第6讲 函数的概念讲义-2026届高三数学一轮复习

第6讲 函数的概念 知识梳理 知识点1 函数的概念 函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 知识点2 函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 知识点3 相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是. 题型归纳 【题型一】 函数的概念 方法技巧：1.利用函数概念判断. 2.当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【详解】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以A错误；B选项中，与的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B正确；C选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以C错误；D选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以D错误． 【题型二】 给出函数解析式求解定义域 方法技巧：对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式． 4．（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式、根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：且，的定义域为. 故选：D. 5．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式及二次不等式、二次函数的性质化简集合A，B，根据交集运算即可得解. 【详解】因为且， ， 所以. 故选：C 6．（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【题型三】 抽象函数定义域 方法技巧：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由函数的定义域为得，解得． 8．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 9．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数定义域法则求出，再结合具体函数定义域法则求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 则，即函数的定义域为， 令，解得，因为，所以解得， 因为，解得，则的定义域为，故C正确. 故选：C 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的性质求的定义域，再由复合函数定义域的求法求的定义域. 【详解】由题设，即的定义域为， 对于，有，则，即定义域为. 故选：D 【题型四】 已知函数定义域求参数 方法技巧：常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意知恒成立，所以恒成立，所以，又且，所以或．所以实数a的取值范围是． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知对任意实数都成立，分和两种情况，结合判别式列式求解. 【详解】由题意得对任意实数都成立， 当时，，符合题意； 当时，满足，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 13．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 【题型五】 函数解析式的求法 方法技巧：求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法． （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法． （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． （5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解． （6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 14．（多选）（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则（   ） A． B．2025 C．2024 D．2026 【答案】D 【详解】根据题意，令，则，即，又因为函数在定义域内单调，所以，解得，所以，经检验满足题意．因此． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得． 17．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 【题型六】 函数值域的求解 方法技巧：函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． （8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 18．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可. 【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 19．（辽宁省葫芦岛市2025届高三第二次模拟考试数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据对数函数定义域得出集合A，再应用二次函数值域得出集合B，再应用交集定义计算即可. 【详解】集合，， 则. 故选：A. 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的值域为，即的值域包含这一子区间．故当时，，此时的值域为，符合题意；当时，是开口向下的二次函数，显然，值域不可能包含这一区间，故不符合题意；当时，需要与x轴有交点，才能完全包含这一区间，此时，即，解得．综上，． 易错警示  一定要理解并区分定义域为与值域为的不同． 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】D 【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误. 【题型七】 分段函数的应用 方法技巧：1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、 函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内. 22．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所以在上单调递增，在上单调递减．因此函数的图象为选项B． 23．（24-25高一下·广东汕头·期中）函数，则 . 【答案】3 【分析】根据自变量的值确定代入哪一段函数解析式来计算内层函数值，再将内层函数值作为新的自变量，代入相应解析式计算外层函数值. 【详解】已知函数， 因为，所以将代入中， 可得. 因为，此时求即求. 又因为，所以将代入中，可得， 所以. 故答案为：3. 24．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为， 当时，， 要使得定义域和值域的交集为空集，则， 又时，， 若，则，此时显然不满足题意， 若，则在上单调递减，， 故， 所以，解得. 故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 函数的概念 知识梳理 知识点1 函数的概念 函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 知识点2 函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 知识点3 相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是. 题型归纳 【题型一】 函数的概念 方法技巧：1.利用函数概念判断. 2.当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】 给出函数解析式求解定义域 方法技巧：对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式． 4．（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的定义域为 ． 【题型三】 抽象函数定义域 方法技巧：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 8．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 9．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型四】 已知函数定义域求参数 方法技巧：常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型五】 函数解析式的求法 方法技巧：求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法． （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法． （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． （5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解． （6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 14．（多选）（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则（   ） A． B．2025 C．2024 D．2026 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【题型六】 函数值域的求解 方法技巧：函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． （8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． （10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 18．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 19．（辽宁省葫芦岛市2025届高三第二次模拟考试数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数．若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【题型七】 分段函数的应用 方法技巧：1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、 函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内. 22．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·广东汕头·期中）函数，则 . 24．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$