2024-2025学年人教版九年级数学上册暑假-第7讲-一元二次方程与二次函数的实际应用

第7讲 一元二次方程与二次函数的实际应用 课程目标 1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 3. 能运用一元二次方程和二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识． 4. 经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 精讲精练 模块一 一元二次方程的实际应用 知识概述 一、列方程解应用题的基本思路 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答 (写出答案，切忌答非所问). 【要点诠释】 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体的、系统的审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 二、常见的实际应用问题类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.常见模型问题 常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式： (1)增长率问题： a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量. “共”或“累计问题” 第一个月： 第二个月： 第三个月： b为三个量的总数（累计）； (2)降低率问题： a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量. (3)传染问题 a为传染源的数量，x为一个病人传染x个健康人，b是两轮传染之后一共挈带病毒的人数。 第三轮传染人数： 指数n就是传染的“轮数”； (4)握手问题 x为总人数，b为一共握手的总次数。 常见场景为：握手，签合同，打比赛（单循环）； (5)送礼问题 x为总人数，b为一共送礼的次数。 常见场景：送礼，送贺卡，打比赛（双循环）等； (6)枝干问题 x为一个树枝新长出枝干的数量，b为枝干总数； 常见场景：长枝干，打电话，转微信等； （1）平均增长率：设原价为a，连续增长两次，价格变为b，每次增长的百分率为x，那么： 增长第一次价格为：； 增长第二次在上一次价格的基础上再乘（1+x），即 最终价格，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可） “累计问题”：设第一个月为a，连续增长两个月，累计总数为b，设平均增长率为x，则： 第一个月为a，第二个月为，第三个月为，所以三个月累计 （2）平均降低率：设原价为a，连续降价两次，价格变为b，每次降价的百分率为x，那么： 增长第一次价格为：； 增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即 最终价格，得出等量关系； （3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a，一个病人一轮传染x个病人，两轮传染之后一共有b个人挈带病毒，则： 传染轮数 挈带病毒人数 传染人数 第一轮 第二轮 两轮结束后一共挈带病毒数 （4）握手问题： 这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例： 首先A站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次； 然后B站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次； 以此类推，每个人都站起来和其余人握手， 一共握手：次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以 去重复；也就是一共握手次。 由此推广。当人数为x时，一共握手 次； 送礼问题，与之有相似的推导过程：因为甲送给乙礼物和乙送给甲礼物，含义不同，故不需要去重复，因此送礼问题的公式为： =总次数； 3.形积问题 　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. ⑯ 面积类问题 内挖类型 外扩类型 开路类型 （a开口数量·x）（b开口数量·x）=阴影面积 开门问题 开几个门就是篱笆总长加上门的宽度×个数，得到新的篱笆总长 【要点诠释】 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想. 例题精讲 考法01 数字问题 【例1】 已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少． 【解析】 设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32， 整理得x2-12x+32＝0 解得 x1＝4，x2＝8， 当x＝4时12-x＝8； 当x＝8时12-x＝4． 所以这两个数是4和8． 【点睛】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解． 【练1】 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数. 【答案】设个位数字为，则十位数字为. 由题意，得： 整理，得： 解方程，得： ∴ 经检验，不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ∴当时, =2 ∴ 答：这个两位数为24. 考法02 平均变化率问题 【例2】 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率． 【分析】 设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据此列出方程求解即可． 【详解】 解：设该种药品平均每场降价的百分率是x， 由题意得：200（1﹣x）2=98 解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%． 答：该种药品平均每场降价的百分率是30%． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 【练2】 某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率. 【答案】设平均每次降价率为， 则第一次降价为，降价后价格为：， 第二次降价为：，降价后价格为： . 根据题意列方程，得： ∴， 不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验） ∴ 答：平均每次下降率为. 考法03 形积问题 【例3】 如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD． （1）当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180? （2）能围成总面积为240的长方形花圃吗?说明理由. 【答案】（1）10米；（2）不能围成总面积为的长方形花圃，见解析. 【分析】 （1）设出AB的长是x米，则BC的长为（48-3x）米，由长方形的面积计算公式列方程解答即可； （2）利用（1）的方法列出方程，利用判别式进行解答． 【详解】 解：（1）设AB的长是x米，则BC的长为（48-3x）米，根据题意列方程得， x（48-3x）=180， 解得x1=6，x2=10， 当x=6时，48-3x=30＞25，不符合题意，舍去； 当x=10时，48-3x=18＜25，符合题意； 答：当AB的长是10米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2． （2）不能，理由如下： 同（1）可得x（48-3x）=240， 整理得x2-16x+80=0， △=（-16）2-4×80=-64＜0， 所以此方程无解， 即不能围成总面积为240m2的长方形花圃． 【点睛】 此题主要考查运用长方形面积计算方法列一元二次方程解决实际问题与根的判别式的应用． 【练3】 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【详解】 试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程． 试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20 考点：一元二次方程的应用． 【练4】 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． （3）请你求出花圃面积的最大值，并写出此时x的值。 【答案】（1）24﹣3x；（2）花圃的长为9米，宽为5米． 【解析】 （1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长； （2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x． 解：（1）设宽AB为x， 则长AD=BC=22﹣3x+2=（24﹣3x）米； （2）由题意可得：（22﹣3x+2）x=45， 解得：x1=3；x2=5， ∴当AB=3时，BC=15＞14，不符合题意舍去， 当AB=5时，BC=9，满足题意． 答：花圃的长为9米，宽为5米． 【练5】 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 【答案】小路的宽应为1． 【解析】 【分析】 设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】 解：设小路的宽应为x米， 根据题意得：， 解得：，． ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 答：小路的宽应为1米． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 考法04 动点问题 【例4】 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ． （1）经过多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由． （3）△PBQ的面积是否有最大值或最小值？若有请求出该值，若无请说明理由。 【答案】（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）△PBQ的面积不能等于7cm2． 【解析】 试题分析：（1）点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BQ和BP的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解． （2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况． 试题解析：(1)设x秒后，∆PBQ的面积等于4cm2 ， 此时，AQ=x cm, QB=（5-x）cm. BP=2xcm, 由QB·BP=4得 (5-x)·2x=4 ， 整理，得x2-5x+4=0， 解得x1=l，x2=4(不合题意，舍去) 所以1秒后，△PBQ的面积等于4cm2 . (2)根据题意，得（5-x）·2x=7 , 整理，得x2-5x+7=0 , 因为b2-4ac=25-28<0， 所以此方程无解，即△PBQ的面积不能等于7cm2. 【练6】 如图，在中，，，，现有两点、的分别从点和点B同时出发，沿边，BC向终点C移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为． （1）问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （2）问是否存在这样的，使得四边形的面积有最大值或最小值？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】假设不成立，四边形面积的面积不能等于，理由见解析 【分析】 根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】 解：∵，，， ∴． ∴，； 假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则， 整理得：， ∵， ∴假设不成立，四边形面积的面积不能等于． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键. 模块二 二次函数的实际应用问题 知识概述 1、利用二次函数解决实际应用问题的基本思路 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 【要点诠释】 常见的问题： 求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 例题精讲 【例1】 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元． （1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？ （2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？ 【思路点拨】 （1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到20﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解； （2）由于根据（1）得到x≤50，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式； （3）首先把函数变为y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题． 【答案与解析】 解：（1）设一次购买x只， 则20﹣0.1（x﹣10）=16， 解得：x=50． 答：一次至少买50只，才能以最低价购买； （2）当10＜x≤50时， y=[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=﹣0.1x2+9x， 当x＞50时，y=（16﹣12）x=4x； 综上所述：y=； （3）y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5， ①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大． ②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小． 且当x=46时，y1=202.4， 当x=50时，y2=200． y1＞y2． 即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象． 当x=45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大． 【点评】本题考查了二次函数的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得． 【练1】 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求与之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本） 【答案】（1）设与的函数关系式为：， ∵函数图象经过点（60，400）和（70，300） ∴ 解得 ∴ （2） （50≤x≤70） ∵，＜0 ∴函数图象开口向下， 对称轴是直线x=75 ∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大, ∴当x=70时，. 【例2】 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD． (1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； (2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)； ②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米) 【思路点拨】 ①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式； ②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 【答案与解析】 (1) (米)； (2)①∵ AD＝2r，AD+CD＝8，∴ CD＝8-AD＝8-2r， ∴ ． ②由①知，CD＝8-2r，又∵ 1.2米≤CD≤3米， ∴ 2≤8-2r≤3，∴ 2.5≤r≤3． 由①知，． ∵ -2.43＜0，∴ 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴， 又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值． (米)． 【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积． 【练2】 如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是　 　． 【答案】50≤S≤68． 【解析】解：设AF=x，则BF=10﹣x，由题意，得 S=x2+（10﹣x）2， S=2x2﹣20x+100， S=2（x﹣5）2+50． ∴a=2＞0， ∴x=5时，S最小=50． ∵2≤x≤8， 当x=2时，S=68， 当x=8时，S=68． ∴50≤S≤68． 故答案为：50≤S≤68． 模块三 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质 知识概述 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题． 【要点诠释】 (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 例题精讲 【例1】 某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后 的最大高度应是多少m？ 【思路点拨】 因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高． 【答案与解析】 解：建立如图平面直角坐标系： 设抛物线的解析式为y=ax2， 由题意得：点A的坐标为（2，﹣4.4）， ∴﹣4.4=4a， 解得：a=﹣1.1， ∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2， 当x=1.2时， y=﹣1.1×1.44=﹣1.584， ∴线段OB的长为1.584米， ∴BC=4.4﹣1.584=2.816米， ∴装货后的最大高度为2.816米， 故答案为：2.816米． 【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 【例2】 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少? 【答案与解析】 如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5， 设C点的纵坐标为n，过点C、B、A所在的抛物线的解析式为，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴ ． ∵ 抛物线经过点A(1.5，3.05)， ∴ 3.05＝a·1.52+3.5， ∴ ． ∴ 抛物线解析式为． ∴ ， ∴ n＝2.25． ∴ 球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)． 【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解． 附加题 【练1】 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. （1）当t为何值时，DF=DA？ （2）当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由． （3）是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由. （4）请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）10；（2）t= 或12，理由见解析；（3） t=10，理由见解析；（4） 【解析】 【分析】 (1) 由已知条件可得Rt△CDF中∠C=30°，即可知DF=CD=AE=2t，列方程求解即可； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）假设存在，再根据垂直平分线的性质求解即可； （4）利用两个三角形的面积关系求解即可. 【详解】 （1）证明：由题意得：AE=2t，CD=4t， ∵DF⊥BC∴∠CFD=90°， ∵∠C=90°-60°=30°， ∴DF=CD=2t， 同理：AB=AC=30cm 若：DF=DA，则：2t=60-4t， 解得： t=10； (2) 当∠AED=90°时，DE∥BC． ∴∠ADE=∠C=30° ∴AD=2AE 即60-4t=4t， 解得：t= 当∠ADE=90°时， ∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°， ∴AD=AE ∴60-4t=t 解得t=12． （3）连接AF, 若存在，则CF=AF， ∴∠C=∠CAF=30° ∴∠AFB=60° ∴∠FAB=30° RT△DCF中，有勾股定理得：CF= 同理：BC= ∴FB=AF= = 解得：t=10． （4） ∴ ∴ 若存在，则 解得 【点睛】 解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题. 【练2】 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动． (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？ (2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2； (3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm． 【答案】(1) P，Q两点从出发开始到3.2秒时，四边形APQD为长方形； (2) P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；(3) P，Q两点从出发开始到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm． 【分析】 （1）当PB=CQ时，四边形PBCQ为矩形，依此建立方程求出即可； （2）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解； （3）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为x秒，用x表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】 (1)设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形， 根据题意得：16﹣3x=2x， 解得：x=． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，四边形APQD为长方形． (2)设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2， 根据题意得：×6（16﹣3x+2x）=33， 解得：x=5． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． (3)过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示． 设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm， 根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102， 整理得：（16﹣5x）2=82， 解得：x1=，x2=． 答：P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm． 【点睛】 本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是做辅助线进行解答. 一课一练 【练1】 某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离是_____米． 【答案】3 【分析】 以地面，墙面所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令，即可解答． 【详解】 解：地面，墙面所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式：， 把点代入抛物线解析式得： ， 抛物线解析式：． 当时，（舍去），． m． 故答案为3． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题． 【练2】 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ （3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积． 【答案】(1) S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）(2)36(3)32 【解析】 试题分析：（1）求出S=AB×BC代入即可； （2）利用0＜24-4x≤8进而解出即可； （3）把解析式化成顶点式，再利用二次函数增减性即可得到答案． 试题解析：（1）∵AB=x米， ∴BC=（24﹣4x）米， ∴S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）； （2）S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36， ∵0＜x＜6， ∴当x=3时，S有最大值为36平方米； （3）∵， ∴4≤x＜6， ∴当x=4时，花圃的最大面积为32平方米． 点睛：本题主要考查对二次函数的最值，二次函数的解析式，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键． 【练3】 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？ 【答案】（1）y=﹣30x+2100；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；（3）该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件． 【分析】 (1) 每星期的销售量等于原来的销售量加上因降价而多销售的销售量, 代入即可求解函数关系式; (2) 根据利润=销售量 (销售单价-成本) , 建立二次函数, 用配方法求得最大值. (3) 根据题意可列不等式, 再取等将其转化为一元二次方程并求解, 根据每星期的销售利润所在抛物线开口向下求出满足条件的x的取值范围, 再根据 (1) 中一元一次方程求得满足条件的x的取值范围内y的最小值即可. 【详解】 （1）y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+2100． （2）设每星期利润为W元， W＝（x﹣40）（﹣30x+2100）＝﹣30（x﹣55）2+6750． ∴x＝55时，W最大值＝6750． ∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元． （3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58， 当x＝52时，销售300+30×8＝540， 当x＝58时，销售300+30×2＝360， ∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件． 【点睛】 本题主要考查一次函数的应用和二次函数的应用,注意综合运用所学知识解题. 【练4】 （10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出与x之间的函数关系式； （2）若想要尽量投入较少的成本达到利润1750万元，每月应生产多少套设备？ （3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1） （2）25套 （3）月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元 【解析】 解：（1） (2分) （2）由题意可列方程 (4分) 解得：x1=45，x2=25 (6分) （3）∵ ∴ (8分) 而25<35<40, ∴当x=35时， 即，月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．　　　　　　（10分） 【练5】 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2 ，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，选D. 【练6】 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】B 【详解】 试题解析：设这个QQ群共有x人， 依题意有x（x-1）=90， 解得：x=-9（舍去）或x=10， ∴这个QQ群共有10人． 故选B. 【练7】 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 【答案】1． 【解析】 试题分析：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532， 整理，得x2-35x+34=0． 解得，x1=1，x2=34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x=1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 考点：一元二次方程的应用． 【练8】 如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm． （1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围． （2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案． 【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m． 【分析】 （1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围； （2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】 （1）∵矩形的面积为12m2， ∴y＝． ∵4≤y≤8， ∴1.5≤x≤3． （2）∵篱笆长11m， ∴y＝（11﹣2x）m． 依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12， 解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去）， ∴y＝11﹣2x＝8． 答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【练9】 如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？ 【答案】10米 【分析】 设垂直于墙的一边长为米，结合题意可得到平行于墙的一边长为米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案． 【详解】 设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 由题意得 ∴ ∴， 当时， 当时，（不符合题意，舍去） ∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米． 【点睛】 本题考察了二元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案． 课后作业 【练1】 已知某商品销售利润y(元)与该商品销售单价x(元)之间满足y=-20x2+1400x-20000,则获利最多为（ ） A 4500 B 5500 C 450 D 20000 【答案】A 【解析】由题意知利润y（元）与销售的单价x（元）之间的关系式，求出y的最大值． 解：利润y（元）与销售的单价x（元）之间的关系为y=-20x2+1400x-20000， ∴y=-20（x-35）2+4500． ∵-1＜0 ∴当x=352元时，y最大为4500元． 故选A． 【练2】 向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第 14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）秒 A．第 8秒 B．第10秒 C．第 12秒 D．第15秒 【答案】B 【解析】 考点：二次函数的应用． 分析：本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值． 解答：解：∵此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：x=10.5， ∴炮弹所在高度最高时： 时间是第10.5秒． 故选B． 点评：本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键． 【练3】 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________． 【答案】144 【详解】 设隔墙的长度为x，占地面积为y，则，∵，∴抛物线开口向下，当时，y取得最大值，最大值为144，故三间长方形种牛饲养室的总占地面积最大为． 【练4】 出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x=________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 【答案】3. 【解析】 试题解析：由题意可得函数式y=（6-x）x， 即y=-x2+6x， 当x=-=3时，y有最大值， 即当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 考点：二次函数的应用． 【练5】 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是____________________ 【答案】64m2 【解析】 分析：设AB=xm，面积为S，则BC=(16－x)m，然后列出S关于x的函数关系式，从而得出最大值． 详解：设AB=xm，面积为S，则BC=(16－x)m， ∴S=x(16－x)=， ∴当x=8时，面积的最大值为． 点睛：本题主要考查的是二次函数的实际应用问题，属于基础题型．根据题意列出函数关系式是解决这个问题的关键． 【练6】 如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m． 【答案】10 【分析】 根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可． 【详解】 解：在中，当y=0时， 整理得：x2-8x-20=0， （x-10）（x+2）=0， 解得x1=10，x2=-2（舍去）， 即该运动员此次掷铅球的成绩是10m． 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 【练7】 某商店将进价为 30 元的商品按售价 50 元出售时，能卖 500 件．已知该商品每 涨价 1 元，销售量就会减少 10 件，为获得 12000 元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少元？ 【答案】售价为60元 【解析】 【分析】 设售价为x元,由已知该商品每 涨价 1 元，销售量就会减少 10 件，为获得 12000 元的利润，列出方程，由且尽量减少库存得出方程的解，可得答案. 【详解】 设售价为x元 由题意得：（x－30)[500－10(x－50)]=12000 解得：x1=60，x2=70 ∵尽量减少库存 ∴售价应定为60元 答：售价为60元 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的实际应用，由已知条件列出方程式解题的关键. 【练8】 一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． （1）设通道的宽度为，则______________________；（用含的代数式表示）； （2）若塑胶运动场地总的占地面积为，请问通道的宽度为多少？ 【答案】（1），（2）2米. 【分析】 （1）根据通道宽度为米，表示出即可； （2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】 解：（1）设通道的宽度为米，则； 故答案为. （2）根据题意得，， 解得，（不合题意，舍去）． 答：中间通道的宽度为2米． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，正确表示各部分面积是解本题的关键． 【练9】 一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 【答案】（1）；（2）横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm． 【分析】 （1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；（2）根据“三条彩条所占面积是图案面积的”，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解即可． 【详解】 （1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm， ∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x， 即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x； （2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12， 整理，得：x2﹣18x+32=0， 解得：x1=2，x2=16（舍）， ∴x=3， 答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm． 考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用． 【练10】 如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝x cm(x≠0)，则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm， (1)当x为何值时，点P，N重合； (2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1) 当时，P，N重合;(2) 当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形. 【解析】 试题分析：（1）当P、N重合时有：AP+DN= 20,解方程可得. (2)MQ=PN,时PQMN是平行四边形,其中不确定P，N的位置关系，所以需要分类讨论. 试题解析： (1)当P、N重合时有：AP+DN=AD=20, 即：x2+2x-20=0，解得：（舍去）, 所以当时，P，N重合. (2) 因为当N点到达A点时，x=2，此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧． 当P点在N点的左边时有方程： 20-2x-=20-x-3x, x2-2x=0 解得：x=2或x=0(舍去). 当P点在N点的右边时有方程： 2x+x2-20=20-x-3x, x2+6x-40=0,解得：x=4或x=-10(舍去). ∴当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 一元二次方程与二次函数的实际应用 课程目标 1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 3. 能运用一元二次方程和二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识． 4. 经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 精讲精练 模块一 一元二次方程的实际应用 知识概述 一、列方程解应用题的基本思路 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； (根据题目中的等量关系，列出方程)； (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； (检验方程的解能否保证实际问题有意义） (写出答案，切忌答非所问). 【要点诠释】 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体的、系统的审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 二、常见的实际应用问题类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.常见模型问题 常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式： (1)增长率问题： a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量. “共”或“累计问题” (2)降低率问题： (3)传染问题 第三轮传染人数： (4)握手问题 (5)送礼问题 (6)枝干问题 （1）平均增长率：设原价为a，连续增长两次，价格变为b，每次增长的百分率为x，那么： 增长第一次价格为：； 增长第二次在上一次价格的基础上再乘 ，即 最终价格，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可） “累计问题”：设第一个月为a，连续增长两个月，累计总数为b，设平均增长率为x，则： 第一个月为a，第二个月为，第三个月为，所以三个月累计 （2）平均降低率：设原价为a，连续降价两次，价格变为b，每次降价的百分率为x，那么： 增长第一次价格为：； 增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即 最终价格，得出等量关系； （3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a，一个病人一轮传染x个病人，两轮传染之后一共有b个人挈带病毒，则： 传染轮数 挈带病毒人数 传染人数 第一轮 第二轮 两轮结束后一共挈带病毒数 （4）握手问题： 这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例： 首先A站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次； 然后B站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次； 以此类推，每个人都站起来和其余人握手， 一共握手：次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以 去重复；也就是一共握手次。 由此推广。当人数为x时，一共握手 次； 送礼问题，与之有相似的推导过程：因为甲送给乙礼物和乙送给甲礼物，含义不同，故不需要去重复，因此送礼问题的公式为： =总次数； 3.形积问题 　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. ⑯ 面积类问题 内挖类型 外扩类型 开路类型 开门问题 【要点诠释】 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想. 例题精讲 考法01 数字问题 【例1】 已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少． 【练1】 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数. 考法02 平均变化率问题 【例2】 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率． 【练2】 某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率. 考法03 形积问题 【例3】 如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD． （1）当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180? （2）能围成总面积为240的长方形花圃吗?说明理由. 【练3】 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【练4】 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． （3）请你求出花圃面积的最大值，并写出此时x的值。 【练5】 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 考法04 动点问题 【例4】 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s速度移动，两点同时出发，连接PQ． （1）经过多长时间后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由． （3）△PBQ的面积是否有最大值或最小值？若有请求出该值，若无请说明理由。 【练6】 如图，在中，，，，现有两点、的分别从点和点B同时出发，沿边，BC向终点C移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为． （1）问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （2）问是否存在这样的，使得四边形的面积有最大值或最小值？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 模块二 二次函数的实际应用问题 知识概述 1、利用二次函数解决实际应用问题的基本思路 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1) ，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2) ，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3) ，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5) ：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 【要点诠释】 常见的问题： 求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 例题精讲 【例1】 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元． （1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？ （2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？ 【练1】 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求与之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本） 【例2】 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD． (1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； (2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)； ②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米) 【练2】 如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是　 　． 模块三 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质 知识概述 一般步骤： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 【要点诠释】 (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 例题精讲 【例1】 某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后 的最大高度应是多少m？ 【例2】 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少? 附加题 【练1】 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. （1）当t为何值时，DF=DA？ （2）当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由． （3）是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由. （4）请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由. 【练2】 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动． (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？ (2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2； (3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm． 一课一练 【练1】 某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离是_____米． 【练2】 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ （3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积． 【练3】 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？ 【练4】 （10分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出与x之间的函数关系式； （2）若想要尽量投入较少的成本达到利润1750万元，每月应生产多少套设备？ （3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？ 【练5】 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　） A． B． C． D． 【练6】 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【练7】 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 【练8】 如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm． （1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围． （2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案． 【练9】 如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？ 课后作业 【练1】 已知某商品销售利润y(元)与该商品销售单价x(元)之间满足y=-20x2+1400x-20000,则获利最多为（ ） A 4500 B 5500 C 450 D 20000 【练2】 向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第 14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）秒 A．第 8秒 B．第10秒 C．第 12秒 D．第15秒 【练3】 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________． 【练4】 出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x=________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 【练5】 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是____________________ 【练6】 如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m． 【练7】 某商店将进价为 30 元的商品按售价 50 元出售时，能卖 500 件．已知该商品每 涨价 1 元，销售量就会减少 10 件，为获得 12000 元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少元？ 【练8】 一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． （1）设通道的宽度为，则______________________；（用含的代数式表示）； （2）若塑胶运动场地总的占地面积为，请问通道的宽度为多少？ 【练9】 一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 【练10】 如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝x cm(x≠0)，则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm， (1)当x为何值时，点P，N重合； (2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$