第2章 第8节 对数与对数函数(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章　函数 第八节　对数与对数函数 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 a N 0 1 N 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 (0，＋∞) 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 (0，1) y>0 y<0 y<1 y>0 增 减 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 y＝x 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 × × × √ 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （十四） 点击进入word 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 ． 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ． 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ ，alogaN ＝ (a>0，且a≠1，N>0). x＝logaN lg N ln N (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝ ； ②loga eq \f(M,N)＝ ； ③logaMn＝ (n∈R). (3)对数换底公式：logab＝ eq \f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 续表 a>1 0<a<1 性质 过定点 ，即x＝1时，y＝0 当x>1时， ； 当0<x<1时， 当x>1时， ； 当0<x<1时， 函数 函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称． 【常用结论】 1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，logambn ＝ eq \f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0). 2．如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　 　) (2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　 　) (3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数.(　 　) (4)函数y＝log2x与y＝log eq \s\do9(\f(1,2))x 的图象关于x轴对称．(　 　) 2．已知xlog32＝1，则4x等于(　　) A．9　　　　　　　　B．3 C． eq \r(3) D． eq \f(1,3) 答案　A 解析　xlog32＝1， 即x＝ eq \f(1,log32)＝log23， 所以4x＝4log23＝22log23＝2log29＝9. 3．如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数y＝log eq \s\do9(\f(1,5))x，y＝log eq \s\do9(\f(1,7))x，y＝log5x 的一个是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 答案　B 解析　∵log eq \s\do9(\f(1,7)) eq \f(1,5)<log eq \s\do9(\f(1,7)) eq \f(1,7)＝log eq \s\do9(\f(1,5)) eq \f(1,5)， ∴ (3)是y＝log eq \s\do9(\f(1,7))x，(4)是y＝log eq \s\do9(\f(1,5))x，又y＝log eq \s\do9(\f(1,5))x＝－log5x 与y＝log5x 关于x 轴对称， ∴ (1)是y＝log5x.故选B. 4．函数f(x)＝loga(x－1)＋1 (a>0 且a≠1 )的图象恒过定点(　　) A．(2，2) B．(2，1) C．(3，2) D．(2，0) 答案　B 解析　由对数函数的性质，令x－1＝1，即x＝2，此时f(x)＝1，故函数f(x)＝loga(x－1)＋1 的图象恒过定点(2，1).故选B. 题型一　对数式的运算 [例1]　(1)(2025·济宁模拟)若2m＝3n＝k 且 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)＝2，则k＝ (　　) A． eq \r(5)　　　　　　B． eq \r(6) C．5 D．6 答案　B 解析　因为2m＝3n＝k 且 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)＝2，所以m≠0 且n≠0，所以k>0 且k≠1， 且有m＝log2k，n＝log3k，所以 eq \f(1,m)＝logk2， eq \f(1,n)＝logk3， 所以 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)＝logk2＋logk3＝logk6＝2，则k2＝6， 又因为k>0 且k≠1，所以k＝ eq \r(6).故选B. (2)计算：log535＋2log eq \s\do9(\f(1,2)) eq \r(2) －log5 eq \f(1,50)－log514＝________． 答案　2 解析　原式＝log535－log5 eq \f(1,50)－log514＋log eq \s\do9(\f(1,2))( eq \r(2))2＝log5 eq \f(35,\f(1,50)×14)＋log eq \s\do9(\f(1,2))2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. eq \a\vs4\al([思维升华]) 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 　[即时训练] (1)(2024·全国甲卷)已知a>1， eq \f(1,log8a)－ eq \f(1,loga4)＝－ eq \f(5,2)，则a＝________． 答案　64 解析　由 eq \f(1,log8a)－ eq \f(1,loga4)＝ eq \f(3,log2a)－ eq \f(1,2)log2a＝－ eq \f(5,2)，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， ⇒log2a＝－1 或log2a＝6，又a>1， 所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. (2)(2025·广州模拟)若3a＝6，b＝log26，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝________． 答案　1 解析　因为3a＝6，所以a＝log36, 所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(1,log36)＋ eq \f(1,log26)＝log63＋log62＝log66＝1. 题型二　对数函数的图象及应用 [例2]　(1)(2025·深圳质检)当a>1 时，在同一平面直角坐标系中，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x) 与y＝loga(－x)的图象是(　　) 答案　B 解析　y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，故AD错误；BC中，又因为a>1，所以0< eq \f(1,a)<1，故C错误，B正确．故选B. (2)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lg x|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　) A．[10，12] B．(10，12] C．(10，12) D．[10，12) 答案　C 解析　不妨设a<b<c，作出函数f(x)的图象，如图所示， 由图象可知0<a<1<b<10<c<12， 由f(a)＝f(b)，得|lg a|＝|lg b|， 即－lg a＝lg b， ∴lg ab＝0，则ab＝1， ∴abc＝c，又10<c<12， ∴abc的取值范围是(10，12). eq \a\vs4\al([思维升华]) 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 　[即时训练] (1)(2025·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝log eq \s\do9(\f(1,a))x (a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是(　　) 答案　C 解析　对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0< eq \f(1,a)<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数的图象，可得0<a<1，则 eq \f(1,a)>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0< eq \f(1,a)<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C正确； 对于D，由指数函数的图象，可得a>1，则0< eq \f(1,a)<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． (2)函数y＝|lg (x＋1)| 的图象是(　　) 　 INCLUDEPICTURE "A87.TIF" 　　　 A　　　　 　　　　　B 　　 C　　　　 　　　　　D 答案　A 解析　由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x 的图象左移一个单位而得到，函数y＝lg x 的图象与x 轴的交点是(1，0)， 故函数y＝lg (x＋1)的图象与x 轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)| 的图象与x 轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．故选A. 题型三　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 [例3]　(2025·德州质检)设a＝e0.7，b＝30.8，c＝log3e，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 答案　C 解析　因为c＝log3e<log33＝1，又1<e0.7<e0.8<30.8, 所以c<a<b.故选C. 命题点2　解对数方程、不等式 [例4]　(2025·衡阳模拟)若loga eq \f(1,2)<2，则a的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))∪(1，＋∞) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))∪(1，＋∞) 答案　D 解析　因为loga eq \f(1,2)<2， 所以loga eq \f(1,2)<logaa2. 当0<a<1时，对数函数为减函数， 所以 eq \f(1,2)>a2，可得0<a< eq \f(\r(2),2)； 当a>1时，对数函数为增函数， 所以 eq \f(1,2)<a2，可得a>1， 综上所述，a的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))∪(1，＋∞). 命题点3　对数函数的性质及应用 [例5]　(2025·郑州模拟)设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增 B．是奇函数，且在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减 C．是偶函数，且在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增 D．是奇函数，且在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减 答案　D 解析　由f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|， 得f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠±\f(1,2)))))，关于坐标原点对称， 又f(－x)＝ln |1－2x|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)， ∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A、C； 当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))时， f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)， ∵y＝ln (2x＋1)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递增， y＝ln (1－2x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减， ∴f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递增，故排除B； 当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))时，f(x)＝ln (－2x－1)－ ln (1－2x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1)))， ∵u＝1＋ eq \f(2,2x－1)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，故D正确． eq \a\vs4\al([思维升华]) 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．　 　[即时训练] (1)(2025·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] 答案　A 解析　由题意得，x2－2x>0 ⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞). (2)若函数f(x)＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋\f(5,2)a－1))有最大值，则a的取值范围为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,2))) D．(1，2) 答案　B 解析　令t＝x2－2ax＋ eq \f(5,2)a－1， 根据复合函数的单调性，要使函数f(x)＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋\f(5,2)a－1))有最大值， 则函数t＝x2－2ax＋ eq \f(5,2)a－1有最小正值，且函数f(t)＝logat为减函数， 可知0<a<1. 要使函数t＝x2－2ax＋ eq \f(5,2)a－1有最小正值， 则Δ＝4a2－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)a－1))<0， 解得 eq \f(1,2)<a<2. 综上，a的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). $$