精品解析：福建省南安市侨光中学2024-2025学年高二下学期第2阶段考试（5月）数学试题

侨光中学2025春季高二年第2次阶段考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：吴钰明 审题人：林风灵 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，令时，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，可得，即质点在时的瞬时速度为. 故选：B. 2. 在的展开式中，第四项的二项式系数为（ ） A. 4 B. C. 32 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的展开式的通项即可求解. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以第四项的二项式系数为. 故选：A. 3. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下表所示． 零件数个 加工时间 由上表数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】利用回归方程过样本点，可求参数，然后再根残差概念即可求解. 【详解】由表格中数据可求得：， ， 根据关于的经验回归方程必过点得： ，故经验回归方程为， 当时，预报值， 所以在样本点处的残差为， 故选：D. 4. 随机变量的分布列为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C. 5. 某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（ ） （附，其中．） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先列出列联表计算值，再根据计算出的最小值. 【详解】根据题意，列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 ； ∵有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即， ，，又， 则的最小值为. 故选：B. 6. 中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有（ ） A. 24 B. 36 C. 30 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】先涂“火、土”两个位置，再分类讨论“火”与“金”、“土”与“水”位置颜色是否相同，运算求解. 【详解】设3种不同的颜色为， 对于“火、土”两个位置有种不同的涂色方法，不妨设“火、土”两个位置分别为， 1.若“金”位涂色为，则有： ①若“水”位涂色为，则“木”位涂色为，共1种不同的涂色方法； ②若“水”位涂色为，则“木”位涂色为，共1种不同的涂色方法； 共2种涂色可能； 2.若“金”位涂色为，则有： ①若“水”位涂色为，则“木”位涂色为或，共2种不同的涂色方法； ②若“水”位涂色为，则“木”位涂色为，共1种不同的涂色方法； 共3种涂色可能； 综上所述：共种不同的涂色方法. 故选：C. 7. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值． 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在上单调递增，所以在上恒成立，分离参数转化为求函数的最大值即可. 【详解】函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，即， 令，则即可， ，所以在上单调递减， 故，所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解. 【详解】解：对A，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对B，由的图象，可知时，，所以在上单调递减，故选项B正确； 对C，由的图象，可知时，， 所以在上单调递增，因为左右两边的单调性相同，所以取不到极大值，故选项C错误； 对D，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，故选项D正确. 故选：AC. 10. 我校本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展、体艺特长、实践创新、生涯找划、国际视野、公民素养、大学先修、项目课程八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（ ） A. 某学生从中选类，共有种选法 B. 课程“”“”排在不相邻两天，共有种排法 C. 课程“”“”“”排在相邻三天，且“”排在“”与“”的中间，共种排法 D. 课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，共有30960种排法 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，利用组合数、插空法、捆绑法、特殊元素优先法，解得分类加法原理，可得答案. 【详解】选项A，某同学从中选3类，共有(种)选法，A正确； 选项B，若“X”“T”不相邻，剩余6类排列方法为，形成7个空，则“X”“T”填入7个空方法为，所以共有种排法，B正确； 选项C，先排列“S”“C”“I”三科，则有2种排列方法，3科形成整体与剩余5科再进行全排列，则有种排列方法， 所以共有(种)排法，C错误； 选项D，分成两类情况，一是“G”排在第一天，则此类情况下排法有种， 二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有种方法， 则共有种排法，D正确． 故选：ABD． 11. 甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是（ ） A. “甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为 B. “首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为 C. “在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”概率为 D. “甲先掷出点”的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可判断AC选项；设首次连续两次出现6点的期望次数为E，结合题意分析得出关于E的方程，解出E的值，可判断B选项；求出“甲第n次首次掷出6点，且在甲第n次掷骰子前两人都没有掷出6点”的概率，结合等比数列的求和公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为，故A正确； 对于B选项，设首次连续两次出现6点的期望次数为E，分两种情况分析： 若第一次没有掷出6点，则需重新开始，期望次数为， 若第一次掷出6点，第二次没有掷出6点，则需重新开始，期望次数为， 若第一次、第二次都掷出6点，则期望次数为2， 所以，解得，故B错误； 对于C选项，在甲掷出6点后，乙下一次掷出6点不受前面的影响，其概率为，故C正确； 对于D选项，设甲第n次首次掷出6点，且在甲第n次掷骰子前两人都没有掷出6点， 设其概率为，则，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 数列的前n项和为， 当时，，即“甲先掷出6点”的概率为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，则______________. 【答案】0.12 【解析】 【分析】根据均值结合正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为均值为2，故. 故答案为：. 13. 在的二项展开式中，常数项为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理求的展开式通项，可得原多项式的常数项为，即可求值. 【详解】的展开式通项为， ∴原多项式展开式中常数项为：. 故答案： 14. 学校从高一名男数学老师和名女数学老师中选派人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的人中至少有名男老师的条件下，有名女老师的概率为_____ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解 【详解】记“选派人中至少有名男老师”为事件，“选派人中有名女老师”为事件， 则，， 显然，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题各15分， 第18，19题各17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求在点处的切线方程； （2）函数的单调区间. 【答案】（1）； （2）递增区间为，递减区间为.. 【解析】 【分析】求得函数的导数，求得和，结合直线的点斜式，即可求解； （2）由（1）知的定义域为，且，分别求得和的解集，即可求得函数的单调区间. 【详解】由题意，函数的定义域为， 则，所以，即切线的斜率， 又由，即切点坐标为， 所以函数在处的切线方程，即. （2）由（1）知函数的定义域为，且， 令，解得， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为， 令，即，解得， 所以函数的单调递间区间为， 综上可得，函数的单调递增区间为，递减区间为. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数与函数的单调性的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1）0.92，线性相关性程度很强． （2），15.9百亿． 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式可得，再判断可得答案； （2）根据公式求线性回归方程，再将代入方程进行预测. 【小问1详解】 由已知得，， ，， ， 故， ，所以线性相关性程度很强； 【小问2详解】 ，， 则， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿． 17 已知，，． （1）求； （2）求； （3）若，求取最大值时的值． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）令，利用赋值法求解； （2）分别令和，可求解； （3）根据二项式定理和组合数性质可得，即可得最大值. 【小问1详解】 令得，； 【小问2详解】 令得，， 令得，， 得，， 所以． 【小问3详解】 根据二项式定理，当，时，   ， 根据二项展开系数的性质可知，当，即时，最大， 显然，， 所以． 18. DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； （3）设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，利用全概率公式计算可得； （3）的可能取值是，，，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望，而，根据二项分布的期望公式计算可得. 【小问1详解】 因为小张能全部回答正确的概率； 【小问2详解】 设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 由题意知，，， 则， 所以 ； 【小问3详解】 已知小张答对的题数为，则的可能取值是，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以， 已知DeepSeek答对的题数为，则， 故， 所以． 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，以上公式成为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题． （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接使用导数证明不等式； （2）与（1）方法类似，使用导数证明不等式； （3）对和分类讨论，利用导数确定原点附近的单调性，然后即可得到答案. 【小问1详解】 设，则，故对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而，即. 【小问2详解】 设，则. 故对有，所以在上递增. 从而对有，即，故. 【小问3详解】 据已知有，故，（我们约定是的导数）. 若，则对，据，有. 所以在和上递增，从而在上递增. 故对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而是的极小值点，满足条件； 若，则对，有. 从而，且 . 所以，故. 这就说明在上递减，从而对有. 故在上递减，从而不可能是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用导数判断函数的单调性，从而得到相应的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 侨光中学2025春季高二年第2次阶段考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：吴钰明 审题人：林风灵 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 在展开式中，第四项的二项式系数为（ ） A. 4 B. C. 32 D. 3. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下表所示． 零件数个 加工时间 由上表数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量的分布列为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（ ） （附，其中．） A. B. C. D. 6. 中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有（ ） A. 24 B. 36 C. 30 D. 20 7. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D 当时取得极小值 10. 我校本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展、体艺特长、实践创新、生涯找划、国际视野、公民素养、大学先修、项目课程八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（ ） A. 某学生从中选类，共有种选法 B. 课程“”“”排不相邻两天，共有种排法 C. 课程“”“”“”排在相邻三天，且“”排在“”与“”的中间，共种排法 D. 课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，共有30960种排法 11. 甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是（ ） A. “甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为 B. “首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为 C. “在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”概率为 D. “甲先掷出点”的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，则______________. 13. 在的二项展开式中，常数项为___________. 14. 学校从高一名男数学老师和名女数学老师中选派人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的人中至少有名男老师的条件下，有名女老师的概率为_____ ． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题各15分， 第18，19题各17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求在点处的切线方程； （2）函数的单调区间. 16. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 15 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 17. 已知，，． （1）求； （2）求； （3）若，求取最大值时的值． 18. DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； （3）设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小． 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，以上公式成为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题． （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$