整除的五位回文数是　54945　． 【答案】54945． 【分析】将99拆成9和11，分别考虑被这两个数整除的数所具有的特征，从最小的开始试，直到找到符合题意的． 【解答】解：先考虑被99整除，即同时被9和11整除， 被9整除的数具有的特征的每位数的和为9的倍数， ，即所选的数至少为11的910倍， 被11整除的数其具有的特征是其奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除， 设该五位数为：， 该五位数为回文数， ，， 该五位数可以被9和11整除， 的和为9的倍数，即，其中为整数， ，即，其中为整数； ，非回文数，且不能被9整除， ，非回文数，且不能被9整除，以此类推，得到，为回文数，且位数和为27，能被9整除． 故答案为：54945． 【点评】此题考查数的整除中，被数整除的数具有的特征． 3．（2024•杨浦区期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是 　6432　． 【答案】6432． 【分析】考虑若选了每个数字，为了满足整除，所组成的数字应满足的特征．同时考虑这些特征，选出最大的值． 【解答】解：可选数字没有0， 和5不能同时出现． 若选了3，则所选数字的和必须为3的倍数， 若选了4，则所组成的数字最后两位是4的倍数， 若同时选择了2和3，则同时被2、3整除的数必为6的倍数， 为了使得所排的数尽可能大，应让6在第一位，同时考虑以上因素，最大值为6432． 故答案为：6432． 【点评】此题考查被数整除的数应具有的特征，同时考虑多个数的特征，选择最大值． 4．（2024•黄浦区校级期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 　 　． 【答案】1． 【分析】根据“完美指标”的定义进行计算即可． 【解答】解：28的真因数有1，2，4，7，14， 28的完美指标是 ． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查因数，理解题意是解题的关键． 5．（2024•虹口区校级期中）有超过60000个不同的正约数，其中奇数与偶数的比为　 　．规定21！． 【答案】． 【分析】将21！进行质因数分解，得，可知21！的任一正约数的形式为，其中，1，2，，18，，1，2，，9，，1，2，3，4，5，，1，2，3，4，，1，，1，，1，，1，所以共有个不同的正奇数约数，个不同的正偶数约数，即可求出奇数与偶数的比值． 【解答】！ ， ， ！的任一正约数的形式为， 其中，1，2，，18，，1，2，，9，，1，2，3，4，5，，1，2，3，4，，1，，1，，1，，1， 正奇数约数有：（个， 偶数时， 正偶数约数有：（个， 奇数与偶数的比：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了约数．熟练掌握约数，奇数，偶数的定义，分解质因数，是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$