江苏省镇江市丹阳市吕叔湘高级中学2024-2025学年高一下学期期末模拟数学试题

2025年江苏省丹阳市吕叔湘高级中学数学高一年级下期末模拟卷 一、单选题 1．下列命题中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量 C．若，则 D．任意向量的模都是正数 2．复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3．若一个平面截球所得截面圆的半径为3，且球心与截面所围成的圆锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱柱中，，是棱AB上一点，若平面把三棱柱分成体积比为的两部分，则（    ） A．1 B． C． D． 6．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 7．已知球的表面上有四个点，其中平面，，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在200m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（    ） A．m B．m C．m D．m 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若复数，则 B．若i为虚数单位，n为正整数，则 C．若，则 D．若，其中a，b为实数，a=1，b=-1 10．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（    ） A． B．复数的共轭复数的虚部为2 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若复数满足，则的最大值为2 11．下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．设，，为非零向量，则 C．设，为非零向量，若，则 D．若点为的重心，则 三、填空题 12．已知复数，若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围为 ． 13．在正四棱锥中，，点是的中点，则直线和所成角的余弦值为 ． 14．已知，则 ． 四、解答题 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,． (1)求的值； (2)若，求． 16．某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.    (1)求和的值； (2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？ 17．已知，，设， (1)若，求实数k的值； (2)当时，求与的夹角的余弦值； (3)是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由． 18．在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且的面积为.若，边上的两条中线，相交于点，如图所示.    (1)求的余弦值； (2)求的值. 19．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025年江苏省丹阳市吕叔湘高级中学数学高一年级下期末模拟卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B D B D C AD BD 题号 11 答案 CD 1．B 【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得. 【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误； 对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确； 对于C，若，，而与不一定平行，故C错误； 对于D，零向量的模长是，故D错误． 故选：B. 2．B 【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解. 【详解】， 则. 故选：B. 3．C 【分析】由圆锥的体积公式可得圆锥的高，再由勾股定理可得球的半径，结合球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设截面圆的半径为，圆心为，球的半径为， 则圆锥． ，． 又，， 球的表面积为． 故选：C． 4．B 【分析】在直角梯形中证明出，然后由线面垂直的性质定理得，从而得平面，得出，然后利用中点性质可得结论． 【详解】平面，平面，∴， 是直角梯形，，，，， 则，，所以，， ，平面，所以平面，又平面，所以，即到直线的距离是， 是中点，所以到的距离等于到直线的距离的一半，即为． 故选：B． 5．D 【分析】先画出平面与三棱锥的截面，分析清楚两部分是什么几何体，由等体积求解即可. 【详解】如图： 延长与交于，连接交于， 则平面与三棱锥的截面是， 将三棱锥分成两部分，三棱台，多面体， 设，，， ， ，设，则， ，则， ，解得：，由于 所以 故选：D. 6．B 【分析】设，分别是上、下底面中心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点，求出棱台的斜高，从而求出其侧面积. 【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点， 在中，， ， 所以， 所以． 故选：B 7．D 【分析】求的外接圆的半径，利用球心与圆心的连线垂直底面，构成直角三角形即可求解三棱锥外接球的半径，可得其表面积. 【详解】在中， ，， 由余弦定理可得， 设外接圆的圆心为 ，半径为r，球心为O， 由正弦定理可得， ，得， 平面ABC，且球心到点P，A的距离相等， 球心与底面的距离为 ， 球心与圆心的连线垂直于底面，， ， 该三棱锥外接球的表面积 故选：D 8．C 【分析】利用正切三角函数，首先求出的长，再利用正切三角函数求出，最后代入计算即可. 【详解】依题意可得图象如图所示,从塔顶向山体引一条垂线,垂足为. 则,则， , 塔高, 故选：C. 9．AD 【分析】利用复数的性质判断选项A；通过计算判断选项BD；举反例判断选项C即得解. 【详解】对A， 若复数，则，所以该选项正确； 对B，若i为虚数单位，n为正整数，则，所以该选项错误； 对C，若，则不一定成立，如，所以该选项错误； 对D，若，其中a，b为实数，则 .所以该选项正确. 故选：AD 10．BD 【分析】由复数的运算法则，可判定A不正确；求得，可判定B正确；根据题意，得到方程的另一根为，进而求得，可判定C不正确；结合复数的几何意义，可判定 D正确. 【详解】对于A中，由复数的运算法则，可得，所以A不正确； 对于B中，由复数，可得，可得的虚部为，所以B正确； 对于C中，由若是关于的方程的一个根， 可得方程的另一根为，则，所以C不正确； 对于D中，由复数满足，可得在复平面内表示以为圆心，半径为的圆， 又由表示圆上的点到原点的距离，可其最大值为，所以D正确. 故选：BD. 11．CD 【分析】由，可得，可判断A；根据数量积的意义判断B；根据向量垂直，数量积等于0计算，判断 C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D. 【详解】对于A选项，若，则，， 与平行或与夹角为锐角，所以A错误； 对于B选项，，，为非零向量，则是与共线的向量，是与共线的向量， 而与不一定共线，故不一定成立，所以B错误； 对于C选项，因为，所以， ，所以C正确； 对于D选项，为的重心，    则点，，分别为，，的中点， 且，，， 则，所以D正确． 故选：CD． 12． 【分析】由题在复平面上对应的点位于第二象限，即要实部小于零，虚部大于零，建立不等式组可解出. 【详解】依题意得：，得， ∴. 故答案为： 13．/ 【分析】作出辅助线，得到为异面直线和所成的角或其补角，根据边长求出，求出，得到答案. 【详解】如图，连接相交于，连接，则为的中点， 又为的中点，所以， 所以为异面直线和所成的角或其补角． 又为等边三角形，且边长为1，故， 又，，所以， 所以，所以． 异面直线和所成的角的余弦值为． 故答案为：． 14．// 【分析】由倍角公式结合商数关系求解即可. 【详解】因为，则， 所以． 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】(1)利用余弦定理角化边即可求解;(2)根据弦化切将原等式变为， 角化边即可得到，再结合可得，，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为, 结合余弦定理，得， 即， 所以． （2）由， 即，即 即，又， 所以，， 所以. 16．(1)， (2) 【分析】（1）可求得在的一组的，可求，利用概率和为，可求得； （2）由已知可求得屏幕需求尺寸为的人数与屏幕需求尺寸为的人数，可求得在每组各抽了多少人，利用古典概型概率公式计算可得2人来自同一分组的概率. 【详解】（1）因为屏幕需求尺寸在的一组人数为50人， 所以其频率为.又因为组距为0.5，所以. 又因为，所以， 即，. （2）因为屏幕需求尺寸为人数为：， 屏幕需求尺寸为人数为， 若要用分层抽样的方法抽取6人 所以要在组中抽2人，设为，； 要在组中抽4人，设，，，， 因此样本空间 ，，，，，， ，，，，共15个基本事件， 而这2人来自同一分组为事件， ，共7个基本事件， 所以这2人来自同一分组的概率. 17．(1)1 (2) (3)存在， 【分析】（1）由向量的坐标，可求向量的模和数量积，若，则，利用向量的模和数量积求实数k的值； （2）由向量的夹角公式，利用向量的模和数量积求与的夹角的余弦值； （3）由向量的平行条件，求实数k的值. 【详解】（1）由题意，向量 ， ，可得 ， 由， 得， 解得； （2）时，， ， ． ∴， ∴与的夹角的余弦值为； （3）由，则成立，得， 因为不共线，故，解得． ∴存在实数，使得． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合三角形面积公式及已知可求得，求得，再利用余弦定理求得，从而可得，由勾股定理求得，再由余弦定理计算出； （2）是的重心，由此可得，从而得出结论． 【详解】（1）已知，由正弦定理，得，由，得， 由的面积，得， 相除得，又，故， 由，，得，，由余弦定理得，即，， 在中，，，，满足， 所以为直角三角形，. 在中，，， 所以. （2）在中，为边上的中线，所以， 由，分别为边，上的中线可知为的重心， 可得，， 所以 . 19．(1)或 (2) 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角. （2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由，及正弦定理得， 因为为三角形内角，故，故得， 又为三角形内角，所以或. （2）由， 得， 又，所以，所以. 由（1）得，故，所以， 而为三角形内角，所以，， 结合，可得. 由正弦定理，得， 故的面积. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$