精品解析：福建省南安第一中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段测试数学试题

2024~2025学年高二年下学期第二次阶段考数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的并运算求集合即可. 【详解】由题设. 故选：B 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相关系数的意义结合散点图即可求解. 【详解】由图可知都是正线性相关关系，都是负线性相关关系，且相关性更强， 所以. 故选：A 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分、必要条件的判断，结合不等式求解即可判断. 【详解】由，可得， 可得：，也即且， 可得，可得， 若，取，显然不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（ ） A. 450 B. 360 C. 180 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知分配方式有和两种情况，然后分别计算这两种情况的选法种数，最后相加就是所求答案. 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 5. 已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（   ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由题意把，代入线性回归方程，结合对数函数的性质可得. 【详解】已知，把，代入可得： ，即． 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即有最大值为． 故选：C 6. 已知且，则的最小值为（   ）． A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得. 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号. 故选：B 7. 已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（ ） A. 第二次取到3号球的概率为 B. 如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C. 在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D. 如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式判断AB的正误，根据条件概率判断C的正误，根据先分组再分配的方法计算后可判断D的正误. 【详解】选项A： 设为“第1次在1号口袋中取号球”，为“第二次取号球” 则 ， 故A选项正确. 选项B： 设为“第二次取号球”，则 ， 故，， ， 所以则它来自1号口袋的概率最大，B选项正确. 选项C：，所以C选项错误. 选项D： 将个不同小球放入这个口袋内，每个口袋至少放个， 先将个球分成组，有，，三种分法. 对于，有种方法； 对于，有种方法； 对于，有种方法. 所以不同的分配方法共有种，D选项正确. 故选：C 【点睛】方法点睛： 对于复杂的概率问题，常常采用分情况讨论，利用全概率公式和条件概率公式进行求解.通过确定不同的事件及其发生的概率，以及在不同条件下目标事件发生的概率，来计算最终的概率. 在计算不同的分配方法时，采用先分组再排列的策略.对于不同的分组方式，需要注意是否存在重复情况，合理运用组合数和排列数公式进行计算. 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用连续型随机变量服从正态分布，结合正态密度曲线的性质逐一验证即可. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布， 可得，可得，所以正态密度曲线关于对称， 即，由，可得在时增加较快， 在时增加越来越慢，所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则（ ） A. 当，独立时， B. 当，互斥时， C. D. . 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率的性质及独立事件、互斥事件的概念，逐个分析判断即可. 【详解】若独立，则，A正确； 若互斥，则，B正确； 因为，C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（   ） A. 各项系数之和为32 B. 各项系数的绝对值之和为 C. 常数项为80 D. 的系数为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，可判断A；令多项式中的可得到B；求出通项，令可得C错误；在C基础上，由通项中令可得D. 【详解】对于A，令，可得各项系数之和为，故A正确； 对于B，多项式展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等， 在多项式中，令，可得各项系数之和为，故B正确； 对于C，的展开式的通项公式为， 的展开式的通项公式为， 令，则有3种情况：当时，该项为； 当时，该项为；当时，该项为； 故常数项为，故C错误； 对于D，令，结合，则有， 解得或， 当时，该项为； 当时，该项为， 所以，的系数为，故D正确. 故选：ABD. 11. 围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈"在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则以下结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 存在，对任意的，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率得，得到，同理得到，得到A选项.将带入中，得到，根据得到B选项. 时，，化简得到C选项.对于D，把它看成关于的二次函数即可得到答案. 【详解】对于A，根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为，只赢两盘的概率为， 则，解得，故， 甲与丙对弈只赢一盘概率为，只赢两盘的概率为， 则，解得，故，故，则A正确； 对于B，由得，则， 即，又，所以，所以，故B正确； 对于C，令，则，化简为， 故，即， 又因为，则，即，故C错误， 对于D，结合选项C，可得 由A选项知，， 另一方面可将其看作有关二次函数，若对任意的恒成立， 只需对任意的恒成立． 可知，，二次函数图象开口向下，只需，即，可使对恒成立，故Ｄ正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 直接翻译题意得到概率的大小关系. 二元换一元比较概率的大小关系. 有双元时，看成一个变量的二次函数，另一个当常数，按二次函数性质做题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题两个空，第一空2分，第二空3分 12. 学校举办篮球赛，将8支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为________________________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合组合数和古典概率求解可得. 【详解】由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为：， 所有的分组组数为：，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：. 故答案为：. 13. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得的数据列于表中．已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则______． 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 【答案】21.6 【解析】 【分析】先根据题目数据求出样本中心点，代入回归直线方程得，然后求出的预报值，根据残差列式求解即可. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得，所以， 当时，，则． 故答案为：21.6. 14. 已知随机变量，相互独立，且，，则______；若，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项分布写出概率再结合独立事件概率乘积公式计算即可；根据概率求和结果倒序相加计算求解. 【详解】，， . 并利用， 记原式， 倒序相加. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米. （1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ （2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 【答案】（1）的长应在 （2）当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米 【解析】 【分析】（1）设出米，则米，求出矩形面积的表达式，根据矩形的面积大于32平方米解不等式可得答案； （2）利用基本不等式求解可得答案. 【小问1详解】 设，则由与相似得 ，整理得， 矩形的面积， 即， 当时，得，整理得， 解得，或，又， 所以的长应在； 【小问2详解】 时，， 当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米. 16. 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． （1）请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【小问1详解】 因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得 ，故没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. 【小问2详解】 由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为. 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 17. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的意义计算可得； （2）先将问题转化为恒成立，再构造函数，求导后再次构造，再次求导结合零点存在定理分析的单调性和最值可得. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意，解得. 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立 ， 令， 则 ， 令，则，所以在上单调递， 又， 所以，使得，即，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 18. 某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是，至冬季结束仍然有的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为． （1）现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； （2）已知泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现从该地区接种疫菌的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为X，求使得最大时的X值．（参考数据：） 【答案】（1）0.006 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）条件概率的乘法公式以及互斥事件的概率加法，可得答案； （2）①由题目中的概率公式，结合互斥事件的概率加法，可得答案；②利用比值判别法，可得概率计算的单调性，可得答案. 【小问1详解】 记：事件“患流感”，事件“未患流感”，， 事件“接种疫苗”，事件“未接种疫苗”，则， 由已知可得：， ， , 所以， 即现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，这人患病的概率为． 【小问2详解】 ①由已知：当且时，二项分布近似于泊松分布， 设1000人中患流感的人数为Y人，则， ，，， . ②由题意得：， 所以，， 当时，随i的增大而增大， 当时，随i的增大而减小， 当时，， 所以，或时，最大． 19. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2023年远景目标纲要》指出：要加强原创性、引领性科技攻关，坚决打赢关键核心技术攻坚战.某企业集中科研骨干力量，攻克系列关键技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进. （1）该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为. ①求改进生产工艺前，该款芯片的次品率； ②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：； （2）改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间. ①若，以使得的最大值作为的估计值，求； ②记这个芯片的质量指标的标准差为，其中个芯片的质量指标的平均数为，标准差为，剩余芯片的质量指标的平均数为，标准差为，试写出的计算式. 参考数据：. 【答案】（1）①；②证明见解析. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据相互独立事件及对立事件求解即可； ②利用条件概率公式及性质证明即可. （2）①由已知可推得，， 根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设， 求出函数的最大整数值，即可得出答案. ②利用样本平均数及方差公式化简即可求解. 【小问1详解】 ①改进生产工艺前，该款芯片的次品率为 . ②由题意，所以，所以， 又， 所以，即， 所以，即，所以. 【小问2详解】 ①由已知可得，. 又， 所以，. 设， 令， 所以，所以. 令， 所以，所以. 所以使得最大的M值作为M的估计值，则M为. ②记，这个芯片的质量指标的平均数为：，则 又 同理， 所以 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年高二年下学期第二次阶段考数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C D. 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（ ） A. 450 B. 360 C. 180 D. 90 5. 已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（   ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 6. 已知且，则的最小值为（   ）． A. B. C. 2 D. 4 7. 已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（ ） A. 第二次取到3号球的概率为 B. 如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 C. 在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是 D. 如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（   ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则（ ） A. 当，独立时， B. 当，互斥时， C. D . 10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（   ） A. 各项系数之和为32 B. 各项系数的绝对值之和为 C. 常数项为80 D. 的系数为0 11. 围棋是古代中国人发明最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈"在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则以下结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 存在，对任意的，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题两个空，第一空2分，第二空3分 12. 学校举办篮球赛，将8支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为________________________ 13. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得的数据列于表中．已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则______． 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 14. 已知随机变量，相互独立，且，，则______；若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米. （1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ （2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 16. 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． （1）请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）若在处切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 18. 某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是，至冬季结束仍然有的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为． （1）现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； （2）已知泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现从该地区接种疫菌的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为X，求使得最大时的X值．（参考数据：） 19. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2023年远景目标纲要》指出：要加强原创性、引领性科技攻关，坚决打赢关键核心技术攻坚战.某企业集中科研骨干力量，攻克系列关键技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进. （1）该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为. ①求改进生产工艺前，该款芯片次品率； ②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：； （2）改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间. ①若，以使得的最大值作为的估计值，求； ②记这个芯片的质量指标的标准差为，其中个芯片的质量指标的平均数为，标准差为，剩余芯片的质量指标的平均数为，标准差为，试写出的计算式. 参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $