第2章 第7节 指数与指数函数(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章　函数 　第七节　指数与指数函数 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 x 根式 a 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 0 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 ar＋s ars arbr 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 (0，＋∞) 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 (0，1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增 减 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 × × √ × 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 课 时 作 业 （十三） 点击进入word 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子 eq \r(n,a)叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)( eq \r(n,a))n＝a． 当n为奇数时， eq \r(n,an)＝ ， 当n为偶数时， eq \r(n,an)＝|a|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：a eq \s\up6(\f(m,n)) ＝ eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：a－ eq \f(m,n)＝ eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n))) ＝ eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈R). 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 续表 a>1 0<a<1 性质 过定点 ，即x＝0时，y＝1 当x>0时， ； 当x<0时， 当x<0时， ； 当x>0时， 函数 函数 【常用结论】 1．指数函数图象的关键点(0，1)，(1，a)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))). 2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1) eq \r(4,(－4)4)＝－4.(　 　) (2)2a·2b＝2ab.(　 　) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　 　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　 　) 2．如果函数f(x)＝2a·3x 和g(x)＝2x－(b+3) 都是指数函数，则ab＝ (　　) A． eq \f(1,8)　　　　　　　　B．1 C．9 D．8 答案　D 解析　根据题意可得2a＝1⇒a＝ eq \f(1,2)，－(b＋3)＝0⇒b＝－3，则ab＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－3)＝8.故选D 3．已知关于x的不等式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)-4≥3-2x，则该不等式的解集为(　　) A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－4，1] 答案　A 解析　不等式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)-4≥3-2x，即34-x≥3-2x， 由于y＝3x是增函数， 所以4－x≥－2x，解得x≥－4， 所以原不等式的解集为[－4，＋∞). 4． eq \r(3,(－4)3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(0)＋0.25 eq \s\up6(\f(1,2)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(－)4＝______． 答案　5 解析　 eq \r(3,(－4)3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(0)＋0.25 eq \s\up6(\f(1,2)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(－)4 ＝－4＋1＋0.5×16＝5. 题型一　指数幂的运算 [例1]　计算： (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\f(1,16))) eq \s\up12(0.5)－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27))) eq \s\up12(－\f(2,3)) －2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2＋π))) eq \s\up12(0)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))) eq \s\up12(－)2； (2)2 eq \r(3)×3 eq \r(3,1.5)× eq \r(6,12). 解　(1)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81,16))) eq \s\up6(\f(1,2))－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27))) eq \s\up12(－\f(2,3))－2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(4))) eq \s\up6(\f(1,2))－2× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(3))) eq \s\up6(\f(2,3))－2＋ eq \f(9,16)　 ＝ eq \f(9,4)－2× eq \f(9,16)－2＋ eq \f(9,16) ＝ eq \f(9,4)－ eq \f(9,8)－2＋ eq \f(9,16)＝－ eq \f(5,16). (2)原式＝2×3 eq \s\up6(\f(1,2))×3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up6(\f(1,3))×(22×3) eq \s\up6(\f(1,6)) ＝6×2－ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,3)×3 eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,6) ＝6×3＝18. eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．　 　[即时训练] (多选)下列计算正确的是(　　) A． eq \r(12,(－3)4)＝ eq \r(3,－3) B．(a eq \s\up15(\f(2,3))b eq \s\up15(\f(1,2)))(－3a eq \s\up15(\f(1,2))b eq \s\up15(\f(1,3)))÷＝－9a(a＞0，b＞0) C. eq \r(\r(3,9))＝ eq \r(3,3) D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2 答案　BC 解析　对于A， eq \r(12,(－3)4)＝ eq \r(12,34)＝3 eq \s\up6(\f(4,12))＝3 eq \s\up6(\f(1,3)) ＝ eq \r(3,3)≠ eq \r(3,－3)，所以A错误； 对于B，(a eq \s\up20(\f(2,3))b eq \s\up20(\f(1,2)))(－3a eq \s\up20(\f(1,2))b eq \s\up20(\f(1,3)))÷＝－9a eq \f(2,3)＋ eq \f(1,2)－ eq \f(1,6)·b eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)－ eq \f(5,6)＝－9a(a＞0，b＞0), 所以B正确； 对于C, eq \r(\r(3,9))＝ eq \r(9\s\up6(\f(1,3)))＝9 eq \s\up6(\f(1,6))＝3 eq \s\up6(\f(1,3)) ＝ eq \r(3,3)，所以C正确； 对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误． 题型二　指数函数的图象及应用 [例2]　(1)(2025·福州质检)函数f(x)＝|ax－a|(a>0且a≠1)的图象可能为(　　) 答案　C 解析　当a>1 时，f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax－a，x≥1，,a－ax，x<1，)) 显然当x≥1 时，函数单调递增，当x<1 时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为y＝a，而a>1，故AB不符合； 对于CD，因为渐近线为y＝2，所以a＝2，故x＝0 时，y＝1， 故选项C符合，D不符合； 当0<a<1 时，f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax－a，x<1，,a－ax，x≥1，)) 当x≥1 时，函数单调递增，当x<1 时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为y＝a，而0<a<1，故ABD不符合．故选C. (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 答案　(0，2) 解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示， ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴实数b的取值范围是(0，2). eq \a\vs4\al([思维升华]) 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．　 　[即时训练] (多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A．a>1　　　　　　　B．0<a<1 C．b>1 D．0<b<1 答案　BD 解析　观察图象得，函数f(x)＝ax－b是减函数， 因此0<a<1， 设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1， 当x＝0时，y＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1，0<b<1. 题型三　指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 [例3]　已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b)< eq \f(1,2)，则(　　) A．aa>ab>bb B．aa>bb>ab C．bb>aa>ab D．ab>bb>aa 答案　A 解析　因为函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 在R上单调递减， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b)< eq \f(1,2)， 所以a>b>1， 因为函数y＝ax(a>1)在R为增函数，所以aa>ab， 又y＝xb(b>1)在(0，＋∞)上单调递增，所以ab>bb， 综上，aa>ab>bb.故选A. 命题点2　解简单的指数方程或不等式 [例4]　(2025·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围可以是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 答案　D 解析　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]， ∴1≤4x－3·2x＋3≤7. 又2x>0，∴0<2x≤1或2≤2x≤4. ∴x≤0或1≤x≤2. 命题点3　指数函数性质的综合应用 [例5]　(2025·郑州模拟)已知定义域为R的函数f(x)＝ eq \f(－2x＋b,2x+1＋2) 是奇函数． (1)求b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求k的取值范围． 解　(1)因为定义域为R的函数f(x)＝ eq \f(－2x＋b,2x+1＋2) 是奇函数， 所以f(0)＝ eq \f(－1＋b,4)＝0，解得b＝1， 经检验，当b＝1 时，f(x)＝ eq \f(－2x＋1,2x+1＋2)＝ eq \f(1,2)· eq \f(1－2x,1＋2x)， f(－x)＝ eq \f(1,2)· eq \f(1－2－x,1＋2－x)＝ eq \f(1,2)· eq \f(2x－1,2x＋1)＝－ eq \f(1,2)· eq \f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，函数为奇函数，所以b＝1. (2)f(x)＝ eq \f(1,2)· eq \f(1－2x,1＋2x)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2x＋1)－1))，显然f(x)是减函数， 由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 可得f(t2－2t)<－f(2t2－k)， 即f(t2－2t)<f(－2t2＋k)，t2－2t>－2t2＋k，3t2－2t>k. 当t＝ eq \f(1,3) 时，函数y＝3t2－2t 有最小值为ymin＝－ eq \f(1,3)，∴k<－ eq \f(1,3). 故k的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))). eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．　 　[即时训练] (1)(多选)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)＝ eq \f(ex－1,ex＋1)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(－1，1) C.函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 答案　ABC 解析　因为ex>0，所以ex＋1>0， 所以函数f(x)的定义域为R，故A正确； f(x)＝ eq \f(ex－1,ex＋1)＝1－ eq \f(2,ex＋1)， 由ex>0 ⇒ex＋1>1 ⇒0< eq \f(1,ex＋1)<1 ⇒－2<－ eq \f(2,ex＋1)<0 ⇒－1<1－ eq \f(2,ex＋1)<1， 所以函数f(x)的值域为(－1，1)，故B正确； 因为f(－x)＝ eq \f(e－x－1,e－x＋1)＝ eq \f(1－ex,1＋ex)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，故C正确； 因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， 所以函数y＝ eq \f(2,ex＋1)是减函数， 所以函数y＝－ eq \f(2,ex＋1)是增函数， 故f(x)＝ eq \f(ex－1,ex＋1)＝1－ eq \f(2,ex＋1)是增函数，故D不正确． (2)函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－x2)+1(x∈[－1，2])的最大值为________． 答案　8 解析　设t＝－x2＋1， 因为x∈[－1，2]， 所以当x＝0 时，t 有最大值1， 当x＝2 时，t 有最小值－3， 即－3≤t≤1， 所以 eq \f(1,2)≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(t)≤8，即y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(t) 的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，8))， 所以函数的最大值为8. $$