第02课时 线与角——相交与垂直-2026年新四年级数学暑假自学课（北师大版）

第02课时 相交与垂直 ·模块一 教学目标及重难点 ·模块二 知识梳理 ·模块三 典型例题 ·模块四 过关检测 模块一 教学目标及重难点 1、教学目标。 （1） 学生能够理解相交、垂直的概念，掌握判断两条直线是否垂直的方法，了解垂线在生活中的应用。 （2）通过观察、操作和思考等活动，培养学生的空间观念和几何直觉。 2、教学重难点。 重点：理解相交和垂直的概念，掌握判断两条直线是否垂直的方法。 难点：理解垂直的几何意义，掌握垂线的性质。 模块二 知识梳理 1、 理解相交、垂直的概念。 2、 学会判断两条直线是否垂直、相交。 模块三 典型例题 【典例一】如图，从五和大道有4条路通往乐乐家，长度分别约是300米，320米，510米和620米，根据如图可以判断线路②的长度约是( )米。 【典例二】黄叔叔决定修一个取水管道，将蓄水池与杨柳河相连，怎样修这条管道能使路线最短？请你画出路线图，并说明道理。 【典例三】一个游泳池，四条岸边正好围成一个长方形，其中的两条岸边已标出。 （1）请将游泳池另外两条岸边补充完整。 （2）乐乐在游泳池里游泳，目前他在处，他想尽快游上岸。请你帮他设计一条游上岸的路线，在图上画出来。 【典例四】如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到了危险，在岸边A点处的救生员按照怎样的救援路线才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线，并从数学的角度解释这样设计路线的道理。（快放寒假了，有游泳锻炼计划的同学们一定要在大人陪同下到正规的游泳馆游泳哟！） 模块四 过关检测 一、选择题 1．如图是学校的沙坑，A点是奇思跳远时脚后跟落入沙坑的点，能准确表示出他跳远成绩的是（    ）。 A．线段AB的长度 B．线段AC的长度 C．线段AD的长度 2．从点A到直线l画了三条线段，分别长9cm、6cm、8cm，其中只有一条与直线l垂直，那么与直线1垂直的线段长（    ）。 A．9cm B．6cm C．8cm D．无法确定 3．如图，三只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑过去：（    ）最先吃到害虫。 A．小鸡1 B．小鸡2 C．小鸡3 4．在同一个平面内，过直线上一点可以画（    ）条该直线的垂线。 A．1 B．2 C．无数 5．过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（    ）条。 A．1 B．2 C．3 D．无数 二、填空题 6．如果直线a与直线b相交成90°的角，我们就说直线a与直线b( )。过一点可以画( )条直线，过两点可以画( )条直线。 7．两条直线相交成( )时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的( )，两直线的交点是( )。 三、作图题 8．过点P分别画出两条直线的垂线。 四、解答题 9．一只小羊正在点A处，它要去河边喝水，请你为小羊设计一条最近的路线，并在图中画出来，简单说明你这样画的原因。 10．四个小朋友做抢椅子的游戏，他们的位置如下，谁最有可能先坐在椅子上？你能说出理由吗？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02课时 相交与垂直 ·模块一 教学目标及重难点 ·模块二 知识梳理 ·模块三 典型例题 ·模块四 过关检测 模块一 教学目标及重难点 1、教学目标。 （1） 学生能够理解相交、垂直的概念，掌握判断两条直线是否垂直的方法，了解垂线在生活中的应用。 （2）通过观察、操作和思考等活动，培养学生的空间观念和几何直觉。 2、教学重难点。 重点：理解相交和垂直的概念，掌握判断两条直线是否垂直的方法。 难点：理解垂直的几何意义，掌握垂线的性质。 模块二 知识梳理 1、 理解相交、垂直的概念。 2、 学会判断两条直线是否垂直、相交。 模块三 典型例题 【典例一】如图，从五和大道有4条路通往乐乐家，长度分别约是300米，320米，510米和620米，根据如图可以判断线路②的长度约是( )米。 【答案】300 【分析】直线外一点到直线上的连线，垂线段最短。由图可知，线路②是乐乐家到五和大道的垂线，此路线是最短的。据此解答。 【详解】300米＜320米＜510米＜620米 根据图形可以判断线路②的长度约是300米。 【典例二】黄叔叔决定修一个取水管道，将蓄水池与杨柳河相连，怎样修这条管道能使路线最短？请你画出路线图，并说明道理。 【答案】 见详解 【分析】直线外一点到直线的垂线段的距离最短，画出蓄水池到小河边的垂线即可。 【详解】如图所示： 【典例三】一个游泳池，四条岸边正好围成一个长方形，其中的两条岸边已标出。 （1）请将游泳池另外两条岸边补充完整。 （2）乐乐在游泳池里游泳，目前他在处，他想尽快游上岸。请你帮他设计一条游上岸的路线，在图上画出来。 【答案】图见详解 【分析】（1）长方形的特征：两组对边平行且相等，有4个直角；用三角尺的直角边分别紧靠长方形的长和宽，然后平移三角尺至长（宽）的另一端点处，在三角尺的另一条直角边上，过该端点画出与之长（宽）平行且相等的线段，依此画出长方形的另外两条边即可； （2）在同一平面内，点到直线的所有连线中，垂线段最短；显然，点M离长方形的宽比较近，因此用三角尺的直角边与长方形的宽重合，另一直角边平移至点M处，沿着直角边即可画出垂线段（不出头），最后标上直角符号即可。 【详解】根据分析作图如下： 【典例四】如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到了危险，在岸边A点处的救生员按照怎样的救援路线才能最快将遇险的小朋友救上岸？请你画出救援的最短路线，并从数学的角度解释这样设计路线的道理。（快放寒假了，有游泳锻炼计划的同学们一定要在大人陪同下到正规的游泳馆游泳哟！） 【答案】 【分析】两点之间，线段最短，先在A点和B点之间连一条线段；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，再连接点B作一条到岸上的垂线；据此作图。 【详解】由分析知，如图： 理由：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。 模块四 过关检测 一、选择题 1．如图是学校的沙坑，A点是奇思跳远时脚后跟落入沙坑的点，能准确表示出他跳远成绩的是（    ）。 A．线段AB的长度 B．线段AC的长度 C．线段AD的长度 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，从A点到起跳线的垂直线段能表示他跳远成绩。 【详解】由分析得： 线段AC与起跳线互相垂直，能准确表示出他跳远成绩的是线段AC长度。 故答案为：B 【点睛】本题考查垂直的特征，关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 2．从点A到直线l画了三条线段，分别长9cm、6cm、8cm，其中只有一条与直线l垂直，那么与直线1垂直的线段长（    ）。 A．9cm B．6cm C．8cm D．无法确定 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短，据此选择即可。 【详解】从点A到直线1画了三条线段，分别长9cm、6cm、8cm，其中只有一条与直线l垂直，那么与直线1垂直的线段长6cm。 故答案为：B 3．如图，三只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑过去：（    ）最先吃到害虫。 A．小鸡1 B．小鸡2 C．小鸡3 【答案】B 【分析】根据直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短可知，小鸡2到害虫的距离最短，三只小鸡以同样的速度向害虫跑过去，小鸡2最先到达害虫位置，所以小鸡2最先吃到害虫，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，三只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑过去：小鸡2最先吃到害虫。 故答案为：B 4．在同一个平面内，过直线上一点可以画（    ）条该直线的垂线。 A．1 B．2 C．无数 【答案】A 【详解】根据垂线的性质：在同一个平面内，过直线外一点作已知直线的垂线，能作且只能作1条，例图如下： 故答案为：A 5．过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（    ）条。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】A 【分析】在同一个平面内，两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。在同一平面内，过直线外一点画已知直线的垂线，只能画1条。 【详解】如图： 过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查了垂直的特征和性质，要熟练掌握。 二、填空题 6．如果直线a与直线b相交成90°的角，我们就说直线a与直线b( )。过一点可以画( )条直线，过两点可以画( )条直线。 【答案】 互相垂直 无数 一 【分析】根据垂直的定义，如果两条直线相交成90°的角，那么这两条直线互相垂直。直线没有端点可以无限延长，所以过一点可以画无数条直线。两点确定一条直线，所以过两点可以画一条直线。 【详解】如果直线a与直线b相交成90°的角，我们就说直线a与直线b互相垂直。过一点可以画无数条直线，过两点可以画一条直线。 【点睛】本题考查了垂直的含义以及直线的初步认识。 7．两条直线相交成( )时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的( )，两直线的交点是( )。 【答案】 90度 垂线 垂足 【详解】如果两条直线相交成90度时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 例如图中直线a与b互相垂直： 三、作图题 8．过点P分别画出两条直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向已知直线画直线，此线即为已知直线的垂线，用同样的方法再过点P画另一条直线的垂线，注意加垂足。 【详解】 四、解答题 9．一只小羊正在点A处，它要去河边喝水，请你为小羊设计一条最近的路线，并在图中画出来，简单说明你这样画的原因。 【答案】图见详解； 点到直线的距离垂线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短；过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此解答。 【详解】如图： 原因：点到直线的距离垂线段最短。 10．四个小朋友做抢椅子的游戏，他们的位置如下，谁最有可能先坐在椅子上？你能说出理由吗？ 【答案】毛毛；因为毛毛距离椅子最近 【分析】由题意得，可以把四个小朋友站的位置看成一条直线，椅子看成一点，分别作出四个小朋友到椅子的距离，然后比较他们到椅子的距离即可。 【详解】根据题意作图如下： 根据“直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短”可知，毛毛到椅子的距离最近。 答：毛毛最有可能先坐在椅子上。因为他距离椅子最近。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$