第09讲 特殊二次函数的图象（3知识点+3大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第09讲 特殊二次函数的图象 （3知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次函数的图像 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到． 抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点02：二次函数的图像 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点03：二次函数的图像 二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 【题型1 y=ax²+k的图象和性质】 【例1-1】（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 【例1-2】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数． 【详解】解∶ 因为抛物线的图象开口向下， 所以，即． 故答案为：． 【例1-3】（2025·上海徐汇·一模）一条抛物线如果只经过两个象限，请写出一个符合题意的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，根据题意写出一个只经过两个象限的抛物线表达式，即可求解． 【详解】解：只经过第一、二象限， 所以一条抛物线如果只经过两个象限，请写出一个符合题意的表达式：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【例1-4】在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1)答案见解析 (2)上，3 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【详解】（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 【例1-5】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 【答案】(1)或 (2) 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、根据二次函数的定义求参数 【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解； （2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：或． （2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）二次函数图像上的最低点的纵坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是正确得出二次函数顶点式．直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 二次函数图象上的最低点的纵坐标为：． 故答案为：． 【变式1-2】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案】（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系． （2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【详解】解：（1）列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … 描点、连线，可得抛物线． 将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）． 抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）． （2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键． 【变式1-3】（2025·上海·模拟预测）定义：若一个抛物线和x轴有两个交点，那么这两交点与抛物线顶点组成的三角形为“x轴三角形”；若开口向下的抛物线和x轴交于M、N，且MN的长度为m，当抛物线的“x轴三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的二次项系数是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、三线合一 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，当抛物线的顶点在y轴上时，则，，顶点坐标，设抛物线，把，代入得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：利用特殊情况，当抛物线的顶点在y轴上时，则，，顶点坐标， 设抛物线，把，代入，得：， 解得：， 故答案为：． 【变式1-4】（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【答案】或 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据题意求出点P、的坐标，然后判断点R在x轴正半轴上或y轴负半轴上，分为两种情况求出点的坐标解题． 【详解】解：∵轴，， ∴，. ∴直线的表达式为. ∵， ∴R在x轴正半轴上或y轴负半轴上， ①R在x轴正半轴上， 设，Q到的距离为，可以表示出的坐标，. ∵，R在x轴上， ∴在x轴上， 可列方程，解得. 即， ②R在y轴负半轴上， ∵是抛物线N的顶点， ∴和R关于直线对称，在R的右侧， 又由R到直线的距离为1，可得的横坐标为，Q的横坐标为4， 即， 故答案为：或． 【变式1-5】如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】(1)5，3 (2)-2或2 (3)或 (4)或 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【题型2 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 【例2-2】（2025·上海虹口·一模）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为抛物线，则函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵、和都在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 【例2-3】（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 【例2-4】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 【例2-5】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式2-1】（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的开口方向确定的取值范围即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较．将，代入，求出和，比较即可； 【详解】解：当时，； 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 【题型3 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例3-1】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 【例3-2】24-25九年级上·上海浦东新·期末）二次函数的图像上有两个点、，那么 （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 二次函数的图像上有两个点、，且， ， 故答案为：． 【例3-3】（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限． 【答案】三与四 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到二次函数的顶点坐标为，根据平移后新抛物线的顶点坐标在轴上，得到新抛物线不可能经过第三、四象限． 【详解】解：二次函数不经过第三象限， 抛物线顶点坐标为，顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、四象限，开口向上， 平移后新抛物线的顶点坐标在轴上， 新抛物线不可能经过第三、四象限， 故答案为：三与四． 【例3-4】（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴方程为；（2） 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质．解题时，利用了数形结合的数学思想，减少了繁琐的计算过程． （1）由顶点式可得顶点坐标及对称轴方程． （2）开口向下时在对称轴的左侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：（1）， 抛物线顶点坐标为，对称轴方程为． （2）， ∴抛物线开口向下， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 【变式3-1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列函数图像不经过原点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义、y=a（x-h）²+k的图象和性质、求反比例函数值 【分析】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握定义是解题的关键； 将代入各选项进行判断即可． 【详解】A．对于函数，当时，，所以函数图像经过原点，故本选项不符合题意； B．对于函数，将代入，可得，函数图像经过原点，故本选项不符合题意； C．对于函数，因为时，该函数分母为，函数无意义，所以其图像不经过原点，故本选项符合题意； D．对于函数，当时，，函数图像经过原点，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（2025·上海普陀·一模）下列二次函数的图像中，以直线为对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，二次函数的顶点式解析式为，它的对称轴为．本题根据二次函数的顶点式解析式分别求出各项的对称轴即可． 【详解】解：A  、二次函数的对称轴是轴，故A选项不符合题意； B、二次函数的对称轴是轴，故B选项不符合题意； C、二次函数的对称轴是轴，故C选项不符合题意； D、二次函数的对称轴是轴，故D选项符合题意 故选：D． 【变式3-3】（2025·上海·模拟预测）写出一个开口朝上，以直线为对称轴的二次函数： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口向上，即，对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：开口朝上，以直线为对称轴的二次函数为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-4】指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向上 直线 向上 直线 向下 直线 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，是解题的关键． 【变式3-5】（2024九年级上·上海·专题练习）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方；在开口向下的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方． 【详解】解：二次函数， 二次函数对应的抛物线开口向下， 在该函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方， 当自变量分别取，， 时， ， ． 故答案为：． 【变式3-6】（2025·上海普陀·二模）已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质，以及几何图形中三角形面积的计算，解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义，进而确定点的坐标，计算面积比． 先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线，再根据对称轴性质设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，进而求得的纵坐标为：，的纵坐标为：，再利用底和高的关系，求出面积比． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、都垂直于抛物线的对称轴，，， ∴线段、为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 【变式3-7】已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值， 结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值为， ∴． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式的性质是解题的关键． 根据抛物线的解析式，即可求得对称轴，的对称轴为直线，据此求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）抛物线和共有的特征是（    ） A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴都是y轴 D．顶点都是原点 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点是原点， 抛物线开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点是， 故抛物线和共有的特征是对称轴都是y轴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（    ）． A．开口方向相同 B．顶点坐标相同 C．变化情况相同 D．对称轴相同 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查二次函数图象的变换，根据旋转的性质，得到两条抛物线的开口方向相反，顶点关于原点对称，对称轴相同，即可得出结论． 【详解】解：的图象的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为：， ∴抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线的开口向下，顶点坐标为：，对称轴为轴， ∴这两条抛物线的变化情况不同，对称轴相同； 故选D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键． 直接利用顶点式的特点可求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的图象在对称轴的 侧的部分上升（填“左”或“右”）． 【答案】右 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据函数的图象的开口向上，抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升，即可作答． 【详解】解：依题意，的开口向上， ∴抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升， 故答案为：右． 7．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果点、是抛物线上的两个点，那么m和n的大小关系是m n（填“”或“”或“”）． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的增减性，得到m与n的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 即：当时，随增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线有最高点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴， 解得，， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海青浦·期中）沿着轴正方向看，抛物线在轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．画出函数图象，直观判断即可． 【详解】解：抛物线的图象如图所示： 可以看出，在y轴右侧部分上升， 故答案为：上升． 10．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，则点A关于对称轴对称的点B坐标为． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点A关于对称轴对称的点B坐标为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出自变量为时的函数值即可得到二次函数的图象与轴的交点坐标． 【详解】解：把代入得：， 该二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）点，，为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系用“<”连接起来是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线的增减性，对称轴，熟练掌握抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大是解题的关键． 根据二次函数得到抛物线开口向上，且对称轴为直线，根据距离对称轴越远，函数值越大计算判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，得到，即可得出结果． 【详解】解：当时，即：，此时，不符合题意； 当时，则：为二次函数，对称轴为轴， ∵当时，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 14．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图：      （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 15．（2023·上海松江·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线解析式； (2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标； (3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据旋转的性质求解、正切的概念辨析 【分析】（1）根据一次函数解析式，求得点，代入，即可求解； （2）过点作轴，垂足为，过点作于点，证明得出，代入抛物线解析式即可求解； （3）设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作，由得出，根据，列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， 当时，， ∴， 若抛物线经过点，则 解得：或（舍去） ∴抛物线解析式为； （2）∵的顶点为． ∴ 如图所示，过点作轴，垂足为，过点作于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵在抛物线上， ∴ 解得：， ∴， （3）解：如图所示，设直线与轴交于点，与轴交于点， 由，令，得，则， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则 过点作，则是等腰直角三角形，则，则 ∴ ∵， ∴ 又 ∴ 即 ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正切的定义，解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，熟练以上知识掌握是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 特殊二次函数的图象 （3知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次函数的图像 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到． 抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点02：二次函数的图像 一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点03：二次函数的图像 二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 【题型1 y=ax²+k的图象和性质】 【例1-1】（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【例1-2】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 【例1-3】（2025·上海徐汇·一模）一条抛物线如果只经过两个象限，请写出一个符合题意的表达式： ． 【例1-4】在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【例1-5】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 【变式1-1】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）二次函数图像上的最低点的纵坐标为 ． 【变式1-2】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【变式1-3】（2025·上海·模拟预测）定义：若一个抛物线和x轴有两个交点，那么这两交点与抛物线顶点组成的三角形为“x轴三角形”；若开口向下的抛物线和x轴交于M、N，且MN的长度为m，当抛物线的“x轴三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的二次项系数是 ． 【变式1-4】（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【变式1-5】如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【题型2 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【例2-2】（2025·上海虹口·一模）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 【例2-4】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 【例2-5】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【变式2-1】（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 【变式2-3】点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 【变式2-4】已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【题型3 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例3-1】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【例3-2】24-25九年级上·上海浦东新·期末）二次函数的图像上有两个点、，那么 （填“”“”或“”）． 【例3-3】（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限． 【例3-4】（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 【变式3-1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列函数图像不经过原点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·上海普陀·一模）下列二次函数的图像中，以直线为对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·上海·模拟预测）写出一个开口朝上，以直线为对称轴的二次函数： ． 【变式3-4】指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【变式3-5】（2024九年级上·上海·专题练习）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． 【变式3-6】（2025·上海普陀·二模）已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 【变式3-7】已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）抛物线和共有的特征是（    ） A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴都是y轴 D．顶点都是原点 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（    ）． A．开口方向相同 B．顶点坐标相同 C．变化情况相同 D．对称轴相同 二、填空题 4．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）二次函数的顶点坐标是 ． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 6．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的图象在对称轴的 侧的部分上升（填“左”或“右”）． 7．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果点、是抛物线上的两个点，那么m和n的大小关系是m n（填“”或“”或“”）． 8．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·上海青浦·期中）沿着轴正方向看，抛物线在轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 10．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为 ． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像与y轴的交点坐标是 ． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）点，，为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系用“<”连接起来是 ． 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 三、解答题 14．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 15．（2023·上海松江·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线解析式； (2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标； (3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$