专题1.1 从自然数到有理数（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题1.1 从自然数到有理数 教学目标 1. 熟练判断给定数是正数还是负数，精准运用正、负数表示生活中具有相反意义的量； 2. 透彻理解有理数的概念，熟练掌握有理数的分类方法，能够对任意给定的有理数进行准确分类清晰分辨正有理数、负有理数和零，以及整数和分数的所属范畴。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的概念，能够准确无误地对有理数进行分类； （2）正、负数表示生活中具有相反意义的量； 2.难点 （1）引导学生从实际情境中理解负数的意义； （2）有理数的分类； 知识点01 正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2） 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【即学即练】 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【即学即练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）将下列各数填入相应的集合中： ，75，，0，23%，． 整数集合：{                        …} 正数集合：{                        …} 负数集合：{                        …} 分数集合：{                        …} 题型01 正负数的定义 【典例1】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）在5.2、、0、10、中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）在，，，，，中，负数的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 题型02 相反意义的量 【典例2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入100元，记作元，则支出40元，记作（   ） A．60元 B．元 C．元 D．140元 【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）水位上升5米时水位变化记为米，则水位不升不降记为（    ） A．米 B．0米 C．米 D．米 【变式2】（24-25七年级上·吉林松原·期中）规定：（2）表示上升2个台阶记作+2，则（4）表示下降4个台阶记作（   ） A． B． C．4 D． 【变式3】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）下列不具有相反意义的量的是（    ） A．身高增加厘米和体重减少千克 B．节约吨水和浪费吨水 C．超过克和不足克 D．前进米和后退米 题型03 正负数的实际应用 【典例3】（2024七年级上·全国·专题练习）国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，那么： (1)向东行和向西行各怎么表示？ (2)，各表示什么意思？ 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装．一盒橘子的标准质量为．如果用正数表示超过标准的质量，那么 (1)比标准质量多和比标准质量少各怎么表示？ (2)各表示什么意思？ 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）某水库在星期一的水位是，星期二水位下降了，星期三水位上升了，星期四水位下降了．如果规定水位上升为正，下降为负，请你将每天的水位变化情况用正数或负数表示出来． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）某超市采购一批砂糖橘共6箱，以每箱12千克为标准，超过的千克数记作正数．记录数据如下：2千克，千克，千克，千克，3千克，千克 (1)千克和3千克分别是什么含义？ (2)计算这批砂糖橘的总重量是多少千克？ 题型04 有理数的定义 【典例4】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）在，，，中，有理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（24-25七年级上·云南保山·期末）下列各数：，0.121121112…，，，，，0，其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（24-25七年级上·福建福州·期中）在中，整数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型05 0的意义 【典例5】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【变式1】（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）下列说法正确的是（   ） A．零既是正数，又是负数 B．零是最小的整数 C．零是绝对值最小的有理数 D．零是最大的负数 题型06 有理数的分类 【典例6】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【变式1】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 正分数集合： ． 【变式2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）将下列各数填入相应的集合内： 13.2，，12，0，，，， 整数集合：{                     ……} 正有理数集合：{  …… } 负有理数集合：{  ……} 【答案】见解析 【变式3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， (1)正有理数集合：{                                           …} (2)负有理数集合：{                                           …} (3)整数集合：{                                          …} (4)分数集合：{                                           …} 题型07 带“非”字的有理数 【典例7】（24-25七年级上·福建泉州·期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： ，，0，，，， (1)负整数集合{     }； (2)正分数集合{     }； (3)非负整数集合{     }． 【变式1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 一、单选题 1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）向西走表示的意义是（    ） A．向东走了 B．向西走了 C．向南走了 D．向北走了 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 5．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东河源·期中）在，，中，有理数是 ． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，非负数的个数有 个． 9．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果收入100元记为，那么支出80元记为 ． 10．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）某种零件的直径的合格标准是(25±0.2)mm．经检查， 一个零件的直径是24.9 mm， 则该零件是 的（填“合格”或“不合格”）． 11．（24-25七年级上·广东惠州·期末）一次数学测试（满分120分），如果96分为优秀，以96分为基准简记，例如100分记为分，那么90分应记为 分． 12．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）某校组织学生去劳动实践基地采摘苹果，并称重、封装．一箱苹果的标准质量为，如果比标准质量多记作，那么比标准质量少应记作 g． 13．（24-25七年级上·山西朔州·期中）如图是一个转盘型密码锁，每次开锁时需要把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时，标记线对准的数是3，再顺时针方向旋转10个小格记为“”，此时，标记线对准的数是33，再逆时针方向旋转17个小格记为“”，此时，标记线对准的数是10，锁就打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是 ． 14．（24-25七年级上·广西南宁·期中）成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．如图所示：当表示一个多位数时，把各个数位的数从左到右排列，个位，百位，万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．用算筹表示的数为： ． 三、解答题 15．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 16．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 从自然数到有理数 教学目标 1. 熟练判断给定数是正数还是负数，精准运用正、负数表示生活中具有相反意义的量； 2. 透彻理解有理数的概念，熟练掌握有理数的分类方法，能够对任意给定的有理数进行准确分类清晰分辨正有理数、负有理数和零，以及整数和分数的所属范畴。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的概念，能够准确无误地对有理数进行分类； （2）正、负数表示生活中具有相反意义的量； 2.难点 （1）引导学生从实际情境中理解负数的意义； （2）有理数的分类； 知识点01 正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2） 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【即学即练】 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以判断哪些数是负数，从而可以解答本题． 【详解】解：在，0，，，，中，负数有：，，，共3个， 故选：B． 知识点02 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【即学即练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）将下列各数填入相应的集合中： ，75，，0，23%，． 整数集合：{                        …} 正数集合：{                        …} 负数集合：{                        …} 分数集合：{                        …} 【答案】；；； 【分析】本题考查的是有理数的分类与概念，根据整数，正数，负数，分数的含义把各数填入相应的集合里面即可． 【详解】解：整数集合： 正数集合： 负数集合： 分数集合：． 题型01 正负数的定义 【典例1】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）在5.2、、0、10、中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查正数的概念，解题的关键是明确正数的定义，据此判断给定数字中正数的个数． 依据正数的定义，逐一分析所给数字，统计其中正数的数量． 【详解】正数是大于0的数．在5.2、、0、10、中 5.2大于0，所以5.2是正数；小于0，是负数；0既不是正数也不是负数；10大于0，所以10是正数；小于0，是负数． 综上，正数有5.2和10，共2个， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）在，，，，，中，负数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负数的定义和识别，小于的数是负数． 根据负数的定义逐个识别即可得到答案． 【详解】解：，， 负数有：，，，共个， 故选：B ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义便不难解答． 根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确； B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确． 故选：C 题型02 相反意义的量 【典例2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入100元，记作元，则支出40元，记作（   ） A．60元 B．元 C．元 D．140元 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．根据题意，收入记作正，则支出记作负，据此即可求解． 【详解】解：若收入100元，记作元，则支出40元，记作元． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）水位上升5米时水位变化记为米，则水位不升不降记为（    ） A．米 B．0米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数是一对具有相反意义的量，若水位上升“”表示，那么水位下降就用“”表示，水位不升不降用“0”表示，据此求解即可． 【详解】解：水位上升5米时水位变化记为米，则水位不升不降记为0米， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·吉林松原·期中）规定：（2）表示上升2个台阶记作+2，则（4）表示下降4个台阶记作（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，要熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．根据正负数的定义，可得：上升记作“”，则下降记作“”，据此求解即可． 【详解】 解：（2）表示上升2个台阶记作+2，则（4）表示下降4个台阶记作， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）下列不具有相反意义的量的是（    ） A．身高增加厘米和体重减少千克 B．节约吨水和浪费吨水 C．超过克和不足克 D．前进米和后退米 【答案】A 【分析】本题考查了相反意义的量，根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可，理解相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：、身高增加厘米和体重减少千克，不是具有相反意义的量，故此选项符合题意； 、节约吨水和浪费吨水，是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 、超过克和不足克，是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 、前进米和后退米，是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； 故选：． 题型03 正负数的实际应用 【典例3】（2024七年级上·全国·专题练习）国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，那么： (1)向东行和向西行各怎么表示？ (2)，各表示什么意思？ 【答案】(1)向东行用表示，向西行用表示 (2)表示向东行，表示向西行 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据规定向东为正，向西为负，即可求解； （2）根据规定向东为正，向西为负，即可求解． 【详解】（1）解：规定向东为正，向西为负，向东行用表示，向西行用表示， （2）解：表示向东行，表示向西行 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装．一盒橘子的标准质量为．如果用正数表示超过标准的质量，那么 (1)比标准质量多和比标准质量少各怎么表示？ (2)各表示什么意思？ 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】此题考查了正数和负数，弄清题目中正数和负数的意义是解本题的关键． （1）依据正数和负数的意义进行判断即可； （2）依据正数和负数的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：如果用正数表示超过标准质量的克数，那么比标准质量多记作：，比标准质量少记作：； （2）如果用正数表示超过标准质量的克数，那么表示比标准质量多，表示比标准质量少． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）某水库在星期一的水位是，星期二水位下降了，星期三水位上升了，星期四水位下降了．如果规定水位上升为正，下降为负，请你将每天的水位变化情况用正数或负数表示出来． 【答案】星期二为，星期三为，星期四为 【分析】本题考查正负数的意义．根据题意可知用正负数表示每天的水位变化为星期二为，星期三为，星期四为． 【详解】解：每天的水位变化情况：星期二为，星期三为，星期四为． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）某超市采购一批砂糖橘共6箱，以每箱12千克为标准，超过的千克数记作正数．记录数据如下：2千克，千克，千克，千克，3千克，千克 (1)千克和3千克分别是什么含义？ (2)计算这批砂糖橘的总重量是多少千克？ 【答案】(1)千克表示低于标准千克1.5千克；3千克表示超出标准千克3千克 (2)72.9千克 【分析】本题考查有正负数的意义，有理数的加法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据正负数的意义解答即可； （2）先把记录的数相加，然后再加上6箱砂糖橘的标准重量计算即可得解． 【详解】（1）解：∵以每箱12千克为标准， ∴千克表示比12千克少1.5千克，3千克表示比12千克多3千克； （2）千克， 千克． 题型04 有理数的定义 【典例4】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）在，，，中，有理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键． 根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：，，是有理数，共个， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·云南保山·期末）下列各数：，0.121121112…，，，，，0，其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的概念，根据整数和分数统称为有理数，判定每个数是否是有理数即可． 【详解】解：有理数有，，，，0，共5个， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·福建福州·期中）在中，整数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的有理数的分类，根据整数分为正整数，0，负整数即可作答． 【详解】解：在中，整数有，共4个； 故选：B 题型05 0的意义 【典例5】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，0是重要的数，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．依据0的含义以及有理数分类逐一判断即可． 【详解】解：A、表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界，故此选项正确，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，不符合题意； C、0是整数，也是最小的自然数，故此选项正确，不符合题意； D、0能写成分数的形式，是有理数，故此选项错误，符合题意；． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【详解】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·期中）下列说法正确的是（   ） A．零既是正数，又是负数 B．零是最小的整数 C．零是绝对值最小的有理数 D．零是最大的负数 【答案】C 【分析】本题考查了0的意义，“0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数，关键是熟练掌握零的意义． 根据零的意义求解即可． 【详解】解：A、零不是正数，也不是负数，故A错误； B、零是最小的非负整数，故B错误； C、零是绝对值最小的有理数，故C正确； D、零是最大的非正数，故D错误． 故选：C． 题型06 有理数的分类 【典例6】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧ ； 负分数集合③，⑤，⑦ ； 正有理数集合②0.2，⑧ ， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 【变式1】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，，，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 正分数集合： ． 【答案】，，，，，； ，，，； ，，，，； ，，． 【分析】本题考查了正数概念，以及有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类进行求解，即可解题． 【详解】解：正数集合：，，，，，； 负数集合：，，，； 整数集合：，，，，； 正分数集合：，，． 故答案为：，，，，，；，，，；，，，，；，，． 【变式2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）将下列各数填入相应的集合内： 13.2，，12，0，，，， 整数集合：{                    ……} 正有理数集合：{               …… } 负有理数集合：{                ……} 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数，负整数和零，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数，进行作答即可． 【详解】解：整数集合：{12，0，……} 正有理数集合：{13.2，12，……} 负有理数集合：{， ，，……}． 【变式3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， (1)正有理数集合：{                                           …} (2)负有理数集合：{                                           …} (3)整数集合：{                                          …} (4)分数集合：{                                           …} 【答案】(1)5，，，π，， (2)，，，， (3)5，，，0， (4)，，，，， 【分析】此题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法进行解答即可. （1）根据正有理数的意义进行解答即可； （2）根据负有理数的意义进行解答即可； （3）根据整数的意义进行解答即可； （4）根据分数的意义进行解答即可. 【详解】（1）解：正有理数集合：{5，，，π，，…} （2）解：负有理数集合：{，，，，…} （3）解：整数集合：{5，，，0，…} （4）解：分数集合：{，，，，，…} 题型07 带“非”字的有理数 【典例7】（24-25七年级上·福建泉州·期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： ，，0，，，， (1)负整数集合{    }； (2)正分数集合{    }； (3)非负整数集合{    }． 【答案】(1)， (2)， (3)0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握负整数、非负整数、正分数是解题关键． （1）根据负整数的概念进行解答即可； （2）根据正分数的概念进行解答即可； （3）根据非负整数的概念进行解答即可． 【详解】（1）解：，， 负整数集合：，． （2）解：，， 正分数集合：，． （3）解：，， 非负整数集合：0，． 【变式1】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解答本题的关键． 根据负数的定义解答即可． 【详解】解：是负数的是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）向西走表示的意义是（    ） A．向东走了 B．向西走了 C．向南走了 D．向北走了 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：向西走表示的意义是向东走了， 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在数2，0，，，4.8中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义．根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数2，0，，，4.8中，有理数有2，0，，4.8，共4个． 故选：D． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类和概念，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、既是分数，又是负数，符合题意； B、0是整数，既不是正数也不是负数，不符合题意； C、是小数，是正数，不符合题意； D、是整数，是负数，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用等知识点，深刻理解正负数的含义是解题的关键． 运用有理数的减法解题即可． 【详解】解：它们的直径最大相差：， 故选：C． 6．（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，根据误差不大于可知，尺寸记录的数字部分大于和小于的零件为不合格的零件，据此求解即可． 【详解】解：∵要求误差不大于， ∴不合格的零件的尺寸有，共1个， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东河源·期中）在，，中，有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数“整数和分数统称为有理数”，熟记有理数的定义是解题关键．根据有理数的定义求解即可得． 【详解】解：和都是无限不循环小数，不是有理数， 不是有理数， 是分数，是有理数， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，非负数的个数有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了非负数的定义，根据“零和正数统称为非负数”，即可求解，解题的关键是掌握非负数的定义． 【详解】根据“零和正数统称为非负数”的定义得： 非负数有：，，，共4个 故答案为：4． 9．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果收入100元记为，那么支出80元记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解；如果收入100元记为，那么支出80元记为， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）某种零件的直径的合格标准是(25±0.2)mm．经检查， 一个零件的直径是24.9 mm， 则该零件是 的（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题主要考查了正负数的意义， 根据合格标准得出零件直径的合格范围，再根据是否在范围内判断． 【详解】解：根据题意（mm），（mm）， 可知零件直径的合格标准在之间， 所以24.9mm合格． 故答案为：合格． 11．（24-25七年级上·广东惠州·期末）一次数学测试（满分120分），如果96分为优秀，以96分为基准简记，例如100分记为分，那么90分应记为 分． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数的意义，理解具有相反意义的量，一个用正数表示，则与之相反的量用负数表示是解题的关键． 根据以96分为基准简记，例如100分记为分，那么90分应表示为分． 【详解】解：， ∴90分应记为分， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）某校组织学生去劳动实践基地采摘苹果，并称重、封装．一箱苹果的标准质量为，如果比标准质量多记作，那么比标准质量少应记作 g． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际意义，表示相反意义的量．根据题意即可得到本题答案． 【详解】解：∵比标准质量多记作， ∴比标准质量少应记作， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·山西朔州·期中）如图是一个转盘型密码锁，每次开锁时需要把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时，标记线对准的数是3，再顺时针方向旋转10个小格记为“”，此时，标记线对准的数是33，再逆时针方向旋转17个小格记为“”，此时，标记线对准的数是10，锁就打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了正负数的应用，根据开锁密码为“，，”，分别得出标记线对准的数即可得出答案． 【详解】解：∵开锁密码为“，，”， ∴需要先顺时针方向旋转10个小格，此时标记线对准的数是30，再逆时针方向旋转15个小格，此时标记线对准的数是5，然后顺时针方向旋转20个小格，此时标记线对准的数是25， 即锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是25． 故答案为：25． 14．（24-25七年级上·广西南宁·期中）成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．如图所示：当表示一个多位数时，把各个数位的数从左到右排列，个位，百位，万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．用算筹表示的数为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的表示，根据题意可知，所求算筹表示的是一个四位数，千位数字是2，百位数字是0，十位数字是2，个数数字是4，据此可得答案． 【详解】 解：由题意得，算筹表示的数为：， 故答案为： 三、解答题 15．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据超过的记作正数，不足的记作负数直接加上基础数量即可得到答案； （2）利用达标的人数除以总人数即可得到答案； （3）利用乘以8加上记录的成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， “0”表示的是做了个仰卧起坐， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 3，4， 2，3， 0几个计数的人是达标的，共5人， ∴第一组学生的达标率是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， （个）， ∴第一组 8 名学生共做了个仰卧起坐． 16．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 【答案】(1)4；3； (2) 【分析】本题考查了正负数，掌握正负数的意义是关键． （1）步数超出最多的量为最多的一天，步数不足最多的量为最少的一天； （2）用每天8000步加上每天的出入量，得出总和即可． 【详解】（1）∵， ∴从9月2日到9月5日这四天中， 步数最多的是9月4日，步数最少的是9月3日． 故答案为：4；3； （2）（步）， 答：小李这四天走的步数一共是步． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$