2024-2025学年人教版九年级数学上册暑假-第5讲-二次函数y=a(x-h)²+k

第5讲 二次函数 课程目标 1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系； 2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题； 3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 精讲精练 模块一 函数的图象与性质 知识概述 1．函数的图象与性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 2．函数的图象与性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 要点诠释： 二次函数 的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 例题精讲 【例1】 填表． 解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴 【例2】 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线． (1)求出a、h、k的值； (2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值； (4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗? 【练1】 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． （1）试确定a、h、k的值； （2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【例3】 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【练2】 已知二次函数y＝(x﹣2)2+3，当x＜2时，y随x的增大而_____．(填“增大”或“减小”) 【练3】 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 【练4】 已知函数. （1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？ （4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？ 【练5】 已知二次函数y=﹣ (x+1)2+2． （1）填空：此函数图象的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 模块二 二次函数的平移 知识概述 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 向上平移|k|个单位（向上k>0,向下k<0） 向上平移|k|个单位（向上k>0,向下k<0） 向右平移|h|个单位 （向右h>0,向左h<0） 向右平移|h|个单位 （向右h>0,向左h<0） 2.平移规律： 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“ ”． 要点诠释： 1）沿y轴平移:向上（下）平移m个单位： 变成。 2）沿x轴平移：向左（右）平移m个单位： 变成。 例题精讲 【例1】 二次函数，当时，相应x的取值范围为　 　． 【练1】 已知抛物线． （1）直接写出它的顶点坐标：　　，对称轴：　　； （2）x取何值时，y随x增大而增大？ 【例2】 如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B． (1)求直线AC的解析式； (2)求△ABC的面积； (3)当自变量x满足什么条件时，有? 【练2】 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象. （1）试确定a，h，k的值； （2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标. 【练3】 在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1、﹣4），且经过点B（3，0）． （1）求该二次函数的解析式； （2）当﹣3＜x＜3时，函数值y的增减情况； （3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点． 附加题 【练1】 已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【练2】 下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________． 【练3】 已知二次函数(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是____________________． 一课一练 【练1】 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 【练2】 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【练3】 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【练4】 二次函数的图像大致为（ ） A．B．C． D． 【练5】 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为() A． B． C． D． 【练6】 二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【练7】 若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　) A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0 【练8】 如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 【练9】 二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2020在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2020在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2019B2020A2020都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△A2019B2020A2020的斜边长为　 　． 【练10】 如图，已知二次函数y＝(x+2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)求S△AOB； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？ 课后作业 【练1】 抛物线的顶点坐标是（　 　） A．（-1，2） B．（-1，-2） C．（1，-2） D．（1，2） 【练2】 对于函数，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．与y轴不相交 【练3】 对于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大 D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1 【练4】 在平面直角坐标系中，作抛物线关于轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线所对应的的函数解析式是( ) A． B． C． D． 【练5】 二次函数的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【练6】 二次函数y＝2＋3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝1 C．抛物线的顶点是(1，3) D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【练7】 若函数y，则当函数值y＝12时，自变量x的值是　 　． 【练8】 已知一条抛物线y＝2(x﹣3)2+1，以下说法：①对称轴为x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大；②y最大值＝1；③顶点坐标为(﹣3，1)；④开口向上．其中正确的是　 　．(只填序号) 【练9】 二次函数y＝a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第　 　象限． 【练10】 对于抛物线y(x+1)2+4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(﹣1，4)；④x＞1时，图象从左至右呈下降趋势．其中正确的结论是　 　(只填序号)． 【练11】 已知二次函数y＝﹣(x+a)2+2a﹣1(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是　 　． 【练12】 如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A，B两点， (1)求A，B两点的坐标． (2)求△ABO的面积． 【练13】 抛物线y＝a(x+h)2的顶点为(2，0)，它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与y轴的交点坐标． 【练14】 已知函数y1，探究其图象和性质的过程如下： (1)函数图象探究： ①下表是y1与x的部分对应值，则表格中的a＝　 　，b＝　 　． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y1 … 0 1 2 3 2.25 a 2.25 3 b 6 … ②根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (2)观察函数的图象，请描述该函数的一条性质　 　． 【练15】 如图，抛物线yx2+2与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上 (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)问在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 二次函数 课程目标 1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系； 2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题； 3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 精讲精练 模块一 函数的图象与性质 知识概述 1．函数的图象与性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，y随x的增大而增大； 时，y有最小值为0； 时，y随x的增大而减小； 向下 时，y随x的增大而减小； 时，y有最大值为0； 时，y随x的增大而增大； 2．函数的图象与性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，y随x的增大而增大； 时，y有最小值为k； 时，y随x的增大而减小； 向下 时，y随x的增大而减小； 时，y有最大值为k； 时，y随x的增大而增大； 要点诠释： 二次函数 的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 例题精讲 【例1】 填表． 解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴 【答案】 解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴 y＝(x－2)2－3 向上 (2，－3) 直线x＝2 y＝－(x＋3)2＋2 向下 (－3，2) 直线x＝－3 向下 (－5，－5) 直线x＝－5 向上 (，1) 直线x＝ y＝3(x－2)2 向上 (2，0) 直线x＝2 y＝－3x2＋2 向下 (0，2) 直线x＝0 【分析】 各个函数都是顶点坐标式，根据顶点式可求抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质．在抛物线的顶点式方程y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 【例2】 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线． (1)求出a、h、k的值； (2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值； (4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗? 【答案与解析】 (1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴ ，，． (2)函数与的图象如图所示． (3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2． (4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题． 【练1】 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． （1）试确定a、h、k的值； （2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大. 【例3】 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D； 【解析】函数 的图象如图： ， 根据图象知道当y=3时，对应成立的x恰好有三个， ∴k=3． 故选D． 【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题． 【练2】 已知二次函数y＝(x﹣2)2+3，当x＜2时，y随x的增大而_____．(填“增大”或“减小”) 【答案】减小 【分析】 对于二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，当a＞0时，x＞h：y随x的增大而减增大，x＜h：y随x的增大而减小；当a＜0时，x＞h：y随x的增大而减小，x＜h：y随x的增大而增大． 【详解】 ∵a＝1＞0，对称轴x＝2， ∴当x＜2时，y随着x的增大而减小． 故答案为减小． 【点睛】 本题考查二次函数顶点式y=a（x-h）2+k增减性．解决本类题目的关键是分清a的符号和h的符号． 【练3】 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可） 【分析】 先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】 二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】 此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 【练4】 已知函数. （1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？ （4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？ 【答案】（1）抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）；（2）图象与y轴交于（0,-6）；（3）得当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（4）由顶点坐标，得当时，y有最小值，最小值是-8. 【解析】 【分析】 （1）根据二次函数性质，即可得到答案； （2）令y=0，x=0，分别代入解析式，即可得到与坐标轴交点坐标； （3）根据二次函数的性质，即可得解； （4）根据二次函数的性质，以及a的值，即可得到答案. 【详解】 解：（1）由函数， ∵，，， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）. （2）令，即， 解得，. ∴图象与x轴交于（1,0），（-3,0）. 令，即， ∴图象与y轴交于（0,-6）. （3）由二次函数的性质，得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. （4）由顶点坐标，得：当时，y有最小值，最小值是-8. 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，并正确求出与坐标轴的交点坐标. 【练5】 已知二次函数y=﹣ (x+1)2+2． （1）填空：此函数图象的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 【答案】（1）（﹣1，2）；（2）x＞﹣1（或x≥﹣1）；（3）3. 【分析】 （1）根据二次函数顶点式的形式解答即可；（2）根据二次函数的性质，图像的开口方向及对称轴解答即可；（3）先求出A、B、C三点坐标，再求出AB的距离，即可求出△ABC的面积； 【详解】 （1）二次函数y=﹣ +2的顶点坐标是（﹣1，2）． 故答案是：（﹣1，2）； （2）因为二次函数y=﹣+2的开口方向向下，且对称轴是直线x=﹣1， 所以当x＞﹣1（或x≥﹣1）时，函数y的值随x的增大而减小． 故答案是：x＞﹣1（或x≥﹣1）； （3）令x=0时，易求： y=， ∴点C的坐标为（0，）即：OC= 令y=0时，易求：x1=1，x2=﹣3 易求：AB=4． ∴=3． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键. 模块二 二次函数的平移 知识概述 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 向上平移|k|个单位（向上k>0,向下k<0） 向上平移|k|个单位（向上k>0,向下k<0） 向右平移|h|个单位 （向右h>0,向左h<0） 向右平移|h|个单位 （向右h>0,向左h<0） 2.平移规律： 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释： 1）沿y轴平移:向上（下）平移m个单位： 变成。 2）沿x轴平移：向左（右）平移m个单位： 变成。 例题精讲 【例1】 二次函数，当时，相应x的取值范围为　 　． 【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x的取值范围． 【答案】﹣1＜x≤0或2≤x＜3． 【解析】解：当y=2时，（x﹣1）2+1=2， 解得x=0或x=2， 当y=5时，（x﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1， 又抛物线对称轴为x=1， ∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3． 【总结升华】 本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x的值，再结合图象确定x的取值范围． 【练1】 已知抛物线． （1）直接写出它的顶点坐标：　　，对称轴：　　； （2）x取何值时，y随x增大而增大？ 【答案与解析】 解：（1）抛物线y=2（x﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1； 故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x＞1时，y随x增大而增大． 【例2】 如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B． (1)求直线AC的解析式； (2)求△ABC的面积； (3)当自变量x满足什么条件时，有? 【答案与解析】 (1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得， ∴ ．由待定系数法可求出，， ∴ ． (2)∵ 抛物线的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知． ∴ ． (3)根据图象知或时，有． 【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围． 【练2】 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象. （1）试确定a，h，k的值； （2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标. 【答案】（1） （2）开口向下，对称轴是x=1的直线，顶点（1，-5） 【详解】 试题分析：（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论； （2），直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可. 试题分析：（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1， ∴可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k， 而将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y= (x-1)2-5， ∴a=，b=1，k=-5； （2）二次函数y= (x-1)2-5， 开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）. 【练3】 在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1、﹣4），且经过点B（3，0）． （1）求该二次函数的解析式； （2）当﹣3＜x＜3时，函数值y的增减情况； （3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点． 【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣4;（2）当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小，当1≤x＜3，y随x的增大而增大;（3）将抛物线y=（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位，再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点． 【分析】 （1）由已知条件可设二次函数的解析式为：，再代入点（3，0）解出a的值即可得到二次函数的解析式； （2）由（1）中所求解析式可得第（2）问答案； （3）根据（1）中所得解析式可确定原来顶点的位置，这样就可确定怎样平移可将顶点移到原点了. 【详解】 （1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4）， ∴可设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4， 又∵二次函数图象过点B（3，0） ∴a（3﹣1）2﹣4=0，解得：a=1， ∴y=（x﹣1）2﹣4 （2）∵抛物线对称轴为直线x=1，且开口向上， ∴当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而减小；当1≤x＜3，y随x的增大而增大， （3）将抛物线y=（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位，再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点． 【点睛】 （1）当已知抛物线的顶点坐标，求解析式时，一般把解析式设为顶点式：的形式；（2）本题中顶点的横坐标x=1在﹣3＜x＜3内，因此要分为：①﹣3＜x＜1和②1≤x＜3两段来讨论函数值y的增减情况；（3）将抛物线进行平移时，“h”的值是“左移加，右移减”；“k”的值是“上移加，下移减”. 附加题 【练1】 已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【答案】B 【分析】 讨论对称轴的不同位置，可求出结果. 【详解】 ∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选B． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 【练2】 下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________． 【答案】①②④ 【分析】 ①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得． 【详解】 当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象 该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确 对于 当时， 即该函数的图象一定经过点，结论②正确 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 则结论③错误 的顶点坐标为 对于二次函数 当时， 即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确 综上，所有正确的结论序号是①②④ 故答案为：①②④． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【练3】 已知二次函数(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是____________________． 【答案】y=0.5x-1 【分析】 已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式． 【详解】 解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a-1）， 设x=2a①，y=a-1②， ①-②×2，消去a得，x-2y=2， 即y=x-1． 故答案填y=x-1． 【点睛】 本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想． 一课一练 【练1】 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标 【答案】A 【详解】 ∵抛物线 ∴a＜0，∴开口向下， ∴顶点坐标（5，3）． 故选A． 【练2】 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】 二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选D． 【练3】 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】 抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选A． 【练4】 二次函数的图像大致为（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：a=1＞0，抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．故选D． 考点：二次函数的图象． 【练5】 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为() A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 选项A，由图象可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、三象限，可得a＞0，c＞0，所以A选项错误；选项B，由图象可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以B选项正确；选项C，由图象可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、三、四象限，可得a＞0，c＜0，所以C选项错误；选项C，由图象可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以D选项错误；故选B. 点睛：本题考查了二次函数及一次函数的图象的性质，所用到的知识点：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下． 【练6】 二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】 由抛物线的顶点坐标在第四象限可得出m＞0，n＞0，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限． 【详解】 解：观察函数图象，可知：m＞0，n＞0， ∴一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限． 故选A． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键． 【练7】 若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　) A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0 【答案】B 【分析】 利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组． 【详解】 顶点坐标（m,m+1）在第一象限，则有 解得：m>0, 故选B. 考点：二次函数的性质． 【练8】 如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 【答案】 【分析】 过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0）， 于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到（m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果． 【详解】 解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC， 由抛物线y=得C（2，0）， ∴对称轴为直线x=2， 设B（m，n）， ∴CP=m-2， ∵AB∥x轴， ∴AB=2m-4， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°， ∴PB=PC=（m-2）， ∵PB=n=， ∴（m-2）=， 解得m=，m=2（不合题意，舍去）， ∴AB=，BP=， ∴S△ABC=． 【点睛】 本题考查二次函数的性质. 【练9】 二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2020在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2020在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2019B2020A2020都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△A2019B2020A2020的斜边长为　4040　． 【分析】过点B1作y轴的垂线B1C1交y轴于点C1，过点B2作y轴的垂线B2C2交y轴于点C2，……，过点B2020作y轴的垂线B2020C2020交y轴于点C2020，由等腰直角三角形的性质，分别求出OA1＝2，A1A2＝4，……，从而发现规律，即可求A2019A2020＝4040． 【解析】如图：过点B1作y轴的垂线B1C1交y轴于点C1，过点B2作y轴的垂线B2C2交y轴于点C2，……，过点B2020作y轴的垂线B2020C2020交y轴于点C2020， 设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，B3(x3，y3)，……，B2020(x2020，y2020)， ∵△A0B1A1是等腰直角三角形， ∴OC1＝B1C1， ∵B1在二次函数y＝x2上， ∴x1＝x12， ∴x1＝1或x1＝0(舍去)， ∴B1(1，1)， ∴OA1＝2， ∵△A1B2A2是等腰直角三角形， ∴A1C2＝B2C2， ∵B2在二次函数y＝x2上， ∴2+x2＝x22， ∴x2＝2或x2＝﹣1(舍去) ∴B2(2，4)， ∴A1A2＝4， ∴OA2＝6， ∵△A2B3A3是等腰直角三角形， ∴A2C3＝B3C3， ∵B3在二次函数y＝x2上， ∴6+x3＝x32， ∴x2＝3或x2＝﹣1(舍去) ∴B3(3，9)， ∴A2A3＝6， ……， ∴A2019A2020＝2×2020＝4040， 故答案为4040． 【练10】 如图，已知二次函数y＝(x+2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)求S△AOB； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？ 【分析】(1)根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； (2)根据三角形的面积公式，可得答案； (3)根据y＝(x+2)2，可得函数图象的对称轴； (4)分类讨论：P点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边，可得答案． 【解析】(1)当x＝0时，y＝22＝4，即B点坐标是 (0，4)， 当y＝0时，(x+2)2＝0，解得x＝﹣2，即A点坐标是(﹣2，0)； (2)如图，连接AB， S△AOB|AO|•|BO||﹣2|×|4|＝4； (3)y＝(x+2)2的对称轴是x＝﹣2； (4)对称轴上存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 当P点坐标是(﹣2，4)时，AP∥OB，AP＝OB，四边形PAOB是平行四边形； 当P点坐标是(﹣2，﹣4)时，AP∥OB，AP＝0B，四边形PABO是平行四边形． 课后作业 【练1】 抛物线的顶点坐标是（　 　） A．（-1，2） B．（-1，-2） C．（1，-2） D．（1，2） 【答案】C 【分析】 由抛物线解析式即可得出答案. 【详解】 ∵抛物线解析式为：y=-（x-1）2-2 ∴顶点坐标为（1，-2） 故答案选择C. 【点睛】 本题考查的是学生对二次函数中顶点式的掌握，难度系数较低. 【练2】 对于函数，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．与y轴不相交 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质即可一一判断． 【详解】 对于函数y=-2(x-3)2的图象， ∵a=-2＜0， ∴开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为(3，0)，函数有最大值0， 故选项A、B、C正确， 选项D错误， 故选D． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型． 【练3】 对于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大 D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1 【答案】C 【分析】 根据二次函数的性质依次判断各个选项后即可解答． 【详解】 ∵y＝﹣（x+2）2﹣1， ∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2， 当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故选项C的说法错误. 故选C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质是解决问题的关键. 【练4】 在平面直角坐标系中，作抛物线关于轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线所对应的的函数解析式是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 易得抛物线C的顶点，进而可得抛物线B的顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得抛物线A所对应的的函数表达式 【详解】 易得抛物线C的顶点（-1，-1）， ∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C， ∴抛物线B的顶点坐标（1，-2）， 可设抛物线B的解析式为y=2+k，代入得y=2-2， 易得抛物线A的二次项系数为-2，顶点坐标为（1,2）， ∴抛物线A的解析式为y=-2+2， 故正确答案为D. 【点睛】 此题主要考查二次函数图像的平移问题，只需看顶点坐标的如何平移得到即可；关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标相反，二次项系数互为相反数 【练5】 二次函数的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由顶点式可知当x=1时，y取得最小值-3． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， ∴当x=1时，y取得最小值-3． 故选． 【点睛】 本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【练6】 二次函数y＝2＋3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝1 C．抛物线的顶点是(1，3) D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】 利用二次函数的性质一一判断即可． 【详解】 二次函数y=2（x﹣1）2+3． ∵a=2＞0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，3），对称轴是直线x=1，故A，B，C正确． 故选D． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【练7】 若函数y，则当函数值y＝12时，自变量x的值是　6或　． 【分析】根据函数y，分两种两种情况，令y＝12代入分别求得相应的x的值，本题得以解决． 【解析】∵函数y， ∴当x≤2时，令x2+2＝12，得x， 当x＞2时，令2x＝12，得x＝6， 故答案为：6或． 【练8】 已知一条抛物线y＝2(x﹣3)2+1，以下说法：①对称轴为x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大；②y最大值＝1；③顶点坐标为(﹣3，1)；④开口向上．其中正确的是　①④　．(只填序号) 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立． 【解析】∵抛物线y＝2(x﹣3)2+1， ∴对称轴为直线x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大，故①正确； 当x＝3时，函数有最小值1，故②错误； 顶点坐标为(3，1)，故③错误； 开口向上，故④正确； 故答案为：①④． 【练9】 二次函数y＝a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第　一　象限． 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【解析】根据题意得：抛物线的顶点坐标为(﹣m，n)，且在第四象限， ∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0， 则一次函数y＝mx+n不经过第一象限． 故答案为：一． 【练10】 对于抛物线y(x+1)2+4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(﹣1，4)；④x＞1时，图象从左至右呈下降趋势．其中正确的结论是　①③④　(只填序号)． 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立． 【解析】∵抛物线y(x+1)2+4， ∴a0，该抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴是直线x＝﹣1，故②错误； 顶点坐标为(﹣1，4)，故③正确； 当x＞﹣1时，图象从左至右呈下降趋势，故④正确； 故答案为：①③④． 【练11】 已知二次函数y＝﹣(x+a)2+2a﹣1(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是　y＝﹣2x﹣1　． 【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式． 【解析】由已知得抛物线顶点坐标为(﹣a，2a﹣1)， 设x＝﹣a①，y＝2a﹣1②， ①×2+②，消去a得，2x+y＝﹣1， 即y＝﹣2x﹣1． 故答案为：y＝﹣2x﹣1． 【练12】 如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A，B两点， (1)求A，B两点的坐标． (2)求△ABO的面积． 【分析】(1)联立两函数解析式求解即可； (2)利用三角形面积计算方法即可求得△ABO的面积． 【解析】(1)联立， 解得：或， 所以A、B两点的坐标分别是(﹣1，0)，(0，2)； (2)∵A、B两点的坐标分别是(﹣1，0)，(0，2)， ∴OA＝1，OB＝2， ∴S△OABOA•OB1 【练13】 抛物线y＝a(x+h)2的顶点为(2，0)，它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与y轴的交点坐标． 【分析】(1)由抛物线y＝a(x+h)2的顶点为(2，0)，得出h＝﹣2，抛物线y＝a(x+h)2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反，得出a＝﹣3，从而确定该抛物线的函数表达式； (2)根据图象上点的坐标特征求得即可． 【解析】(1)∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为(2，0)， ∴﹣h＝2， ∴h＝﹣2， 抛物线y＝a(x+h)2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反 ∴a＝﹣3， 则该抛物线的函数表达式是y＝﹣3(x﹣2)2． (2)在函数y＝﹣3(x﹣2)2中，令x＝0，则y＝﹣12， ∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，﹣12)． 【练14】 已知函数y1，探究其图象和性质的过程如下： (1)函数图象探究： ①下表是y1与x的部分对应值，则表格中的a＝　2　，b＝　2.25　． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y1 … 0 1 2 3 2.25 a 2.25 3 b 6 … ②根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (2)观察函数的图象，请描述该函数的一条性质　当0＜x≤1时，y随x的增大而减小　． 【分析】(1)①分别计算自变量为1和2.5对应的二次函数值可得到a、b的值； ②利用描点法画出函数图象； (2)利用增减性写出一条性质即可． 【解析】(1)①x＝1，y1＝(x﹣1)2+2＝2，即a＝2， x＝2.5，y1＝(x﹣1)2+2＝4.25，即b＝4.25； ②如图， (2)当0＜x≤1时，y随x的增大而减小． 故答案为2，4.25；当0＜x≤1时，y随x的增大而减小． 【练15】 如图，抛物线yx2+2与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上 (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)问在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)由抛物线的解析式容易得出对称轴和顶点坐标； (2)由抛物线解析式求出A、B坐标，求出直线AC的解析式，再分别根据题意得出方程，解方程得出M的坐标，若不符合题意舍去． 【解析】(1)抛物线yx2+2的对称轴为x＝0，顶点C的坐标为(0，2)； (2)对于抛物线yx2+2，当y＝0时，x＝±2， ∴A(2，0)，B(﹣2，0)， ∴OA＝2； 如图3所示： 则线段AC的垂直平分线的解析式为y＝x， 令xx2+2， 解得：x＝﹣1±， ∴M1(﹣1，﹣1)，M2(﹣1，﹣1)， 此时∠AMC≠90°， ∴舍去； 综上所述：在抛物线上不存在一点M，使△MAC≌△OAC． 学科网（北京）股份有限公司 $$